特征根：乃=2，=3。由式3.12)得齐次方程的通解： y(内=1+1店=4×2+12×3 把两个初始条件分别代入上式，得到系数的值，所以差分方程的通解为 0因-3x2-3 因差分方程的右边为零，故其特解为零，所以上式就是差分方程的全解。 (2)差分方程的迭代解法 系统差分方程的经典解法需要求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，非常不便。如果已知系统的差分 方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。 原理：根据初始条件（边界条件），逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出 后一时刻的待求值。 【例3.2】已知离散系统的差分方程为 yk+1)-2yk)=r(k) 设初始条件为y0)=0,r=r(k)={r(0),r(1),r(2),，}={1,0,1,0,1,0},求方程的解。 解：yk+1)=2yk)+r(k) 当k=0时，y1)=2y0)+r(0)=1 当k=1时，y2)=2y(1)+r(1)=2 当k=2时，y3)=2y2)+r(2)=5 依次类推，方程可求解。 第二节z变换 Z变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能，可以用拉氏变换的方法进行分析。与此 相似，线性离散系统的性能可以采用z变换的方法来获得。Z变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方 法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，Z变换又称采样拉氏变换，是研究离散系统的重要数学工 具 1.z变换的定义 引入一个新复变量 2=en (3.16) 1 s=lnz 或 (3.17 从而有 F(6) grea-2tney*-2nr (3.18) 称为离散时间函数」'⊙的z变换。z变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限 脚2t0 存在时，∫八)的z变换才存在。 在z变换过程中，由于考虑的是连续时间函数(t)经采样后的离散时间函数，或者说考虑的是在采样瞬间 的采样值，所以上式只表示连续时间函数t)在采样时刻的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性。从这 个意义上说，连续时间函数f)与相应的离散时间函数了)具有相同的z变换，即
特征根： 。由式(3.12)得齐次方程的通解： 把两个初始条件分别代入上式，得到系数的值，所以差分方程的通解为 因差分方程的右边为零，故其特解为零，所以上式就是差分方程的全解。 (2) 差分方程的迭代解法 系统差分方程的经典解法需要求出齐次方程的通解和非齐次方程的特解，非常不便。如果已知系统的差分 方程和输入值序列，则在给定输出值序列的初始值之后，就可以利用迭代方法计算出任何时刻的输出值。 原理：根据初始条件(边界条件)，逐步递推计算出后面各时刻的输出，即由前一时刻的已知结果，递推出 后一时刻的待求值。 〖例 3.2〗 已知离散系统的差分方程为 y(k+1)-2y(k)=r(k) 设初始条件为 y(0)=0, r=r(k)={r(0),r(1),r(2)，…}={1,0,1,0,1,0,…}，求方程的解。 解：y(k+1)＝2y(k)+r(k) 当 k=0 时，y(1)=2y(0)+r(0)=1 当 k=1 时，y(2)=2y(1)+r(1)=2 当 k=2 时，y(3)=2y(2)+r(2)=5 依次类推，方程可求解。 第二节 z 变换 z 变换的思想来源于连续系统。线性连续系统的动态及稳态性能，可以用拉氏变换的方法进行分析。与此 相似，线性离散系统的性能可以采用 z 变换的方法来获得。z 变换是从拉氏变换直接引伸出来的一种变换方 法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，z 变换又称采样拉氏变换，是研究离散系统的重要数学工 具。 1. z 变换的定义 引入一个新复变量 (3.16) 或 (3.17) 从而有 (3.18) 称为离散时间函数 的 z 变换。z 变换实际是一个无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限 存在时， 的 z 变换才存在。 在 z 变换过程中，由于考虑的是连续时间函数 f(t)经采样后的离散时间函数，或者说考虑的是在采样瞬间 的采样值，所以上式只表示连续时间函数 f(t)在采样时刻的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性。从这 个意义上说，连续时间函数 f(t)与相应的离散时间函数 具有相同的 z 变换，即
zao1=f0=Fe-含/e0:- (3.19) 常用时间函数的z变换见表3.2。 表3.2拉氏变换和z变换表 拉氏变换 时间函数 Z变换F(2) 变形z变换F(zm) F(s) fo).t>=0 1 6(0 1 0 ein 8t-k) 29 zk-Tim 1) 点 a-ry 哥而 2则 F:0+2) 21-zy ★ Tek! 罗- 典罗品 1 :-(/Dina atT 1 1-2 品 高 eat 1 g 02 2可 1 te-a Te Te[e+m(:-e】 (s+a) 1-e2y (- 1 (- 6+a可 对ae✉ 需 -8 a 0-g)z习 1_g s+a) 1-e 0-20-e巧 2六2-g 1 t-f (G+@G+可 b-a -。g 2sin( zsin(moT)+sin[a-m)on]/ 子+0 sinot 1-22cos(o0+2 [z2-2zcos%0+刂 1-2 cos(on) zcosimoT刀+cos0-m)a] +@ cosar 1-22c0sa刀+z 3-2zcos@D+月 sin(oT) esin(mo刀+e“sml0-m)eI]}e7 *a* ""sinot 1-22ecos@万+22T [a:-2ze"cosT)+] 2.z变换的性质和定理 与拉氏变换相同，z变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离散控制系统，其中最常用的性质有： (1)线性性质 ZI%ft)±f5]=)±c2F() (3.20)
(3.19) 常用时间函数的 z 变换见表 3.2。 表 3.2 拉氏变换和 z 变换表 2. z 变换的性质和定理 与拉氏变换相同，z 变换有很多重要性质，可用于计算或直接分析离散控制系统，其中最常用的性质有： (1) 线性性质 (3.20)
(2)求和定理（仅称叠值定理） 2r0-号 401=4 R-1 (3.21) (3)平移定理 如果对于t0有ft)=0,并且ft)有z变换f(z),则 Zfe+nn=Fa)-是f0 (3.22) Zf(t-nD)]=z-"F(2) (3.23) (4)初值定理 lim F(z) 如果ft)有z变换F(z),且极限一云 存在，则ft)或fk)的初始值fO)为 f(0)=lim F(z) (3.24) (5)终值定理 ▣0=gra-ga-2ra (3.25) 运用终值定理的条件是：当z≥1时，（亿-1）F(2)对z的所有导数都存在。 (6)z变换的微分 Zre]=-2F包 d亚 (3.26) ()z变换的积分 a9-9+ f() (3.27) (8)卷积定理 ()*)=∑(n[低-m)] 设 称为两序列f(kt)和f(kt)的卷积，用”*”表示。则 E(z)F(a)=Z∑f(nT)f[(k-网T]} -0 (3.28) (9)比例尺变化 Zfar)=Fe右) (3.29) 3.用z变换法解线性常系数差分方程 采用z变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差分方程经Z 变换后成为z的代数方程，然后求出未知序列的z表达式Y(2),最后查z变换表或用其他方法求得yk)。 【例3.3〗用z变换法解下列差分方程 y(欣+2)+3欣+1)+2()=0 初始条件为yO)=0,y(1)=1. 解：对上式进行z变换得 z2Y(z)-z2y(0)-y0)+3zY(z)-3y0)+2Y(z)=0
(2) 求和定理(又称叠值定理) (3.21) (3) 平移定理 如果对于 t﹤0 有 f(t)=0 ，并且 f(t)有 z 变换 f(z)，则 (3.22) (3.23) (4) 初值定理 如果 f(t)有 z 变换 F(z)，且极限 存在，则 f(t)或 f(k)的初始值 f(0)为 (3.24) (5) 终值定理 (3.25) 运用终值定理的条件是：当 z≥1 时，(z-1)F(z)对 z 的所有导数都存在。 (6) z 变换的微分 (3.26) (7) z 变换的积分 (3.27) (8) 卷积定理 设 称为两序列 f1(kt)和 f2(kt)的卷积，用“*”表示。则 (3.28) (9) 比例尺变化 (3.29) 3. 用 z 变换法解线性常系数差分方程 采用 z 变换法解线性常系数差分方程和利用拉氏变换法解微分方程相类似。解的过程是先将差分方程经 z 变换后成为 z 的代数方程，然后求出未知序列的 z 表达式 Y(z)，最后查 z 变换表或用其他方法求得 y(k)。 〖例 3.3〗用 z 变换法解下列差分方程 初始条件为 y(0)=0,y(1)=1。 解：对上式进行 z 变换得
代入初始条件，并解得 Y(z)= 2 z2+3z+2(z+1(z+2)z+1z+2 查表求逆z变换得 y(=(-1)-(-2) (k=012Λ) 可见，用z变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求逆z变换。下面介绍逆z变换的方法。 第三节逆z变换 所谓逆z变换，是已知z变换表达式F(z),求相应离散序列kT)的过程。常用的逆Z变换法有如下三 种：部分分式展开法；幂级数展开法（长除法）；留数计算法。 1.部分分式展开法 部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的F(2),通过查z变换表找出相应的(kT)。然而z 变换表的内容有限，需要把F(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分 为特征方程无重根和有重根两种情况。 (1)特征方程无重根的情况 设已知的z变换函数F2无重极点，先求出F2)的极点4：3A,2%,再将F22展开成如下分式之和 F包.分4+鸟 (3.30) 4=Fa’4=e-2,)@ 2 i-12M,n 其中Ao和A为fz)/z在Zi处的留数，即 再由上式 写出F(z)的部分分式之和 Fa-克4 -+A0 z-z (3.31) 然后逐项查z变换表，得到 0=z[4. i-12Λ，n z-Zi (3.32) 最后写出已知F(z)对应的采样函数 ∫0=∑∑fkD6t-ID+A60 R-0i-】 (3.33) F(z)= 2 〖例3.4】求 z2-3z+2的反变换。 F(z) 1 11 解：由于 zz2-3z+2z-2z-1 故有f0)=(2)F-1) 即f=(2y-1 (2)特征方程有重根的情况 这里用一个例子描述z变换函数F(z)有重极点的求解步骤。 F(z)= -3+z1 〖例3.5】求 1-2z+z7 的反变换
代入初始条件，并解得 查表求逆 z 变换得 可见，用 z 变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求逆 z 变换。下面介绍逆 z 变换的方法。 第三节 逆 z 变换 所谓逆 z 变换，是已知 z 变换表达式 F(z)，求相应离散序列 f(kT)的过程。常用的逆 z 变换法有如下三 种：部分分式展开法；幂级数展开法(长除法)；留数计算法。 1. 部分分式展开法 部分分式展开法又称查表法，其基本思想是根据已知的 F(z)，通过查 z 变换表找出相应的 f(kT)。然而 z 变换表的内容有限，需要把 F(z)展开成部分分式以便查表。具体方法和求拉氏变换的部分分式展开法类似，分 为特征方程无重根和有重根两种情况。 (1) 特征方程无重根的情况 设已知的 z 变换函数 F(z)无重极点，先求出 F(z)的极点 ，再将 F(z)/z 展开成如下分式之和 (3.30) 其中 A0 和 Ai为 f(z)/z 在 zi处的留数，即 ，再由上式 写出 F(z)的部分分式之和 (3.31) 然后逐项查 z 变换表，得到 (3.32) 最后写出已知 F(z)对应的采样函数 (3.33) 〖例 3.4〗 求 的反变换。 解：由于 故有 即 (2) 特征方程有重根的情况 这里用一个例子描述 z 变换函数 F(z)有重极点的求解步骤。 〖例 3.5〗 求 的反变换
解：亿的特征方程为1-2小少2，所以特征方程有两重根 )=3+2 A B 的 1-22+27“a-2y*a-2 其中A,B为 4=0-2rFga=(-3+2r=-2 8-n-el Fe)--3+z1 122+z1-z22 所以有 由于在表中查不到上式第一项的逆z变换，故将上式两边都乘z1 2Fa--2z1+2 a-2T+a-2丙 由于 a- 222 27 T (所以 f-D=-71-1c-刀 这是理解平移定理的一种方法，成对对应法) 故有0-产6+刀-10 即f欣)=-2收+1)-1 2.幂级数展开法长除法) 当z变换不能写成简单形式，或者逆z变换需要以数值序列f伙T)表示时，可以采用幂级数展开法。 由z变换的定义 F(2)-Ef(kT--f(0)+f(Dz+fQDz2+A+f(kD)z+ (3.34) 可以看出序列kT)值是上述幂级数中zk的系数，对于用有理函数表示的z变换，可以直接用分母去除分 子，得到幂级数的展开形式，如果级数是收敛的，则级数中z*的系数就是kT)的值。在用长除法求系数时， F(z)的分子和分母都必须写成z1的升幂形式。 〖例3.6】求下式的逆z变换 F)=22+2 z2-2z+1 F(z)= 22+2z.1+22 解： 22-22+11-22+z7 长除格式
解：F(z)的特征方程为 ，所以特征方程有两重根。 设 其中 A,B 为 所以有 由于在表中查不到上式第一项的逆 z 变换，故将上式两边都乘 z -1 由于 (所以有 ，这是理解平移定理的一种方法，成对对应法) 故有 即 2. 幂级数展开法(长除法) 当 z 变换不能写成简单形式，或者逆 z 变换需要以数值序列 f(kT)表示时，可以采用幂级数展开法。 由 z 变换的定义 (3.34) 可以看出序列 f(kT)值是上述幂级数中 z -k的系数，对于用有理函数表示的 z 变换，可以直接用分母去除分 子，得到幂级数的展开形式，如果级数是收敛的，则级数中 z -k的系数就是 f(kT)的值。在用长除法求系数时， F(z)的分子和分母都必须写成 z -1 的升幂形式。 〖例 3.6〗 求下式的逆 z 变换 解： 长除格式