(4)若ft)为半波对称 T是整流 即满足f孔t)=ft口T2) 电源周期 结束 则a2kH1=b2k+1=0 即展开式中不含奇次谐波。 -T/20 T/2 T 口对某些，适当移动纵坐标（另选一个计时 起点)，就变为偶函数或奇函数。 口Am与计时起点无关，而口k与计时起点有关， 但各次诣波的相对位置不变。 口也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到 原函数的系数。 19五月2023 16
结束 19 五月 2023 16 (4)若 f(t)为半波对称 即满足 f(t) = f(t T/2) 对某些 f(t)，适当移动纵坐标 (另选一个计时 起点 )，就变为偶函数或奇函数。 Akm与计时起点无关，而 k与计时起点有关， 但各次谐波的相对位置不变。 也可以先移坐标轴，待求得系数后，再找到 原函数的系数。 o t u -T/2 T/2 T T 是整流 电源周期 即展开式中不含奇次谐波。 则a2k+1 = b2k+1 = 0
例：求右图方波的傅里叶 0） 级数展开式及频谱。 结束 解：矩形波电流在一个周 T2 2p 期内的表达式为： 2 0=:2 (t)sin(kwt) od(Wt) 0 I sin(kwt)d(wt) 直流分量：6=0业 m [1-cos(kp)] 号3业 kp 0 k为偶数 基波、谐波分量： 、kp k为奇数 19五月2023 17
结束 19 五月 2023 17 例：求右图方波的傅里叶 级数展开式及频谱。 矩形波电流在一个周 期内的表达式为: 解： i(t) = Im ， 0＜t＜T/2 0 ， T/2＜t＜T o t i(t) T/2 Im T p 2p t I0 = T ∫ 0 i(t)dt T 1 = T ∫ 0 Im dt T /2 1 = 2 Im 直流分量: 基波、谐波分量: bk = p ∫0 i(t) sin(kwt) d(wt) 2 p 1 = p∫ 0 Im sin(kwt) d(wt) p 1 = 0 k 为偶数 kp 2Im k 为奇数 = Im kp [1-cos(kp)]
cos(kwnd(wn 结束 nkwn=0 2p 代入= 【a4cos(k☐+bsi(k□训 4,+ 1 得的展开式为 i()= +2snat}n37t号in5at+) 谐波振幅1m=候+乐.二h: 2Im (k为奇数) 19五月2023 18
结束 19 五月 2023 18 ak = p∫ 0 Im cos(kwt)d(wt) p 1 o t i(t) T/2 Im T = p 2p t Im kp sin(kwt) 0 p =0 i(t) = 2 Im (sin t + 3 + 2Im 1 p sin3 t + 5 1 sin5 t +.) f(t) = a0+ ∑ [ak cos(k 1 t) +bk sin(k 1 t)] k=1 ∞ 代入 得 i(t) 的展开式为 I (k为奇数) km = ak 2+ bk 2 =bk = kp 谐波振幅 2Im
2(nt3i3nt吉sim5r )= 结束 i(t) 4t) Wt 取到5次谐波的情况 直流分量 基波分量 口实用中，根据展开式的收 三次谐波A∧∧v 敛速度和误差要求取前几项， 五次谐波W 更高次诣波可以忽略。 19五月2023 19
结束 19 五月 2023 19 o wt i(t) i(t) = 2 Im (sin t + 3 + 2Im 1 p sin3 t + 5 1 sin5 t +.) 基波分量 三次谐波 五次谐波 直流分量 o wt i(t) 取到5次谐波的情况 实用中，根据展开式的收 敛速度和误差要求取前几项， 更高次谐波可以忽略
i(t) 2 20（innt号sin3加t号sia5知ft-） 结束 矩形波的幅度频谱 矩形波的相位频谱 p w 3w 5w 7w kW 0 3 5 900 kw 0 w 3w 5w 7w -bk Akm= =-900 kp 口k=arct 19五月2023 20
结束 19 五月 2023 20 矩形波的幅度频谱 矩形波的相位频谱 1 3 2Im p o kw w 3w 5w 7w 1 1 5 1 7 fk o w 3w 5w 7w kw -90o k =arctg ak -bk =-90o Akm=bk = kp 2Im i(t) = 2 Im (sin t + 3 + 2Im 1 p sin3 t + 5 1 sin5 t +.)