§13.3变形能的普遍表达式 1变形能的普遍表达式 线弹性体 无刚体位移 PP 广义力P1, P 力作用点沿力的方向的 广义位移8,…,δn 比例加载 比例系数0≤B≤1 B时广义力的大小为:B,…,2
21 §13. 3 变形能的普遍表达式 1 变形能的普遍表达式 0 1 比例加载 比例系数 时广义力的大小为 : P Pn , , 1 线弹性 体 无刚体位移 广义力 P1 , , Pn 力作用点沿力的方向 的 广义位移 1 , , n
β时广义力的大小为 B-o BB,…,Bn 当B有dB时,位移的增量为:(6 03 1dB,…,OndB 则功的增量为: dW=B·81dB+…+mndB 力的总功为: W=(R1+…+P·On)BdB B·++-P.0 2
22 1 d , , n d 时广义力的大小为: 当 有d 时, 位移的增量为: P Pn , , 1 则功的增量为: dW = P1 1 d ++ Pn n d = + + 1 0 W (P1 1 Pn n ) d 力的总功为: P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1
力的总功为: W=(·a1+…+PnCn)BdB P·61+…+Pnn 1 03 由功能原理,变形能为: U=W==B·1+…+Pnon 变形能的普遍表达式 注意:δ;是P1,P2…,Pn共同作用下的位移。 2组合变形时的变形能 取一微段为研究对象
23 = + + 1 0 W (P1 1 Pn n ) d 力的总功为: P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1 由功能原理，变形能为: U =W P Pn n = + + 2 1 2 1 1 1 ⎯⎯ 变形能的普遍表达式 注意： i 是 P1 , P2 , , Pn 共同作用下的位移。 取一微段为研究对象 2 组合变形时的变形能
2组合变形时的变形能Mx Mx 取一微段为研究对象 I(x) Tx Nr 由变形能的普遍表达 M 式,有 de du=N()d(An)+M(x)de+-T(x)do N(dx M(x)dx. T(x)dx 2EA 2El 2Gl 积分可得杆的总变形能 P U N(xdx r m(x)dsx T(xdx 2EA 2EI 2GI24
24 2 组合变形时的变形能 取一微段为研究对象 由变形能的普遍表达 式，有： dU = ( )d( ) 2 1 N x l ( )d 2 1 + M x ( )d 2 1 + T x EA N x x 2 ( )d 2 = EI M x x 2 ( )d 2 + GI p T x x 2 ( )d 2 + 积分可得杆的总变形能 = l EA N x x U 2 ( )d 2 + l GI p T x x 2 ( )d 2 + l EI M x x 2 ( )d 2
积分可得杆的总变形能 N(x)dx, M(x)dx [T(x)dx 2EA 2EI 2G1 注:1)上式中忽略了剪切变形能; 2)若为非圆截面杆,则扭转变形能中的 应改为/1; 3)不同内力分量引起的变形能可以叠加 同一内力分量的变形能不能叠加
25 积分可得杆的总变形能 = l EA N x x U 2 ( )d 2 + l GI p T x x 2 ( )d 2 + l EI M x x 2 ( )d 2 注：1) 上式中忽略了剪切变形能； 2) 若为非圆截面杆，则扭转变形能中的I p 应改为I t ； 3) 不同内力分量引起的变形能可以叠加， 同一内力分量的变形能不能叠加