1求内力 截面mm,取左段 M=PRSn T=PR(1-cos p) 2变形能 T du M(ORdO T(Rdo 2EI 2G1 P do PR(1-cos 0)2d 2EI 2G1 U≈rxP2R2sin2do、rxP2R(1-cosm)2d 2EI QGI
11 1 求内力 截面mn, 取左段 M = PRsin , T = PR(1− cos) 2 变形能 EI M R U 2 ( ) d d 2 = GI p T R 2 ( ) d 2 + M T EI P R 2 sin d 2 3 2 = GI p P R 2 (1 cos ) d 2 3 2 − + = 0 2 3 2 2 sin d EI P R U − + 0 2 3 2 2 (1 cos ) d GI p P R
U T P R'sn odo rm R(-cos p)d p 2EI 2Gl P2R3丌3P2R丌 4E 4GI 3外力的功W=Pδ 由U=W,得:2 R d P2R3x3PR3丌 Pδ 4EI 4G/ PR3丌3PR兀 2EI 2GI
12 = 0 2 3 2 2 sin d EI P R U − + 0 2 3 2 2 (1 cos ) d GI p P R EI P R 4 2 3 = GI p P R 4 3 2 3 + 3 外力的功 W P A 2 1 = 由U=W，得: P A = 2 1 EI P R 4 2 3 GI p P R 4 3 2 3 + EI PR A 2 3 = GI p PR 2 3 3 +
例2(书例10.2) b 已知:应变能密度公式 求:横力弯曲时的 d4 弯曲变形能和剪切 dx 变形能公式。 解:应变能密度为 u 2E QG y处应力 M(x)y o(x)s b
13 例 2 (书例10.2) 已知: 应变能密度公式。 求：横力弯曲时的 弯曲变形能和剪切 变形能公式。 解：应变能密度为 , 2 2 1 E u = G u 2 2 2 = y处应力 , ( ) I M x y = Ib Q x Sz * ( ) =
解:应变能密度为 u 2E 2G y处应力 ,Q( M(x)y b M(x)y Q2(x)(S:) u. 2E2 2 201b 弯曲变形能 b d4 dx M(x)y-dAdx A 2E2
14 解：应变能密度为 , 2 2 1 E u = G u 2 2 2 = y处应力 , ( ) I M x y = Ib Q x Sz * ( ) = , 2 ( ) 2 2 2 1 EI M x y u = 2 2 2 * 2 2 2 ( )( ) GI b Q x S u z = U u V V 1 = 1 d = l A A x EI M x y d d 2 ( ) 2 2 2 弯曲变形能
弯曲变形能 b d d4 M(x) da dx 2El M2(x) . alex 2ET M2(x) 与前面导出的弯曲 U dx 2EI 变形能公式相同 剪切应变能密度2 Q2(x)S:)2 2G/2b
15 U u V V 1 = 1 d = l A y A x EI M x d d 2 ( ) 2 2 2 = l x EI M x U d 2 ( ) 2 1 与前面导出的弯曲 变形能公式相同。 I 2 2 2 * 2 2 2 ( )( ) GI b Q x S u z = 弯曲变形能 剪切应变能密度 = l A A x EI M x y d d 2 ( ) 2 2 2