数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.5.12019春数理方程B期末第八题 计算积分 [A国0+r+22+3r+r血 1.5.22020春数理方程B毕业班期末第五题第一问 卫为n阶勒让德函数，写出B(x),B(c),P(x),并计算积分」，(20+x)P(x)d. 1.6积分变换法求解定解问题 这类题目几乎每年都有考察，一般为一道题目.对应作业第四章第1、2题以及补充题 目. 1.6.12014春数理方程B期末第四题 月积分变换法求解 ∫4=a2urr+u,(-0<x<+o∞，t>0) u(0,x)=p(r) 1.6.22016春数理方程B期末第四题 求解以下初值问题 t=4u+5u,(t>0,-o<x<+oo) ul=0=(x) 并指出当(x)=e时此定解问题的解 1.6.32019春数理方程B期末第六题 求解热传导问题 ∫h=ur+w,(-0<x<+o,t>0) u(0,x)=e 1.6.42020春数理方程B毕业班期末第四题 求解 4=urr+u,(t>0,0<x<+oo) 4=0=6(x+1) 10
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.5.1 2019 春数理方程 B 期末第八题 计算积分 Z 1 −1 P4(x) 1 + x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 dx 1.5.2 2020 春数理方程 B 毕业班期末第五题第一问 Pn 为 n 阶勒让德函数, 写出 P0(x), P1(x), P2(x)，并计算积分 R 1 −1 (20 + x)P2(x)dx. 1.6 积分变换法求解定解问题 这类题目几乎每年都有考察，一般为一道题目. 对应作业第四章第 1、2 题以及补充题 目. 1.6.1 2014 春数理方程 B 期末第四题 月积分变换法求解 ( ut = a 2uxx + u,(−∞ < x < +∞, t > 0) u(0, x) = φ(x) 1.6.2 2016 春数理方程 B 期末第四题 求解以下初值问题 ( utt = 4uxx + 5u,(t > 0, −∞ < x < +∞) u| t=0 = ϕ(x) 并指出当 ϕ(x) = e −x 2 时此定解问题的解. 1.6.3 2019 春数理方程 B 期末第六题 求解热传导问题 ( ut = uxx + u,(−∞ < x < +∞, t > 0) u(0, x) = e −x 2 1.6.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第四题 求解 ( ut = uxx + u,(t > 0,∞ < x < +∞) u| t=0 = δ(x + 1) 10
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.7求解格林函数，用基本解方法求解定解问题 这类题目几平每年都有考察，其中格林函数的求解考察一般为镜像法（但有时会以积分 变换法求解定解问题形式呈现，比如2020春数理方程B毕业班期末第四题)，但考虑 到格林函数的求解本质上是定解问题的求解，所以需要掌握使用分离变量法、积分变 换法等方法求解格林函数的方法.对应作业5、6、7、9、10、12题. 1.7.12014春数理方程B期末第三题 求第一象限D={(x,)eR2|x>0,y>0}的第一边值问题的Green函数 1.7.22016春数理方程B期末第六题 已知下半空间V={(,2)x<0,-<,y<+o∞} l。求出V内泊松方程第一边值问题的Green函数. 2.求解定解问题 4urr+ugy+u:=0,(a<0,-0<x,y<+oo) (4=0=p(x,) 1.7.32017春数理方程B期末第六题 设区域={（红，）1y≥x} 1.求区域？上的泊松方程狄利克雷边值问题的格林函数 2.求解如下泊松方程的狄利克雷边值问题 了△2u=0,(,)∈2) u(z,z)=o(r) 1.7.42017春数理方程B期末第七题 考察定解问题 ∫4=4ur+3u,(-0<x<+oo,t>0) (0,x)=() 1.求出上述定解问题相应的基本解 2.当(x)=x时，求解上述定解问题 1.7.52019春数理方程B期末第七题 设平面区域2={(x,)川x+y>0}
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.7 求解格林函数，用基本解方法求解定解问题 这类题目几乎每年都有考察，其中格林函数的求解考察一般为镜像法 (但有时会以积分 变换法求解定解问题形式呈现，比如 2020 春数理方程 B 毕业班期末第四题)，但考虑 到格林函数的求解本质上是定解问题的求解，所以需要掌握使用分离变量法、积分变 换法等方法求解格林函数的方法. 对应作业 5、6、7、9、10、12 题. 1.7.1 2014 春数理方程 B 期末第三题 求第一象限 D = {(x, y) ∈ R 2 | x > 0, y > 0} 的第一边值问题的 Green 函数. 1.7.2 2016 春数理方程 B 期末第六题 已知下半空间 V = {(x, y, z) | x < 0, −∞ < x, y < +∞)} 1。求出 V 内泊松方程第一边值问题的 Green 函数. 2. 求解定解问题 ( 4uxx + uyy + uzz = 0,(z < 0, −∞ < x, y < +∞) u| z=0 = φ(x, y) 1.7.3 2017 春数理方程 B 期末第六题 设区域 Ω = {(x, y) | y ≥ x} 1. 求区域 Ω 上的泊松方程狄利克雷边值问题的格林函数. 2. 求解如下泊松方程的狄利克雷边值问题 ( ∆2u = 0,((x, y) ∈ Ω) u(x, x) = ϕ(x) 1.7.4 2017 春数理方程 B 期末第七题 考察定解问题 ( ut = 4uxx + 3u,(−∞ < x < +∞, t > 0) u(0, x) = φ(x) 1. 求出上述定解问题相应的基本解. 2. 当 φ(x) = x 时，求解上述定解问题. 1.7.5 2019 春数理方程 B 期末第七题 设平面区域 Ω = {(x, y) | x + y > 0} 11
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.求出区域的Green函数 2.求出区域Ω的定解问题 △2u=0,(x,y)∈2 u(z,-r)=(r) 1.7.62020春数理方程B毕业班期末第六题 已知平面区域D={(,)川-o∞<x<+oo,y<1} l.写出D内泊松方程第一边值问题的Green函数所满足的定解问题，并求出Green 函数 2.求解定解问题 Jur+a2uw=0,(-<<+∞，y<1) 2020春数理方程08 ulv-1=9()
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1. 求出区域 Ω 的 Green 函数. 2. 求出区域 Ω 的定解问题 ( ∆2u = 0,(x, y) ∈ Ω u(x, −x) = φ(x) 1.7.6 2020 春数理方程 B 毕业班期末第六题 已知平面区域 D = {(x, y) | −∞ < x < +∞, y < 1} 1. 写出 D 内泊松方程第一边值问题的 Green 函数所满足的定解问题，并求出 Green 函数. 2. 求解定解问题 ( uxx + a 2uyy = 0,(−∞ < x < +∞, y < 1) u| y=1 = φ(x) 12
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 重要考点梳理 2.1定解问题的书写 一均匀杆的原长为1，一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长b而静止，放手任其 振动，试写出对应的定解问题。 解：首先按照题意建立合适的坐标系 取杆所在直线为x轴，固定端为原点x=0,另一端对应x=。以(x,)表示小段的 质心位移，设S为杆的横截面积，p为杆的质量密度，（红，）是小段端点处所受的力.由 牛顿第二定律，有 te+Ax)-G,s=nsA器 当△红→0时，元→4，+型→需，又因为p=E尝，故有 令a2=,可得振动方程为 由题意知，放手时即是振动的初始时刻，此时杆振动的速度为零，则 =o=0 而x=1端拉离平衡位置使整个杆伸长了b,故初始位移为 4o=产 再看边界条件，一端固定即该端位移保持为0，即 4叫z0=0 另一端未受外力，于是有 uzlr=1=0
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 重要考点梳理 2.1 定解问题的书写 一均匀杆的原长为 l, 一端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长 b 而静止，放手任其 振动，试写出对应的定解问题。 解：首先按照题意建立合适的坐标系. 取杆所在直线为 x 轴，固定端为原点 x = 0，另一端对应 x = l。以 u¯(x, t) 表示小段的 质心位移, 设 S 为杆的横截面积, ρ 为杆的质量密度, p(x, t) 是小段端点处所受的力. 由 牛顿第二定律，有 [p(x + ∆x, t) − p(x, t)]S = ρS∆x ∂ 2u¯ ∂t2 当 ∆x → 0 时 , u¯ → u, p(x+∆x,t)−p(x,t) ∆x → ∂p ∂x , 又因为 p = E ∂u ∂x , 故有 ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂p ∂x = E ∂ 2u ∂x2 令 a 2 = E ρ , 可得振动方程为 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 由题意知，放手时即是振动的初始时刻，此时杆振动的速度为零，则 ut | t=0 = 0 而 x = l 端拉离平衡位置使整个杆伸长了 b, 故初始位移为 u| t=0 = b l x 再看边界条件，一端固定即该端位移保持为 0，即 u|x=0 = 0 另一端未受外力，于是有 ux|x=l = 0 13
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 所以定解问题可以写作 胎-a2器 ul=0=9z,u4l-0=0 4z=0=0,ul=1=0 总结：首先要选取合适的坐标系 具体操作：选择一微元利用物理定律进行分析，整理得到泛定方程，结合物理意义写出 定解条件 下面通过两道在自然语言描述上比较类似的问题说明如何进行合适的微元分析。」 题一： 长为1的柔软均匀绳，一端固定在以角速度匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力 的作用，这根绳的平衡位置应是水平线，试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 解：由小量近似，sina≈tana=器，cosa≈1，因而从x到x+dr这段绳满足 Tzul+h-Tul=pdr·u 即 (Tu,儿+a-(T=儿，=pdr·e 为了求出在x处的张力T(x),需考虑从x到1的一段绳上的惯性离心力的作用，设在x 处的张力为T(x),则 T()=re= 因此， 2r-e-叫=ut 即 mm-c-儿地-e-lL =2e-）
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 所以定解问题可以写作 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 u| t=0 = b l x, ut | t=0 = 0 u|x=0 = 0, ux|x=l = 0 总结：首先要选取合适的坐标系 具体操作：选择一微元利用物理定律进行分析，整理得到泛定方程，结合物理意义写出 定解条件. 下面通过两道在自然语言描述上比较类似的问题说明如何进行合适的微元分析. 题一： 长为 l 的柔软均匀绳，一端固定在以角速度 ω 匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力 的作用，这根绳的平衡位置应是水平线，试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 解：由小量近似，sin α ≈ tan α = ∂u ∂x , cos α ≈ 1, 因而从 x 到 x + dx 这段绳满足 T2ux|x+dx − T1ux|x = ρdx · utt 即 (T ux)|x+dx − (T ux)|x = ρdx · utt 为了求出在 x 处的张力 T(x), 需考虑从 x 到 l 的一段绳上的惯性离心力的作用, 设在 x 处的张力为 T(x), 则 T(x) = Z l x ω 2xρdx = 1 2 ρω2 l 2 − x 2 因此， 1 2 ρω2 l 2 − x 2 ux x+dx − 1 2 ρω2 l 2 − x 2 ux x = uttρdx 即 ρutt = 1 2 ρω2 (l 2 − x 2 ) ux x+dx − 1 2 ρω2 (l 2 − x 2 ) ux x dx = 1 2 ρω2 ∂ ∂x l 2 − ω 2 ux 14