2.2线性系统的复频域模型 微分性质 时城导数性质 若：l-F则￥s-o) 2）=-产0-70-0 如果：f0)=(0)=…=m-(0)=0则： 0 频城导数性质 设：出Lf]=Fs)则：思[-o=aFs) ds 2023/724 北京料技大学自功化学院控制系 26
2023/7/24 北京科技大学自动化学院控制系 26 2.2 线性系统的复频域模型 微分性质 时域导数性质 s s ( ) = − − ( ) 0 ( ) F f dt df t 若： f (t)= F(s) 则 频域导数性质 设： [ f (t)] = F(s) s s d dF tf t ( ) 则： [− ( )] = ( ) (0) (0) (0) ( ) −1 −2 (1) ( −1) = − − − − n n n n n n s F s s f s f f dt d f t ( ) ( ) s F s dt d f t n n n = 如果：f (0) = f (1) (0) == f (n−1) (0) = 0则：
2.2线性系统的复频域模型 积分性质 设：2Lf(t)川=F(s) 则：f0d=Fs) 延迟性质 设：Lf(t)]=F(s) 时域延迟 则：Lf(t-tn)川=e"F(s) 在时间城的平移变换在复数城有对应的衰减变换。 频城延迟 F(s+a)=L[e“f(t] 附间信号f(代)在时间城的指数衰减，其拉氏变换在 复数城有对应的坐标平移。 2023/724 北京料技大学自功化学院控制系 27
2023/7/24 北京科技大学自动化学院控制系 27 积分性质 设： [ f (t)] = F(s) ( ) 1 [ ( ) ] 0 F s s f t dt t 则： − = 延迟性质 设： [ f (t)] = F(s) [ ( )] ( ) 0 0 f t t e F s − s t 则： − = ( ) [ ( )] t F s L e f t − 频域延迟 + = 时域延迟 在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。 时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在 复数域有对应的坐标平移。 2.2 线性系统的复频域模型
2.2线性系统的复频域模型 初值定理 时城函数的初值，可以由变换城求得。 )和 df() dt 的拉氏变换存在，limsF(S)也存在， S00 则 f(O)=lim f(t)=limsF(s) />0 终值定理 时城函数的终值，也可以由变换城求得。 )和 df(1) dt 的拉氏变换存在，imf(t)存在时， 并且除在原点处雅一的极点外，sF(S)在包含jω轴 的右半平面是解析的（即t→∞时，f(t)为常数）， f(o)=lim f(t)=limsF(s) 5→0 2023/724 北京料技大学自功化学院控制系 28
2023/7/24 北京科技大学自动化学院控制系 28 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s + + → → = = 0 ( ) lim ( ) lim ( ) t s f f t sF s → → = = 初值定理 f(t)和 的拉氏变换存在， 也存在， 则 dt df (t) lim ( ) s sF s → 终值定理 lim f (t)存在时 t → f(t)和 的拉氏变换存在， ， 并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴 的右半平面是解析的（即t→∞时，f(t)为常数）， 则 dt df (t) 时域函数的初值，可以由变换域求得。 时域函数的终值，也可以由变换域求得。 2.2 线性系统的复频域模型
2.2线性系统的复频域模型 例2.2.1 已知微分方程如下，试求初值皆为零附输 出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 ym()+an-1Jyn-(t)）++aJ(t)=bnmm(t)+…+b4t) 解 初值皆为零有y(0)=y(0)=…=ym-(0)=0 由微分性质对微分方程作拉氏变换得： s"Y(s)+ans"-Y(s)+..+aoY(s)=bms"U(s)+..+boU(s) Y(s）_bmns"+bmsm-+…+bo → U(s)s"+am-s"-1+…+ao 2023/724 北京料技大学自功化学院控制系 29
2023/7/24 北京科技大学自动化学院控制系 29 2.2 线性系统的复频域模型 例2.2.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) y t a y t a y t b u t b u t m m n n n + + + = + + − − 已知微分方程如下，试求初值皆为零时输 出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 s Y s a s Y s a Y s b s U s b U s m m n n n + + + = + + − − 0 1 1 0 1 ( ) ( ) s a s a b s b s b U s Y s n n n m m m m + + + + + + = − − − (0) (0) (0) 0 (1) ( 1) = = = = n− 初值皆为零有 y y y 由微分性质对微分方程作拉氏变换得：
2.2线性系统的复频域模型 拉善拉斯反变换的求法 (1)按定义 1f0=2Foe (2)对简单形式的F(⑤可以查拉氏变换表得原函数(P28) f(t) F(s) f(t) F(s) 8(t) 1 Sin wt %2+0 1() 1/s Cosωt ⊙ t 1/s2 e sin @t (s+a)2+o s+a at e 1/(s+a) cos wt (s+a)2+o2 2023/7/24 北京料技大学自动化学院控制系 30
2023/7/24 北京科技大学自动化学院控制系 30 2.2 线性系统的复频域模型 拉普拉斯反变换的求法 (1)按定义 F s e ds πj f t s t c j c j ( ) 2 1 ( ) + − = (2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(P28) f(t) F(s) f(t) F(s) δ(t) 1 Sinωt 1(t) 1/s Cosωt t 1/(s+a) 2 1 s at e − ( ) 2 2 s + ( ) 2 2 s + s e t at sin − e t at cos − 2 2 ( ) s + a + 2 2 ( + ) + + s a s a