11 三解下列定解问题： 1.(10分) u-a+hu=f化>0，-e<r<+o, u0,d)=0. 2.(15分) △2u=2-2,(2=z2+y2<a2), (器+)l2+y=a2=0 3.(15分) 脸=是(r器)，t>0,0<r=V2+<) 叫，=0有界，票l,=-b=0, 4l-0=(r,器l-0=0. 注。mat=经总，a>0叭：
11 三. 解下列定解问题: 1. (10分) ut − uxx + hu = f(t, x), (t > 0, −∞ < x < +∞), u(0, x) = 0. 2. (15分) ∆2u = x 2 − y 2 , (r 2 = x 2 + y 2 < a2 ), ∂u ∂r + u |x2+y2=a2 = 0. 3. (15分) ∂ 2u ∂t2 = a 2 r ∂ ∂r r ∂u ∂r , (t > 0, 0 < r = p x 2 + y 2 < b), u|r=0有界, ∂u ∂r |r=b = 0, u|t=0 = ϕ(r), ∂u ∂t |t=0 = 0. 注: ✂ +∞ 0 e −a 2x 2 cos bxdx = √ π 2a e − b 2 4a2 , (a > 0)
2005-2006学年第一学期数理方程B期末试题 一.(30分)填空 1.方程uzy+w=1的通解是 2.固有值问题：”+Ay=0,y0),()=0的固有值入= 对应的固有函 数n()= 3.设P006(x)是2006阶勒让德多项式，计算，x2005P006(z)dr= 4.计算(x-a)的傅里叶变换F(d(x-a)》= 5.试将函数f(x)=3(-1<x<1)按勒让德多项式展开：f(x)= 二(15分)求解定解问题 t=4zr+2z,(t>0,-00<E<+o∞)， u0,x)=0,(0,)=0. 三.(15分)求解定解问题 :=红3，(t>0,0<x<T） u(t,0)=0,u(t,T）=100, u(0,x)=x+6(x-) 四.(15分)求解定解问题 是(e)=器，0<x<1,t>0, u(,0)有限，u(心，)=0， 4k=0=fult=0=0. 五.(10分) 1.求出区域D={,):x2+y2<1,y>0)上的格林函数Gz,;,(,∈D,即求解定解问题 △2G=-x-5y-l,(,)eD, G(z,yl2+y2=1=0,G(z,0)=0. 2.写出定解问题 △2u=-fz,(c,)∈D, u(红，儿z2+v2=1=0,u(z,0)=(a)
12 2005-2006学年第一学期数理方程B期末试题 一. (30分)填空 1. 方程uxy + uy = 1的通解是 . 2. 固有值问题: y 00 + λy = 0, y(0), y0 (π) = 0的固有值λn = , 对应的固有函 数yn(x) = . 3. 设P2006(x)是2006阶勒让德多项式, 计算 ✁ 1 −1 x 2005P2006(x)dx = . 4. 计算δ(x − a)的傅里叶变换F(δ(x − a)) = . 5. 试将函数f(x) = x 3 (−1 < x < 1)按勒让德多项式展开: f(x) = . 二. (15分)求解定解问题 utt = uxx + 2x, (t > 0, −∞ < x < +∞), u(0, x) = 0, ut(0, x) = 0. 三. (15分)求解定解问题 ut = uxx, (t > 0, 0 < x < π), u(t, 0) = 0, u(t, π) = 100, u(0, x) = 100 π x + δ(x − π x ). 四. (15分)求解定解问题 1 x ∂ ∂x x ∂u ∂x = ∂ 2u ∂t2 , (0 < x < l, t > 0), u(t, 0)有限, u(t, l) = 0, u|t=0 = f(x), ut|t=0 = 0. 五. (10分) 1. 求出区域D = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1, y > 0}上的格林函数G(x, y; ξ, η),(ξ, η) ∈ D, 即求解定解问题 ∆2G = −δ(x − ξ, y − η), (x, y) ∈ D, G(x, y)|x2+y2=1 = 0, G(x, 0) = 0. 2. 写出定解问题 ∆2u = −f(x, y), (x, y) ∈ D, u(x, y)|x2+y2=1 = 0, u(x, 0) = φ(x)
13 的解的积分表达式。 六.(15分) 1.求出方程山=a2zr+bu的柯西问题的基本解（化，x),其中a和b是常数，即求定解问题 4=a2urx+u,(t>0,-<x<+o), u(0,=de. 2.求解柯西问期 4=a2u+b,(t>0,-<r<+∞， u0.=1+x2 参考公式 1.勒让德方程式(0-x2)y”-2x+n(n+1)y=0,(n=0,1,2,.,-1<x<1:勒让德多项式：尸()= m(r2-1)n,特别地，B(a)=1,乃)-，P()=3x2-1),P()-6r2-3a),P(回)- (35r-30r2+3),P()=63r3-703+15 2.贝塞尔方程是x2”+x可+（2-2)g=0,(≥0,0<工<a,贝塞尔函数具有微分关系式 &r(=以-回 到-4 x 贝塞尔函数在第一、二类边界条件下的模平方N好=心x(x)dz分别是 8=ea.-b2-(台)月Bao 3.积分∫e-d山=V示.fe)的傅里叶变换定义为F)=f(r)exdr.F)=eaN的傅里叶反 变换是fa)=左F)e-d=0,F)=c~的傅里叶反变换是fa)=点e一号
13 的解的积分表达式. 六. (15分) 1. 求出方程ut = a 2uxx + bu的柯西问题的基本解U(t, x), 其中a和b是常数, 即求定解问题 ut = a 2uxx + bu, (t > 0, −∞ < x < +∞), u(0, x) = δ(x). 2. 求解柯西问题 ut = a 2uxx + bu, (t > 0, −∞ < x < +∞), u(0, x) = 1 + x 2 . 参考公式 1. 勒让德方程式(1 − x 2 )y 00 − 2xy0 + n(n + 1)y = 0, (n = 0, 1, 2, · · · , −1 < x < 1); 勒让德多项式: Pn(x) = 1 2nn! d n dxn (x 2 − 1)n, 特别地, P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1), P3(x) = 1 2 (5x 2 − 3x), P4(x) = 1 8 (35x 4 − 30x 2 + 3), P5(x) = 1 8 (63x 5 − 70x 3 + 15x). 2. 贝塞尔方程是x 2y 00 + xy0 + (x 2 − ν 2 )y = 0, (ν ≥ 0, 0 < x < a), 贝塞尔函数具有微分关系式: d dx[x νJν(x)] = x νJν−1(x) 和 d dx Jν(x) x ν = − Jν+1(x) x ν . 贝塞尔函数在第一、二类边界条件下的模平方N2 ν = ✁ n 0 xJ2 ν (ωx)dx分别是 N 2 ν1 = a 2 2 J 2 ν+1(ωa), N2 ν2 = 1 2 a 2 − ν ω 2 J 2 ν (ωa). 3. 积分 ✁ +∞ −∞ e −x 2 dx = √ π. f(x)的傅里叶变换定义为F(λ) = ✁ +∞ −∞ f(x)e iλxdx. F(λ) = e −a|λ|的傅里叶反 变换是 f(x) = 1 2π ✁ +∞ −∞ F(λ)e −iλxdλ = a π(x2+a2) , F(λ) = e −λ 2 t的傅里叶反变换是f(x) = 1 2 √ πt e − x 2 4t
2005-2006学年第二学期数理方程A期末试题 一，(10分)求解定解问题 x器+器=0， lw=0=x2. 二.(12分)求解定解问题 uzz+2ury-3uw=1. u(红，0)=3x2,4c,0)=. 三.(12分)求解以下固有值问题（计算结果中要明确指出固有值和固有函数） (Yy+y=0(0<x<1), IY(o<+oo,Y()=0. 2. Y"+Y=0(0<x<2) Y0)=0,Y'②)=0. 四.(14分，超纲)写出泛函 [(）+()-2a 的Eler方程并求出满足边界条件叫+y=1=1的极小元。 五.(8分)将函数f()=x)在-1,1]上按1 egendre多项式P.()展开. 六.(14分)求定解问题 u=urr+cos3rx,(e∈[0，t>0, (t,0)=z(化，1)=0， 4(0,z)=0,u(0,x)=2 COS+4c0s2mz 七.(14分)求函数i(x)=d(x-1),f(a)=e,f(e)=cosx的Fourier变换[5(e儿，F[f(a儿，F/a(x】 并利用Fourier2变换求初值问题 h=2z+u+ft,x),(t>0,-0<x<+oo), t=0=() 的基本解，再利用相应公式解出此初值问题
14 2005-2006学年第二学期数理方程A期末试题 一. (10分)求解定解问题 x ∂u ∂x + ∂u ∂y = 0, u|y=0 = x 2 . 二. (12分)求解定解问题 uxx + 2uxy − 3uyy = 1, u(x, 0) = 3x 2 , uy(x, 0) = x 2 . 三. (12分)求解以下固有值问题(计算结果中要明确指出固有值和固有函数) 1. 1 x (xY 0 ) 0 + λY = 0, (0 < x < 1), |Y (0)| < +∞, Y (1) = 0. 2. Y 00 + λY = 0, (0 < x < 2), Y (0) = 0, Y 0 (2) = 0. 四. (14分, 超纲)写出泛函 J[u(x, y)] = ☎ x2+y2≤1 " ∂u ∂x2 + ∂u ∂y 2 − 2xyu# dxdy 的Euler方程并求出满足边界条件u|x2+y2=1 = 1的极小元. 五.(8分) 将函数f(x) = δ(x)在[−1, 1]上按Legendre多项式Pn(x)展开. 六. (14分)求定解问题 utt = uxx + cos 3πx, (x ∈ [0, 1], t > 0), ux(t, 0) = ux(t, 1) = 0, ut(0, x) = 0, u(0, x) = 2 cos πx + 4 cos 2πx. 七. (14分)求函数f1(x) = δ(x − 1), f2(x) = e ix, f3(x) = cos x的Fourier变换F[f1(x)], F[f2(x)], F[f3(x)] 并利用Fourier变换求初值问题 ut = 2uxx + u + f(t, x), (t > 0, −∞ < x < +∞), u|t=0 = φ(x). 的基本解, 再利用相应公式解出此初值问题