意义1.极限符号可以与函数符号互换2.变量代换(u= (x)的理论依据In(1 + x)求 lim例1x→0x解原式=limln(1+ x)x-→0= In[lim(1+ x)*]= Ine = 1.x-0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u = (x))的理论依据. 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + 求 → = 1. x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne 解
求 lim例2x→0x解 令e*-l=J,则 x = In(1 + y),当x→0时,→0.1ylim1原式=lim11y-→0y-→0 In(1 + y)In(1 + y)"atlim=Ina.同理可得x-→0x
例2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 = 1. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式 解 e 1 y, x 令 − = 则 x = ln(1+ y), 当x → 0时, y → 0. y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − →
定理4设函数u=(x)在点x=x,连续，且p(xo)=uo，而函数y=f(u)在点u=u,连续则复合函数y=f[(x))在点x=x,也连续注意定理4是定理3的特殊情况，例如, u==在(-0,0)U(0,+α0)内连续,xy= sinu在(-o0,+o)内连续，7:: y= sin=在(-0, 0)U(0, + o0)内连续x
[ ( )] . ( ) , ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 则复合函数 在 点 也连续 而函数 在 点 连 续 设函数 在 点 连 续 且 y f x x x x u y f u u u u x x x = = = = = 定理4 = = 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 − + 内连续 x u y = sinu 在(−, + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y
四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.指数函数=α(a>0, a±1)在(-80,+8)内单调且连续对数函数y=log。x(a>0, a±1)在(0,+80)内单调且连续；
四、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ ★ y = a (a 0, a 1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; ★ y = log x (a 0, a 1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续;
y=x" =aulogax→y=a",u=ulog.x讨论μ不同值在(0,+80)内连续（均在其定义域内连续）定理5基本初等函数在定义域内是连续的定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ y = x a x a log = , u y = a u log x. = a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间