剪切应变能密度 b Q(x(S u. d4 2G2b2 剪切变形能 Q2(x)(S)2 y 2G/62dv Q(x)(S:)2 dad 川2G2JAb 2(x)Ar( dAdx→记为k QGA b
16 2 2 2 * 2 2 2 ( )( ) GI b Q x S u z = 剪切变形能 剪切应变能密度 = V z V GI b Q x S U d 2 ( )( ) 2 2 2 * 2 2 = l A z A x b S GI Q x d d ( ) 2 ( ) 2 * 2 2 2 = l A z A x b S I A GA Q x d d ( ) 2 ( ) 2 * 2 2 2 记为 k
da dx 2G12 JA b 2GA 2 JA dad 记为k k d 2GA 其中的系数k A(S d a b 对矩形截面k=6/5,圆截面k=10/9,k=2
17 = l A z A x b S GI Q x d d ( ) 2 ( ) 2 * 2 2 2 = l A z A x b S I A GA Q x d d ( ) 2 ( ) 2 * 2 2 2 记为 k = l x GA Q x U k d 2 ( ) 2 2 = A z A b S I A k d ( ) 2 * 2 2 其中的系数 对矩形截面 k = 6 / 5, 圆截面k =10 / 9, 薄壁 圆环 k = 2
例3(书例10.3) 已知:矩形截面简支 梁 x 求;比较弯曲和切+ 变形能的大小。 解:由于对称性,只需计算一半梁中的变形能。 剪力方程Q(x)=P/2,(0<xxl/2) 弯矩方程M(x)=(P/2)x,(0≤x≤/2) 弯曲变形能 21P P-l U1 xdx 02EI2 96El 18
18 例 3 (书例10.3) 已知: 矩形截面简支 梁。 求：比较弯曲和剪切 变形能的大小。 解：由于对称性，只需计算一半梁中的变形能。 剪力方程 Q(x) = P/ 2, (0 x l / 2) 弯矩方程 M (x) = (P/ 2)x, (0 x l / 2) 弯曲变形能 = / 2 0 2 1 ) d 2 ( 2 1 2 l x x P EI U EI P l 96 2 3 =
弯曲变形能U1=2/21P3x=96E1 273 P-l x)2 02E12 剪切变形能Un=2 1/2kP kPi dx 02GA2 8GA 两种变形能之比 U212E U GAl 对矩形截面=6/5./A=h2/12 又 E 2(1+1) U。12 h (1+)(
19 弯曲变形能 = / 2 0 2 1 ) d 2 ( 2 1 2 l x x P EI U EI P l 96 2 3 = 剪切变形能 = / 2 0 2 2 ) d 2 ( 2 2 l x P GA k U GA kP l 8 2 = 两种变形能之比 2 1 2 12 GAl EIk U U = 对矩形截面 k = 6 / 5, / /12 2 I A = h 又： 2(1+ ) = E G 2 1 2 (1 )( ) 5 12 l h U U = +
两种变形能之比 U,12E U GA 对矩形截面k=6/5.Ⅰ/A=h2/12 又: E G 2(1+1) h (1+p)( 取=0.3 当M=1/5时:U/U,=0.125 当h=1/10时:U2/U7=0.0312 所以,对长梁,剪切变形能可忽略不计。2
20 两种变形能之比 2 1 2 12 GAl EIk U U = 对矩形截面 k = 6 / 5, / /12 2 I A = h 又： 2(1+ ) = E G 2 1 2 (1 )( ) 5 12 l h U U = + 取 =0.3 当 h/l = 1/5 时: U2 /U1 = 0.125 当 h/l = 1/10 时: U2 /U1 = 0.0312 所以，对长梁，剪切变形能可忽略不计