高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 按复合映照可微性定理,则有 Df)=[Dnf…,D,(m() Dna(a) =Dnf(m(m)Dn1(x)+…+Dnf(m(m)Dn(x) 1.3高阶偏导数 无论对多元函数还是向量值映照,如有存在对自变量某个分量的一阶偏导函数,则可进一步 考虑其对自变量某个分量的偏导数,含有二次或二次以上的偏导数可统称为高阶偏导数 例如,对多元函数 f(x):R"%x3→f(a)∈R 存在关于x2的偏导函数 an(a):R%3→ar()∈R 则可进一步考虑(x)在x点关于m的变化率 diori(a)4 a axj(aril()4 +A2 可称abr(a)为f(x)在正点的二阶偏导数,如果i≠j又可称为混合偏导数 值得指出,一般情况混合偏导数并不一定相等,亦即 axia A-0∈R 品(+)数mn业(+)一是()全P 入→0∈R azOr(a) 2应用事例 21分片函数的偏导数 事例1(一阶偏导数都不连续,不可微). y2 (x,y)≠(0,0) , (x,y)=(0,0) 连续性:全空间连续 阶偏导数: 2a n(20)=(2+)2(0)≠00 (x,y)=(0,0) (x2+y2)2 (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 按复合映照可微性定理，则有 Dfˆ(x) = [ Dη1 f, · · · , Dηq f ] (η(x)) Dη1 (x) . . . Dηq (x) = Dη1 f(η(x))Dη1 (x) + · · · + Dηq f(η(x))Dηq (x) 1.3 高阶偏导数 无论对多元函数还是向量值映照, 如有存在对自变量某个分量的一阶偏导函数, 则可进一步 考虑其对自变量某个分量的偏导数, 含有二次或二次以上的偏导数可统称为高阶偏导数. 例如, 对多元函数 f(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ f(x) ∈ R 存在关于 x i 的偏导函数 ∂f ∂xi (x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ ∂f ∂xi (x) ∈ R. 则可进一步考虑 ∂f ∂xi (x) 在 x 点关于 x j 的变化率 ∂ 2f ∂xj∂xi (x) , ∂ ∂xj ( ∂f ∂xi ) (x) , lim λ→0∈R ∂f ∂xi (x + λij ) − ∂f ∂xi (x) λ . 可称 ∂ 2f ∂xj∂xi (x) 为 f(x) 在 x 点的二阶偏导数, 如果 i ̸= j 又可称为混合偏导数. 值得指出, 一般情况混合偏导数并不一定相等, 亦即 ∂ 2f ∂xi∂xj , lim λ→0∈R ∂f ∂xj (x + λii) − ∂f ∂xj (x) λ ̸= lim λ→0∈R ∂f ∂xi (x + λij ) − ∂f ∂xi (x) λ , ∂ 2f ∂xj∂xi (x). 2 应用事例 2.1 分片函数的偏导数 事例 1 (一阶偏导数都不连续，不可微). f(x, y) = x 2 y x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) = 2xy3 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y (x, y) = x 2 x 2 − y 2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 6
高维微分学—向量值映照的可微性 谢锡麟 事例2(一阶偏导数都不连续,可微) f(a, y) 2+y2(x,y)≠(0,0) (x,y)=(0.,0) 连续性:全空间连续 阶偏导数 f y sin √a2+y2(x2+y2)32y2+y (x,y)≠(0,0) (x,y) rsin=/2⊥y2 Cos +y2) (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0) 事例3(一阶偏导数都连续,可微). f(x,y)=)叫P+y2(x,y)≠(0.0) (x,y)=(0,0) 连续性:全空间连续 一阶偏导数 x2-y2 4. 2 (x,3))9p+B+(2+)(x,y)≠(0,0) (x,y)=(0, 4 今(x,y)=-x2+y2“(2+y2)2(,列)≠(00) 0 (x,y)=(0,0) 3拓广深化 3.1单参数向量值映照的变化率 dA dB 性质31.设A(),B()∈R3为两个单参数向量值映照,如果彐a(t,()∈R,则有 1.3元(aA+BB)(t)=a(t)+B,(t)∈R3,Va,B∈R; 2.3a(A,B2()=(cMB()+(4(,(),∈R d dB 3.3(4×B)t)=dt10×B(t)+A(t)×mn()∈R3
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 向量值映照的可微性 谢锡麟 事例 2 (一阶偏导数都不连续，可微). f(x, y) = xy sin 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) = y sin 1 √ x 2 + y 2 − x 2y (x 2 + y 2) 3/2 cos 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂x(x, y) = x sin 1 √ x 2 + y 2 − xy2 (x 2 + y 2) 3/2 cos 1 √ x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 事例 3 (一阶偏导数都连续，可微). f(x, y) = xy x 2 − y 2 x 2 + y 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 连续性：全空间连续 一阶偏导数： ∂f ∂x(x, y) = y x 2 − y 2 x 2 + y 2 + xy 4xy2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y (x, y) = x x 2 − y 2 x 2 + y 2 − xy 4xy2 (x 2 + y 2) 2 (x, y) ̸= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) 3 拓广深化 3.1 单参数向量值映照的变化率 性质 3.1. 设 A(t), B(t) ∈ R 3 为两个单参数向量值映照, 如果 ∃ dA dt (t), dB dt (t) ∈ R 3 , 则有 1. ∃ d dt (αA + βB)(t) = α dA dt (t) + β dB dt (t) ∈ R 3 , ∀ α, β ∈ R; 2. ∃ d dt (A, B)R3 (t) = ( dA dt (t), B(t) ) R3 + ( A(t), dB dt (t) ) R3 ∈ R; 3. ∃ d dt (A × B)(t) = dA dt (t) × B(t) + A(t) × dB dt (t) ∈ R 3 . 7