数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.如取f(化，x)=0,求此初值问题的解 2.如取f(t,x)=2x2,求此初值问题相应的解 1.2.22017春数理方程B期末第二题 求解一维半无界弦的自由振动问题： ur=9ur,(t>0,0<x<+oo) x=0=0 4l=0=工，4l-0=2sinz 1.2.32019春数理方程B期末第二题 求解一维无界弦的振动问题 了H=ur-4t+2x,(-o<x<+o,t>0) ul-o=2,uel=o=sin 3r 1.2.42020春数理方程B毕业班期末第一题 求解下列Cauchy问题 1. ∫t=4uz,(t>0,-oo<x<+∞) ul=o=2,=o=cos 2x 0器=20 u(0,y)=y,u(r,0)=sin 1.3求解固有值问题 这类题目在近年来考察频率也比较高，几乎每年都会有考察.这类题目的做法核心是要 认识到求解固有值问题本质上是求解带有未知参数入的常微分方程问题.所以，只需要 将其当作一般的常微分方程问题来处理。总的来讲，可能会用到的方法有：降阶法，特 征根法，特殊函数法.其中降阶法主要要求掌握可降阶类型的表达形式，以及降阶所使 用的函数变换方法：特征根法主要要求掌握一般方程和特征根方程的对应关系，以及 对应解的形式（特征根法求解属于常见类型，也是重点，关于特征根法的思想阐述详见 文件”特征根法，你到底，你到底是谁)：特殊函数法是这门课程中主要学习的一种求 解特殊固有值问题的方法，主要要求掌握两类方程的表达形式，以及对应方程的解.对 应于作业第二章第1题和第2题
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1. 如取 f(t, x) = 0, 求此初值问题的解. 2. 如取 f(t, x) = t 2x 2 , 求此初值问题相应的解. 1.2.2 2017 春数理方程 B 期末第二题 求解一维半无界弦的自由振动问题: utt = 9uxx,(t > 0, 0 < x < +∞) u|x=0 = 0 u| t=0 = x, ut | t=0 = 2 sin x 1.2.3 2019 春数理方程 B 期末第二题 求解一维无界弦的振动问题 ( utt = uxx − 4t + 2x,(−∞ < x < +∞, t > 0) u| t=0 = x 2 , ut | t=0 = sin 3x 1.2.4 2020 春数理方程 B 毕业班期末第一题 求解下列 Cauchy 问题: 1. ( utt = 4uxx,(t > 0, −∞ < x < +∞) u| t=0 = x 2 , ut | t=0 = cos 2x 2. ( ∂ 2u ∂x∂y = 20 u(0, y) = y 2 , u(x, 0) = sin x 1.3 求解固有值问题 这类题目在近年来考察频率也比较高，几乎每年都会有考察. 这类题目的做法核心是要 认识到求解固有值问题本质上是求解带有未知参数 λ 的常微分方程问题. 所以，只需要 将其当作一般的常微分方程问题来处理. 总的来讲，可能会用到的方法有：降阶法，特 征根法，特殊函数法. 其中降阶法主要要求掌握可降阶类型的表达形式，以及降阶所使 用的函数变换方法；特征根法主要要求掌握一般方程和特征根方程的对应关系，以及 对应解的形式 (特征根法求解属于常见类型，也是重点，关于特征根法的思想阐述详见 文件” 特征根法，你到底，你到底是谁”)；特殊函数法是这门课程中主要学习的一种求 解特殊固有值问题的方法，主要要求掌握两类方程的表达形式，以及对应方程的解. 对 应于作业第二章第 1 题和第 2 题. 5
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.3.12014春数理方程B期末第二题 求下列固有值问题的解，要求明确指出固有值及其所对应的固有函数 了x2”"+x+Ax2y=0,(0<x<2) ly(0川<+o∞，(2)=0 1.3.22016春数理方程B期末第一题 求以下固有值问题的固有值和固有函数 y"(e)+AY(x)=0,(0<x<16) Y'(0)=0,Y'(16)=0 1.3.32016春数理方程B期末第八题 考察勒让德方程对应固有值问题的求解，以及函数在勒让德多项式所构成的固有函数 系上的展开， 考虑固有值问题 是[1-x2)]+y=0,(0<x<1) 0)=0,l(1川<+ 1.求此固有值问题的固有值和固有函数. 2.把f()=2x+1按此固有值问题所得到的固有函数系展开 1.3.42019春数理方程B期末第三题 求解固有值问题 了”+2+Aw=0,(0<x<9) ((0)=y(9)=0 1.3.52020春数理方程B毕业班期末第二题 二.(18分)求以下固有值问题的固有值和固有函数：1 Y"()+Y(x)=0,(0<x<) 1Y0)=0,Y()=0 x2Y"(x)+xY"(x)+AY(x)=0,(1<x<b) Y(1)=0,Y'(b)=0 6
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.3.1 2014 春数理方程 B 期末第二题 求下列固有值问题的解, 要求明确指出固有值及其所对应的固有函数 ( x 2 y ′′ + xy′ + λx2 y = 0,(0 < x < 2) |y(0)| < +∞, y′ (2) = 0 1.3.2 2016 春数理方程 B 期末第一题 求以下固有值问题的固有值和固有函数 ( Y ′′(x) + λY (x) = 0,(0 < x < 16) Y ′ (0) = 0, Y ′ (16) = 0 1.3.3 2016 春数理方程 B 期末第八题 考察勒让德方程对应固有值问题的求解，以及函数在勒让德多项式所构成的固有函数 系上的展开. 考虑固有值问题 ( d dx [(1 − x 2 ) y ′ ] + λy = 0,(0 < x < 1) y ′ (0) = 0, |y(1)| < +∞ 1. 求此固有值问题的固有值和固有函数. 2. 把 f(x) = 2x + 1 按此固有值问题所得到的固有函数系展开. 1.3.4 2019 春数理方程 B 期末第三题 求解固有值问题 ( y ′′ + 2y ′ + λy = 0, (0 < x < 9) y(0) = y(9) = 0 1.3.5 2020 春数理方程 B 毕业班期末第二题 二. (18 分) 求以下固有值问题的固有值和固有函数: 1 ( Y ′′(x) + λY (x) = 0,(0 < x < π) Y ′ (0) = 0, Y ′ (π) = 0 2 ( x 2Y ′′(x) + xY ′ (x) + λY (x) = 0,(1 < x < b) Y (1) = 0, Y ′ (b) = 0 6
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4分离变量法求解定解问题 分离变量法是求解定解问题的重要方法之一，也是这门课程的重点.分离变量法求解定 解问题几乎每年都会有考察对于这类题目，首先要选择合适的变量，进而判断是否为 齐次.对于非齐次问题，需要转化为齐次问题才能直接进行分离变量法求解.对应于作 业第二章310题和第三章16、18、19、25、27、28、29题. 1.4.12014春数理方程B期末第五题 「△2u=0.(r<2) ul=2=sin 0+2sin 50-7cos40 1.4.22014春数理方程B期末第六题 #=4uxx,(0<r<1.t>0) u(t.0)=0.u(t,1=1 u(0,x)=p(x)+x,u4(0,)=6(x-) 1.4.32014春数理方程B期末第七题 ur+w+4s:=名，(r2+2+2<1) r2+2+21=0 1.4.42016春数理方程B期末第二题 利用分离变量法求解定解问题 =4ux,(t>0,0<x<5) u(t,0)=u(6,5)=0 u(0,)=(x) 并求(x)=(x-2)时此定解问题的解
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4 分离变量法求解定解问题 分离变量法是求解定解问题的重要方法之一，也是这门课程的重点. 分离变量法求解定 解问题几乎每年都会有考察. 对于这类题目，首先要选择合适的变量，进而判断是否为 齐次. 对于非齐次问题，需要转化为齐次问题才能直接进行分离变量法求解. 对应于作 业第二章 3-10 题和第三章 16、18、19、25、27、28、29 题. 1.4.1 2014 春数理方程 B 期末第五题 ( ∆2u = 0,(r < 2) u| r=2 = sin θ + 2 sin 5θ − 7 cos 4θ 1.4.2 2014 春数理方程 B 期末第六题 utt = 4uxx,(0 < x < 1, t > 0) u(t, 0) = 0, u(t, 1) = 1 u(0, x) = φ(x) + x, ut(0, x) = δ x − 1 2 1.4.3 2014 春数理方程 B 期末第七题 ( uxx + uyy + uzz = z,(x 2 + y 2 + z 2 < 1) u|x2+y 2+z 2=1 = 0 1.4.4 2016 春数理方程 B 期末第二题 利用分离变量法求解定解问题 ut = 4uxx,(t > 0, 0 < x < 5) u(t, 0) = u(t, 5) = 0 u(0, x) = ϕ(x) 并求 ϕ(x) = δ(x − 2) 时此定解问题的解. 7
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4.52016春数理方程B期末第五题 求解以下定解问题： 4=um+u,(0<r<1) lu(t,01<+oo,u(t,1)=0 u刘=0=(r） 并算出(r)=6(ar)+3%(br)时的解，其中0<a<b,且6(a)=o(⑥)=0. 1.4.62016春数理方程B期末第七题 对于三维波动方程 ut=a2△3u,(a>0,t>0,-o0<x,2<+oo) 它的形如u=ut,r）=TU)(r)的解称为方程的可分离变量的径向对称解，求方程满 足im+u=0的可分离变量的径向对称解，这里r=√2+y2+2. 1.4.72017春数理方程B期末第三题 考察一维有界限振动问题 r=ur+f6,x),(t>0,0<x<m) u叫=0=0，ul=x=0 叫l-0=sin2,4l=0=sin 1.当f(t,x)=0时，求出上述定解问题的解41(x) 2.当f,x)=sin麦sinwt,.(u≠k+,k∈N)时，求出上述定解问题的解u2化，x), 3.指出定解问题中方程非齐次项f(化，x),边界条件和初始条件的物理意义. 1.4.82017春数理方程B期末第四题 求解定解问题 0=是(c)+u,(t>0,0<x<1) 叫0有界，4=1=0 4=0=p()
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4.5 2016 春数理方程 B 期末第五题 求解以下定解问题: ut = urr + 1 r ur,(0 < r < 1) |u(t, 0)| < +∞, u(t, 1) = 0 u| t=0 = ϕ(r) 并算出 ϕ(r) = J0(ar) + 3J0(br) 时的解，其中 0 < a < b，且 J0(a) = J0(b) = 0. 1.4.6 2016 春数理方程 B 期末第七题 对于三维波动方程 utt = a 2∆3u,(a > 0, t > 0, −∞ < x, y, z < +∞) 它的形如 u = u(t, r) = T(t)R(r) 的解称为方程的可分离变量的径向对称解，求方程满 足 limt→+∞ u = 0 的可分离变量的径向对称解, 这里 r = p x 2 + y 2 + z 2 . 1.4.7 2017 春数理方程 B 期末第三题 考察一维有界限振动问题 utt = uxx + f(t, x),(t > 0, 0 < x < π) u|x=0 = 0, ux|x=π = 0 u| t=0 = sin 3 2 x, ut | t=0 = sin x 2 1. 当 f(t, x) = 0 时，求出上述定解问题的解 u1(x). 2. 当 f(t, x) = sin x 2 sin ωt, ω ̸= k + 1 2 , k ∈ N 时 , 求出上述定解问题的解 u2(t, x). 3. 指出定解问题中方程非齐次项 f(t, x), 边界条件和初始条件的物理意义. 1.4.8 2017 春数理方程 B 期末第四题 求解定解问题 ∂u ∂t = 1 x ∂ ∂x x ∂u ∂x + u,(t > 0, 0 < x < 1) u|x=0 有界, ux|x=1 = 0 u| t=0 = φ(x) 8
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 1.4.92017春数理方程B期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题： 了ur+w+u:=之，(x2+y+2<1) 42+y2+2=1=0 1.4.102019春数理方程B期末第四题 求解一维有界弦的振动问题 =uzx,(0<x<1,t>0) 4=0=4z=1=1 4l=0=0,ul-0=0 1.4.112019春数理方程B期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题 △3u=0,(x2+y2<1,0<2<1） 了2+=1=0 叫=0=0，la1=1-(x2+2) 1.4.122020春数理方程B毕业班期末第三题 1.求周期边界条件下 u=ur,(t>0,0<x<1) u(t.0)=u(t.1）,u(t.0)=u(t.1) 的分离变量解u=T()X(x) 2.求解 =r,(t>0,0<x<1) u(t,0)=u(t,1),uz(化，0)=uz(亿，1) u(0,)sin 2nz,ut(0,r)=2 cos 2 1.5特殊函数的积分求解（性质、递推公式的应用） 这类题目从2019春期末开始，近两年都有考察.主要考察特殊函数的基本概念、性质 以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等.对应作业第 三章第9、22、23题
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 1.4.9 2017 春数理方程 B 期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题: ( uxx + uyy + uzz = z,(x 2 + y 2 + z 2 < 1) u|x2+y 2+z 2=1 = 0 1.4.10 2019 春数理方程 B 期末第四题 求解一维有界弦的振动问题 utt = uxx,(0 < x < 1, t > 0) u|x=0 = u|x=1 = 1 u| t=0 = 0, ut | t=0 = 0 1.4.11 2019 春数理方程 B 期末第五题 求解如下泊松方程的边值问题 ∆3u = 0,(x 2 + y 2 < 1, 0 < z < 1) u|x2+y 2=1 = 0 u| z=0 = 0, u| z=1 = 1 − (x 2 + y 2 ) 1.4.12 2020 春数理方程 B 毕业班期末第三题 1. 求周期边界条件下 ( utt = uxx,(t > 0, 0 < x < 1) u(t, 0) = u(t, 1), ux(t, 0) = ux(t, 1) 的分离变量解 u = T(t)X(x). 2. 求解 utt = uxx,(t > 0, 0 < x < 1) u(t, 0) = u(t, 1), ux(t, 0) = ux(t, 1) u(0, x) = sin 2πx, ut(0, x) = 2π cos 2πx 1.5 特殊函数的积分求解 (性质、递推公式的应用) 这类题目从 2019 春期末开始，近两年都有考察. 主要考察特殊函数的基本概念、性质 以及递推公式的应用，并且考察积分求解方法，如换元法、分部积分法等. 对应作业第 三章第 9、22、23 题. 9