电子测量原理 321随机误差的统计特性及减少方法续) ②方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度 设随机变量X的数学期望为E(X),则X的方差定义为: D(X=ECX- E(XD) 标准偏差定义为: D(X ◆标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度 并且与随机变量具有相同量纲。 第11页
电子测量原理 第11页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） ② 方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。 设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为： D(X)= E(X－E(X))2 标准偏差定义为： ◆ 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度， 并且与随机变量具有相同量纲。 = D(X )
电子测量原理 3.21随机误差的统计特性及减少方法续) (2测量误差的正态分布 为什么测量数据和随机 误差大多接近正态分布? ◆测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造 成的许多微小误差的总和。 ◆中心极限定理:假设被研究的随机变量可以表示 为大量独立的随机变量的和,其中每一个随机变 量对于总和只起微小作用,则可认为这个随机变 量服从正态分布。 第12页
电子测量原理 第12页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） ◆ 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造 成的许多微小误差的总和。 ◆ 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示 为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变 量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变 量服从正态分布。 为什么测量数据和随机 误差大多接近正态分布？ (2)测量误差的正态分布
电子测量原理 3.21随机误差的统计特性及减少方法续) 正态分布的概率密度函数和统计特性 随机误差的概率密度函数为: 2 6 P()= ex p 2元o 2o 测量数据X的概率密度函数为 x p(x)= expl 2丌o 2c 随机误差的数学期望和方差为 ● 6 E(a)=0(od6 exp〔( 2TO 2σ2 )d65=0 D()=E( 6p()d6 6exp(-,)d6= √2丌a-∞ 2 同样测量数据的数学期望EX)=方差D0=a2 第13页
电子测量原理 第13页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 正态分布的概率密度函数和统计特性 ◆ 随机误差的概率密度函数为： ◆ 测量数据X的概率密度函数为： ◆ 随机误差的数学期望和方差为： ◆ 同样测量数据的数学期望E(X)＝ ，方差D(X)＝ ) 2 exp( 2 1 ( ) 2 2 p = − ] 2 ( ) exp[ 2 1 ( ) 2 2 − = − x p x ) 0 2 exp( 2 1 ( ) ( ) 2 2 = = − = − − E p d d 2 2 2 2 2 2 ) 2 exp( 2 1 ( ) ( 0) ( ) = − = = − = − − D E p d d 2
电子测量原理 色,.1随机误差的统计特性及减少方法() 正态分布时概率密度曲线 随机误差和测量数据的分布形状相同,因为它们的标准偏 差相同,只是横坐标相差 p(o) (a)随机误差 (b)测量数据 随机误差具有:④对称性②单峰性③有界性④抵偿性 第14页
电子测量原理 第14页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 正态分布时概率密度曲线 随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏 差相同，只是横坐标相差 (a)随机误差 (b) 测量数据 0 p() x p(x) 0 图3－1 随机误差和测量数据的正态分布曲线 随机误差具有：①对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④抵偿性
电子测量原理 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法续) 标准偏差意义 ◆标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程 度的特征数。 ◆标准偏差越小,则曲线形状越尖锐,说明数据越 集中;标准偏差越大,则曲线形状越平坦,说明 数据越分散。 p() 0
电子测量原理 第15页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 标准偏差意义 ◆ 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程 度的特征数。 ◆ 标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越 集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明 数据越分散。 0 p( ) 1 2 3