≥2wmx时，连续信号f)可以由采样信号∫`()唯一确定，亦即可以从∫`()无失真地恢复f)。 3.计算机控制系统中采样周期的选择 在计算机控制系统中，采样频率或采样周期的选择非常重要，它直接影响控制效果，而且还影响着系统的 稳定性。应该综合考虑计算机控制系统中采样周期的选择问题。下面给出几种常用的确定采样周期T的方 法。 (1)按系统闭环频带选取 系统闭环频带反映了系统中的信号频率。如果期望系统的闭环频带”：给定，则可取采样角频率为 T= 2x 0,=(6-10)0:,即选取采样周期为 (6-10)0: (2)按系统的开环传递函数选取 【例2.1】设系统的开环传递函数如下，试确定闭环系统的采样周期范围。 K G6)=05+15+8s+116] 解：将系统的开环传递函数写成 2K G(5)= 0.5 025 从而：T1=0.5秒，互=0.25秒，日=2兀/10秒=0.628秒.得mm=0.25秒. 由式(218)可以确定采样周期T的范围为：0.0625~0.125秒。 (3)按系统开环阶跃响应的上升时间选取 阶跃响应反映了被控系统的动态性能，其初始阶段反映了信号的高频成分，所以按阶跃响应的上升时间选 取采样周期就相当于按系统中最高频率的信号确定T。对无超调的系统，其上升时间t是指响应从稳态值的 10%上升至稳态值的90%所需的时间；对有超调的系统，上升时间t是指响应从零第一次上升到稳态值所需 的时间。 若已测得系统的阶跃响应上升时间t,,则可选取采样周期为 T=-4, (2~4) (2.19) (4)根据生产过程控制的经验选取 一般的过程对像中，起主要作用的往往只是一个时间常数，记为t,可以选取采样周期T为 Ta T=2-4 (2.20) 目前，人们对过程对像的控制研究和应用较多，对一些常见的过程量的采样周期的选择范围已有丰富经 验，相应采样周期的参考范围是：流量1~3秒，温度10~20秒，液位5~10秒，压力1~5秒，成份10~ 20秒。 总之，设计计算机控制系统时，应该在满足采样定理的前提下，兼顾系统硬件速度和控制算法复杂度，合 理地选择采样周期的范围，最后通过调试确定使系统性能满足要求的采样周期。 6.信号重构 在计算机控制系统中，经计算机运算得到的控制作用是一系列离散的数字信号，一般必须把它们转换成连 续信号，才能够用于过程对象的控制。 把离散信号变为连续信号的过程，称为信号重构，它是采样的逆过程。有些文献也称信号重构为信号保 持、信号恢复或数据保持」
≥2ωmax时，连续信号 f(t)可以由采样信号 唯一确定，亦即可以从 无失真地恢复 f(t)。 3. 计算机控制系统中采样周期的选择 在计算机控制系统中，采样频率或采样周期的选择非常重要，它直接影响控制效果，而且还影响着系统的 稳定性。应该综合考虑计算机控制系统中采样周期的选择问题。下面给出几种常用的确定采样周期 T 的方 法。 (1) 按系统闭环频带选取 系统闭环频带反映了系统中的信号频率。如果期望系统的闭环频带 给定，则可取采样角频率为 ，即选取采样周期为 (2) 按系统的开环传递函数选取 〖例 2.1〗 设系统的开环传递函数如下，试确定闭环系统的采样周期范围。 解：将系统的开环传递函数写成 从而：T1＝0.5 秒， ＝0.25 秒， ＝2 /10 秒 0.628 秒。得 ＝0.25 秒。 由式(2.18)可以确定采样周期 T 的范围为：0.0625～0.125 秒。 (3) 按系统开环阶跃响应的上升时间选取 阶跃响应反映了被控系统的动态性能，其初始阶段反映了信号的高频成分，所以按阶跃响应的上升时间选 取采样周期就相当于按系统中最高频率的信号确定 T。对无超调的系统，其上升时间 tr是指响应从稳态值的 10%上升至稳态值的 90%所需的时间；对有超调的系统，上升时间 tr是指响应从零第一次上升到稳态值所需 的时间。 若已测得系统的阶跃响应上升时间 tr，则可选取采样周期为 (2.19) (4) 根据生产过程控制的经验选取 一般的过程对象中，起主要作用的往往只是一个时间常数，记为 tｄ，可以选取采样周期 T 为 (2.20) 目前，人们对过程对象的控制研究和应用较多，对一些常见的过程量的采样周期 的选择范围已有丰富经 验，相应采样周期的参考范围是：流量 1～3 秒，温度 10～20 秒，液位 5～10 秒，压力 1～5 秒，成份 10～ 20 秒。 总之，设计计算机控制系统时，应该在满足采样定理的前提下，兼顾系统硬件速度和控制算法复杂度，合 理地选择采样周期的范围，最后通过调试确定使系统性能满足要求的采样周期。 6. 信号重构 在计算机控制系统中，经计算机运算得到的控制作用是一系列离散的数字信号，一般必须把它们转换成连 续信号，才能够用于过程对象的控制。 把离散信号变为连续信号的过程，称为信号重构，它是采样的逆过程。有些文献也称信号重构为信号保 持、信号恢复或数据保持
(1)零阶保持器 零阶保持器的传递函数为 g=1-e (2.29) 将5=jω代入上式中，可得零阶保持器的频率特性如下 0a)=1-e --T sin(oT/2) -jeT/2 o aT/2 (2.30) 其幅频特性为 sin(@T/2) Ho(jo)=T aT/2 (2.31) 相频特性为 sin(@T/2) arg Ho(jo)=arg -oT12 OT/2 (2.32) 图2.58给出了零阶保持器的频率特性。从图中可以看出，零阶保持器在奈奎斯特频率以外的增益不为 零，在相位上相当于引入T/2的时间延迟，因此其性能劣于理想低通滤波器，信号恢复效果也稍差，但作为 工程使用已足以满足要求。 Gpo(jar) 0.6377 0.217T 0.212Tf- 20 0 -180H -360 -540 -720 =900 argGso(jo)T 图2.58零阶保持器的频率特性 第七节数字滤波 除了前面提到的硬件模拟滤波器以外，在计算机控制系统中还常常采用数字滤波。所谓数字滤波（也称软 件滤波)，是把A/D转换得到的数据通过软件按照一定的算法进行平滑加工等处理，再送给控制程序运算， 以增强其有效信号、消除或减小各种干扰和噪声，从而提高控制精度和系统的可靠性与稳定性。 软件滤波器与硬件模拟滤波器相比，具有如下优点： .不需要增加硬件设备，因而系统的可靠性高，不存在阻抗匹配问题； 一般采用模拟滤波器时，需要给每个模拟输入通道配备一个硬件滤波器，系统造价较高，而数字滤器不 存在这一问题； 截止频率极低的模拟滤波器实现困难而且造价极高，数字滤波则很容易实现； 可以根据需选择不同的滤波方法和滤波器参数，使用灵活、方便。 当然，数字滤波器也存在缺点，如存在计算延迟、不能对信号连续滤波、由于数据采用有限字长表示而引
(1) 零阶保持器 零阶保持器的传递函数为 (2.29) 将 s=jω代入上式中，可得零阶保持器的频率特性如下 (2.30) 其幅频特性为 (2.31) 相频特性为 (2.32) 图 2.58 给出了零阶保持器的频率特性。从图中可以看出，零阶保持器在奈奎斯特频率以外的增益不为 零，在相位上相当于引入 T/2 的时间延迟，因此其性能劣于理想低通滤波器，信号恢复效果也稍差，但作为 工程使用已足以满足要求。 图 2.58 零阶保持器的频率特性 第七节 数字滤波 除了前面提到的硬件模拟滤波器以外，在计算机控制系统中还常常采用数字滤波。所谓数字滤波（也称软 件滤波），是把 A/D 转换得到的数据通过软件按照一定的算法进行平滑加工等处理，再送给控制程序运算， 以增强其有效信号、消除或减小各种干扰和噪声，从而提高控制精度和系统的可靠性与稳定性。 软件滤波器与硬件模拟滤波器相比，具有如下优点： ．不需要增加硬件设备，因而系统的可靠性高，不存在阻抗匹配问题； ．一般采用模拟滤波器时，需要给每个模拟输入通道配备一个硬件滤波器，系统造价较高，而数字滤器不 存在这一问题； ．截止频率极低的模拟滤波器实现困难而且造价极高，数字滤波则很容易实现； ．可以根据需选择不同的滤波方法和滤波器参数，使用灵活、方便。 当然，数字滤波器也存在缺点，如存在计算延迟、不能对信号连续滤波、由于数据采用有限字长表示而引
入舍入或截断误差等。特别地，数字滤波不能解决连续信号中有频率高于奈奎斯特频率ωN的分量所引起的混 淆问题，它只适用于对0~ωN的频率段的信号进行滤波（请参见2.6节有关内容）。因此，数字滤波器不能 完全取代硬件模拟滤波器，往往在模拟量信号输入通道配置硬件滤波器，同时在软件中采取数字滤波处理。 下面介绍几种常用的数字滤波方法。 1.限幅滤波方法 限幅滤波方法用于因随机干扰和误检测或者变送器不稳定而引起采样信号严重失真的场合，其基本思想 是：根据生产经验，确定相连两次采样输入信号可能出现的最大变化量ε；每次采样输入值均与上次采样值比 较，若变化量大于ε则认为存在干扰而放弃，若变化量小于ε则认为是正常信号而留用。该方法对变化比较缓慢 的输入量如温度、液位信号的滤波效果较好。 2,中值滤波方法 中值滤波方法在kT时刻进行（一般为奇数）次连续采样，得到采样序列 h(（化T)、乃(（T)M、"(kT),按大小进行排序（升序或降序，最后取中间值作为在kT时刻的采样值r(kD 送给控制程序。 该方法对于滤除脉动性质的干扰较有效，但对快速变化的过程参数（如流量）则不宜采用。一般来说，越 大滤波效果越好，但n过大会导致采样与滤波时间增加，故一般n取值5~9较合适。 3,算术平均滤波方法 类似中值滤波，算术平均滤波时，在采样时刻kT进行n次连续采样，得到采样序列 (化T)、(kT)、M、7(化T),并以其算术平均值作为在kT时刻的采样值送给控制程序。 该方法主要对压力、流量等周期脉动的采样值进行平滑处理，平均次数取决于平滑度和灵敏度要求。 随着增大，平滑度提高，而灵敏度下降，采样、滤波时间也增加。 4.一阶滞后滤波方法 对变化比较缓慢的参数，为提高滤波效果，一般采用一阶滞后滤波方法处理，对第k次采样值的滤波算 法为 (kT)=ar(kD+(1-a)(kT-T) (2.41) 其中，产表示滤波值；r表示采样值；x∈(0，为滤波常数；T是采样周期。 5.复合滤波方法 为了进一步提高滤波效果，还可把两种以上的滤波方法结合使用，称为复合滤波。这里不做过多讨论
入舍入或截断误差等。特别地，数字滤波不能解决连续信号中有频率高于奈奎斯特频率ωN 的分量所引起的混 淆问题，它只适用于对 0~ωN 的频率段的信号进行滤波（请参见 2.6 节有关内容）。因此，数字滤波器不能 完全取代硬件模拟滤波器，往往在模拟量信号输入通道配置硬件滤波器，同时在软件中采取数字滤波处理。 下面介绍几种常用的数字滤波方法。 1．限幅滤波方法 限幅滤波方法用于因随机干扰和误检测或者变送器不稳定而引起采样信号严重失真的场合，其基本思想 是：根据生产经验，确定相连两次采样输入信号可能出现的最大变化量ε；每次采样输入值均与上次采样值比 较，若变化量大于ε则认为存在干扰而放弃，若变化量小于ε则认为是正常信号而留用。该方法对变化比较缓慢 的输入量如温度、液位信号的滤波效果较好。 2．中值滤波方法 中值滤波方法在 kT 时刻进行 n(一般为奇数)次连续采样，得到采样序列 ，按大小进行排序(升序或降序)，最后取中间值作为在 kT 时刻的采样值 r(kT) 送给控制程序。 该方法对于滤除脉动性质的干扰较有效，但对快速变化的过程参数(如流量)则不宜采用。一般来说，n 越 大滤波效果越好，但 n 过大会导致采样与滤波时间增加，故一般 n 取值 5～9 较合适。 3．算术平均滤波方法 类似中值滤波，算术平均滤波时，在采样时刻 kT 进行 n 次连续采样，得到采样序列 ，并以其算术平均值作为在 kT 时刻的采样值送给控制程序。 该方法主要对压力、流量等周期脉动的采样值进行平滑处理，平均次数 n 取决于平滑度和灵敏度要求。 随着 n 增大，平滑度提高，而灵敏度下降，采样、滤波时间也增加。 4．一阶滞后滤波方法 对变化比较缓慢的参数，为提高滤波效果，一般采用一阶滞后滤波方法处理，对第 k 次采样值的滤波算 法为 (2.41) 其中， 表示滤波值；r 表示采样值； 为滤波常数；T 是采样周期。 5．复合滤波方法 为了进一步提高滤波效果，还可把两种以上的滤波方法结合使用，称为复合滤波。这里不做过多讨论
第三章计算机控制系统数学基础 第一节差分方程 在连续系统中，表示输出和输入信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用 差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述。 1.差分方程的一般概念 一阶线性常系数差分方程的一般形式为 x(k)+ox(k-1)=Be(k)+Boe(k-1) （3.5) 或（在上式中，令k=k+1即可） x(t+1)+a1x(对=be(+1)+6e(闷 (3.6) 一般情况，线性常系数差分方程的输入r为一序列，用r=r(k)={(O),r(1),r(2),}来表示；输出y也将是 一序列，用y=yk)=y0)y1)y(2)…}来表示。 则系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即 y(欣+m+ay(欣+1-1)+a2y(欣+n-2)+A+ay() =b(欣+m+r(低+n-1)+62r(欣+n-2)+A+bnr() (3.7) 上式也可写成 y(+m=-∑ay(欣+1-)+∑b(欣+1-D (3.8) 式（3.8)就称为n阶线性常系数差分方程。该方程表示，现在时刻的输出yk+)可以通过已知的输入序 列r(k+n,r(k+n-1),…,r(k)和以前各时核刻的输出序列yk+n-1)…,yk)来求得。其中a,b;是由系统物理参 数确定的常数。 所谓线性离散系统，是指表征其特性的差分方程满足叠加原理。 若(=]，（因=].网=a4+a(网，a4,a为任意常数则 y(=f[(] =几a1(+a3(] =a1f几h()]+a2f几r2(] =a11()+a2y2( 2.差分方程的求解 差分方程的求解方法有：(1)经典法，(2)迭代法，(3)z变换法。 (1)差分方程的经典解法 差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。 ①齐次解 当系统中无输入函数(k)作用时，系统可由齐次差分方程描述： y(+)+a1Jy(欣+1-1)+a2y(+1-2)+A+ay()=0 (3.9) 设该差分方程的通解为2≠0，代入方程3.9)，则有 l2+8+a,l2+-1+a,n+e-2+A+al=0 1(2+a121+a22-2+A+an)=0 (3.10) 因记≠0，所以可以用2除上式两边，得 2+a12-1+a22-2+A+an=0 (3.11)
第三章 计算机控制系统数学基础 第一节 差分方程 在连续系统中，表示输出和输入信号关系的数学模型用微分方程和传递函数来描述；在离散系统中，则用 差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种方式来描述。 1. 差分方程的一般概念 一阶线性常系数差分方程的一般形式为 （3.5） 或（在上式中，令 k=k+1 即可） （3.6） 一般情况，线性常系数差分方程的输入 r 为一序列，用 r=r(k)={r(0),r(1),r(2)，…}来表示；输出 y 也将是 一序列，用 y=y(k)={y(0),y(1),y(2),…}来表示。 则系统的输入与输出之间可以用线性常系数差分方程来描述，即 （3.7） 上式也可写成 （3.8） 式（3.8）就称为 n 阶线性常系数差分方程。该方程表示，现在时刻的输出 y(k+n)可以通过已知的输入序 列 r(k+n),r(k+n-1)，…，r(k)和以前各时刻的输出序列 y(k+n-1),…，y(k)来求得。其中 aj，bj是由系统物理参 数确定的常数。 所谓线性离散系统，是指表征其特性的差分方程满足叠加原理。 若 为任意常数,则 2. 差分方程的求解 差分方程的求解方法有：(1)经典法，(2)迭代法，(3)z 变换法。 (1) 差分方程的经典解法 差分方程的经典解法与微分方程的解法类似。其全解包括对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。 ① 齐次解 当系统中无输入函数 r(k)作用时，系统可由齐次差分方程描述： (3.9) 设该差分方程的通解为 ，代入方程(3.9)，则有 (3.10) 因 ，所以可以用 除上式两边，得 (3.11)
式(3.11)称为齐次方程(3.9)的特征方程，若特征方程具有互不相同的特征根1，乃，，无’则齐次 方程(3.9)的通解为 y(网=府+店+Λ+1减-∑ (3.12) 式中，系数将由边界条件（初始条件）决定 当特征根4为m重根，元%+1，…九%为0-m个单根时，系统的通解为 y/陶=2k+山25k-2+Λ1+12游+A+l,2 对+动 (3.13) 即通解y(k)由两部分组成，前一个和式由m个重根构成，后一个和式由(n-m)个单根构成，系数hi将由 边界条件（初始条件)决定。 ②特解 当输入函数(k)作用于系统时，系统差分方程的非齐次项不为零，则差分方程的全解包括通解和特解两部 分，其特解的求法与微分方程相同，特解的形式取决于输入函数「(k)的结构，表3.1列出了几个常见的特解形 式。 表3.1差分方程的解 输入函数rm+)形式 特解形式 (多项式) pk"+pk+A+pk+po (指数 2不是方程的特征根 p 函数) 无为方 方程为单根 A以+P2 程的特 情况时 征根之 方程有m-) P-k2*+2222+M+A2 个重根 根据输入函数的形式，设对应的特解形式并代入非齐次方程(3.7)中，再求出待定系数p0,p1,…,Pm, 那么所设解即为方程的一个特解y(k), ③方程的全解及系统分析 根据线性系统特性，方程的解为yk)=y(k)+yp(k)。 据此可得以下三点结论： ()差分方程是离散系统的一个完整描述，它完全反映了一个实际物理系统的特征。 (b)系统的稳定性只取决于系统的通解，即系统的特征根。为保证系统的稳定性，要求所有的特征根在单 位圆内。 (©)系统的动态特性取决于特征根的分布。 【例3.1】求解差分方程 y(+2)-5yk+1)+6y()=0 初始条件为y(1)=5,y(2)=9 解：上式的特征方程为 22-51+6=0
式(3.11)称为齐次方程(3.9)的特征方程，若特征方程具有互不相同的特征根 则齐次 方程(3.9)的通解为 (3.12) 式中，系数 li将由边界条件（初始条件）决定。 当特征根 为 m 重根， 为(n-m)个单根时，系统的通解为 (3.13) 即通解 yf(k)由两部分组成，前一个和式由 m 个重根构成，后一个和式由(n-m)个单根构成，系数 li将由 边界条件（初始条件）决定。 ② 特解 当输入函数 r(k)作用于系统时，系统差分方程的非齐次项不为零，则差分方程的全解包括通解和特解两部 分，其特解的求法与微分方程相同，特解的形式取决于输入函数 r(k)的结构，表 3.1 列出了几个常见的特解形 式。 表 3.1 差分方程的解 根据输入函数的形式，设对应的特解形式并代入非齐次方程(3.7)中，再求出待定系数 p0，p1，…，pm， 那么所设解即为方程的一个特解 yp(k)。 ③ 方程的全解及系统分析 根据线性系统特性，方程的解为 y(k)=yf(k)+yp(k)。 据此可得以下三点结论： (a) 差分方程是离散系统的一个完整描述，它完全反映了一个实际物理系统的特征。 (b) 系统的稳定性只取决于系统的通解，即系统的特征根。为保证系统的稳定性，要求所有的特征根在单 位圆内。 (c) 系统的动态特性取决于特征根的分布。 〖例 3.1〗求解差分方程 初始条件为 y(1)=5,y(2)=9 解：上式的特征方程为