电子测量原理 321随机误差的统计特性及减少方法续) (3)测量误差的非正态分布 常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等 ◆均匀分布:仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差 等;“四舍五入”的截尾误差;当只能估计误差在某一范 围内,而不知其分布时,一般可假定均匀分布。 概率密度 a≤x≤b p(x)= x<ax>b 均值p=2 a+b时a=-bp=0 标准偏差:2√/3 b 当a=
电子测量原理 第16页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （3）测量误差的非正态分布 ◆ 常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。 ◆ 均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差 等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范 围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。 a b P(x) 概率密度: 均值: 当 时, 标准偏差: 当 时， − = 0 1 ( ) b a p x x a x b a x b , 2 a + b = a = −b 2 3 b − a 3 b = a = −b = 0
电子测量原理 3.21随机误差的统计特性及减少方法(续 2.有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征,理论上需无穷多次测量,但在 实际测量中只能进行有限次测量,怎么办? (1)有限次测量的数学期望的估计值—算术平均值 用事件发生的频度代替事件发生的概率,当∞=t E(X) 令n个可相同的测试数据x1(i=12…以被测量X的数学期望 次数都计为1,当∞=N时,则 就是当测量次数= 时,各次测量值的算 (X 术平均值
电子测量原理 第17页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） 2. 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在 实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？ 用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则 n n E X x p x i m i i m i = i i = = = 1 1 ( ) 令n个可相同的测试数据xi(i=1.2…,n) 次数都计为1 ,当 时，则 = = = = n i i n i i x n n E X x 1 1 1 1 ( ) = n = n （1）有限次测量的数学期望的估计值——算术平均值 被测量X的数学期望， 就是当测量次数 时，各次测量值的算 术平均值 = n
电子测量原理 3.21随机误差的统计特性及减少方法续) 规定使用算术平均值为数学期望的估计值,并作 为最后的测量结果。即: ◆算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计 值和最大似然估计值。 有限次测量值的算术平均 值比测量值更接近真值? 第18页
电子测量原理 第18页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） ◆ 规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作 为最后的测量结果。即： ◆ 算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计 值和最大似然估计值。 = = n i xi n x 1 1 有限次测量值的算术平均 值比测量值更接近真值？
电子测量原理 321随机误差的统计特性及减少方法(续) (2)算术平均值的标准偏差 02(=a(∑)=02∑x)=x)+d()++a2(x nI2(X)=-2(X) 故 X 算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准 偏差小名。原因是随机误差的抵偿性。 第19页
电子测量原理 第19页 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （2）算术平均值的标准偏差 故： 算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准 偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。 * [ ( ) ( ) ( )] 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 n n i i n i i x x x n x n x n x = = = + + + = = ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 X n n X n = = n X x ( ) ( ) = n
电子测量原理 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法续) (2)有限次测量数据的标准偏差的估计值 算术平均值:x=∑x 残差: -i-s 实验标准偏差(标准偏差的估计值),贝塞尔公式: s(x)= ∑v ∑ 2 i=1 i=1 算术平均值标准偏差的估计值 s(r)= s(x) 第20页
电子测量原理 第20页 算术平均值： 3.2.1随机误差的统计特性及减少方法(续） （2）有限次测量数据的标准偏差的估计值 残差： 实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式： 算术平均值标准偏差的估计值 ： i = xi − x = = − − = − = n i i n i i x x n n s x 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 ( ) n s x s x ( ) ( ) = = = n i xi n x 1 1