2002-2003学年第二学期数理方程期末试题 一，(20分)解定解问题 器=a2器，(0<x<l,t>0, t=0=0,器l=0=s血江+血平z 叫=0=0，叫==0. 二.(20分)解定解问趣 器=a2(器+器)-4，r=V2+<1,t>0, 叫=0=x2+y2 三.(15分)用Laplace2变换求解 别+2u=0,(c>0,y>0,c>0为常数， 4z=0=, 4=0=0. 四.(10分)求边值问题 g器+=(x-5,y-l(0<工，5<+o,0<,n<+oo) Gl=0=0,Gg=0=0 的解G(x,:E,D. 五.(20分)现有初值问题 费=9器+4器+2器+-u+f化工，（红，）∈形，t>0, 4叫=0=（红， 1.求此初值问题的基本解U(化，工，) 2。利用此基本解写出上述初始问题解的积分表达式」
6 2002-2003学年第二学期数理方程期末试题 一. (20分)解定解问题 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 , (0 < x < l, t > 0), u|t=0 = 0, ∂u ∂t |t=0 = sin π l x + sin 2π l x, u|x=0 = 0, u|x=l = 0. 二. (20分)解定解问题 ∂u ∂t = a 2 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 − u, (r = p x 2 + y 2 < 1, t > 0), u|t=0 = x 2 + y 2 , u|r=1 = e −t . 三. (15分)用Laplace变换求解 ∂ 2u ∂x∂y + c 2u = 0, (x > 0, y > 0), c > 0为常数, u|x=0 = y, u|y=0 = 0. 四. (10分)求边值问题 ∂ 2G ∂x2 + ∂ 2G ∂y2 = δ(x − ξ, y − η), (0 < x, ξ < +∞, 0 < y, η < +∞), G|x=0 = 0, G|y=0 = 0 的解G(x, y; ξ, η). 五. (20分)现有初值问题 ∂u ∂t = 9 ∂ 2u ∂x2 + 4 ∂ 2u ∂y2 + 2 ∂u ∂x + ∂u ∂y − u + f(t, x, y), ((x, y) ∈ R2 , t > 0), u|t=0 = φ(x, y), 1. 求此初值问题的基本解U(t, x, y); 2. 利用此基本解写出上述初始问题解的积分表达式
六.(15分)设叫=2-y器，g≠0，试 1.求出方程[叫=0的特征曲线族（红，）=c4,(红，)=2 2.在区域x>0,y>0内求方程L叫=0的通解： 3.求定解问题 L回=0，(>0,xy>1,y>x, =1=, g=2=x2 参考公式 1.在柱坐标(，9，)下 Aw=杂+架++ 2.在球坐标(r,9,)下 au=器+器+品品(m)+立别 3.阶Bes方程r2”+x可+(2-v2)y=0,在0<<+上得基础解组为(，N(.其中 -2-r++西台)“ 1
7 六. (15分)设L[u] = x 2 ∂ 2u ∂x2 − y 2 ∂ 2u ∂y2 , xy 6= 0, 试 1. 求出方程L[u] = 0的特征曲线族φ(x, y) = c1, ψ(x, y) = c2; 2. 在区域x > 0, y > 0内求方程L[u] = 0的通解; 3. 求定解问题 L[u] = 0, (x > 0, xy > 1, y > x), u|xy=1 = 1 x2 , u|y=x2 = x 2 . 参考公式 1. 在柱坐标(r, θ, z)下, ∆3u = ∂ 2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂θ2 + ∂ 2u ∂z2 2. 在球坐标(r, θ, φ)下, ∆3u = ∂ 2u ∂r2 + 2 r ∂u ∂r + 1 r 2 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + 1 sin2 θ ∂ 2u ∂φ2 3. ν阶Bessel方程x 2y 00 + xy0 + (x 2 − ν 2 )y = 0, 在0 < x < +∞上得基础解组为Jν(x), Nν(x), 其中 Jν(x) = X +∞ l=0 (−1)k 1 k!Γ(k + ν + 1) x 2 2k+ν
2003-2004学年数理方程A期末试题 一，(20分)解定解问题： △2u-0, u(r,0)l=1=1+cos0+cos 20. 二(20分)解定解问题： un uez +2xt, 叫l=0=0,r=1=- 4l=0=4ll=0=0. 三.(20分)将(x)=x2-1,（0✉≤1)按零阶贝塞尔函数展开. 四.(20分)解初值问趣： 4=x-2z+u+f化， (u=0=(r) 五.(10分)用V表示区域：{2+2+2<1，z>0,S表示V的边界，求 △yu=0,的基本解 (4ls=0 六.(10分)验证： ut.=ct,aw+[f.C.nr. 是定解问题 u=Lu+f(t,). 叫=0=4=1=0， 4=0=p() 的解.其中G，T,)-Gt-,x:),G0,)-6(r:)是该定解问题的基本解
8 2003-2004学年数理方程A期末试题 一. (20分)解定解问题: ∆2u = 0, u(r, θ)|r=1 = 1 + cos θ + cos 2θ. 二. (20分)解定解问题: utt = uxx + 2xt, u|x=0 = 0, u|x=1 = − 1 3 t 3 , u|t=0 = ut|t=0 = 0. 三. (20分)将y(x) = x 2 − 1,(|x| ≤ 1)按零阶贝塞尔函数展开. 四. (20分)解初值问题: ut = uxx − 2ux + u + f(t, x), u|t=0 = ϕ(x). 五. (10分)用V 表示区域: {x 2 + y 2 + z 2 < 1, z > 0}, S表示V 的边界, 求 ∆3u = 0, u|S = 0 的基本解. 六. (10分) 验证: u(t, x) = ✂ l 0 φ(ξ)G(t, x; 0, ξ)dξ + ✂ t 0 dτ ✂ l 0 f(τ, ξ)G(t, x; τ, ξ)dξ 是定解问题 ut = Lu + f(t, x), u|x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = φ(x) 的解. 其中G(t, x; τ, ξ) = G(t − τ, x; ξ), G(0, x; ξ) = δ(x; ξ)是该定解问题的基本解
20032004学年第一学期数理方程B期末试题 一.(20分)解定解问题 utt uzz sin 2r,(t >0,-o0<<+o), 4lt=0=04lt=0=6r2. 二.(20分)解定解问题 △3u=0,(1<r<2,0≤9≤T,0≤p≤2r) 4l=1=1+cos2a, 4lr=2=0. 三.(20分)解定解问题 费=是是（口）+4(t>0,0<x<1), -0有界，1=0， 四.(20分)解定解问题 ut=a2uzr buz +cu+f(t,),(t>0-o0<x<+oo), =0=p( 其中a,ac为常数. 五.(20分)求平面区域D:工>0，y>0的格林函数G(红，5，并求下列定解问题的解 △2u=-f(M0,M,∈D:x>0,y>0, =p(M,Mz,)∈1：l为D的边界 注4异（器）+如品（血）+可器
9 2003-2004学年第一学期数理方程B期末试题 一. (20分)解定解问题 utt − uxx = sin 2x, (t > 0, −∞ < x < +∞), u|t=0 = 0, ut|t=0 = 6x 2 . 二. (20分)解定解问题 ∆3u = 0, (1 < r < 2, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π), u|r=1 = 1 + cos2 θ, ur|r=2 = 0. 三. (20分)解定解问题 ∂u ∂t = 1 x ∂ ∂x x ∂u ∂x + u, (t > 0, 0 < x < 1), u|x=0有界, u|x=1 = 0, u|t=0 = ϕ(x). 四. (20分)解定解问题 ut = a 2uxx + bux + cu + f(t, x), (t > 0, −∞ < x < +∞), u|t=0 = ϕ(x). 其中a, b, c为常数. 五. (20分)求平面区域D : x > 0, y > 0的格林函数G(x, y; ξ, η), 并求下列定解问题的解: ∆2u = −f(M), M(x, y) ∈ D : x > 0, y > 0, u|l = ϕ(M), M(x, y) ∈ l : l为D的边界. 注: ∆3u = 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂u ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2
2004-2005学年第二学期数理方程A期末试题 一.(30分)填空题 1.设0<0<1，红-0)在0，上按照正弦函数系{si血平}的展开式为 红-x0)= '(r-xo)在0，上按照余弦函数系{c0s平}的展开式为 矿(x-0)= 2.（品+易）6z,)的Fourier变换是 3.已知f(r)的Fourier变换为F[f(a川=号(d(a+o)+6(X-Ao),则 f(x)= 4,△2u-f(z,)在平面区域D:0<argz<l/3r内第一边值问题的Green函数是 5.固有值问题 ”+Ay=0,0<x<1, 0)=0,1)=0 的固有值为 ,固有函数为 固有函数的模平方 为 二解下列初值问遐： 1.(10分) 器-6-器=0，>0-0<z<+∞小 ult=o =z. 2.(10分) r-4w+cosx=0,(-0<工，g<+oo), u(红，0)=0,4，（红，0）=4. 3.(10分) 3器+10瑞+3器=0(-<x<+o,y>0, 叫g=0=0,8器ly=0=p()
10 2004-2005学年第二学期数理方程A期末试题 一. (30分)填空题 1. 设0 < x0 < l, δ(x − x0)在[0, l]上按照正弦函数系 sin nπx l 的展开式为 δ(x − x0) = , δ 0 (x − x0)在[0, l]上按照余弦函数系 cos nπx l 的展开式为 δ 0 (x − x0) = . 2. ∂ ∂x + ∂ ∂y2 δ(x, y)的Fourier变换是 . 3. 已知f(x)的Fourier变换为F[f(x)] = A 2 (δ(λ + λ0) + δ(λ − λ0)), 则 f(x) = . 4. ∆2u = f(x, y)在平面区域D : 0 < arg z < 1/3π内第一边值问题的Green函数是 . 5. 固有值问题 y 00 + λy = 0, (0 < x < 1), y(0) = 0, y(1) = 0 的固有值为 , 固有函数为 , 固有函数的模平方 为 . 二. 解下列初值问题: 1. (10分) ∂u ∂t − e −x ∂u ∂x = 0, (t > 0, −∞ < x < +∞), u|t=0 = x. 2. (10分) uxx − uyy + cos x = 0, (−∞ < x, y < +∞), u(x, 0) = 0, uy(x, 0) = 4x. 3. (10分) 3 ∂ 2u ∂x2 + 10 ∂ 2u ∂x∂y + 3 ∂ 2u ∂y2 = 0, (−∞ < x < +∞, y > 0), u|y=0 = 0, ∂u ∂y |y=0 = ϕ(x)