数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 整理得 a-02-=0 题二： 长为1的柔软均匀的重绳，上端固定在以角速度如匀速转动的竖直轴上，由于重力的 作用，绳的平衡位置应是竖直线。试推导此绳相对于竖直线的横振动方程. 解：在小振动的情况下，sina≈tana=器，cosa≈1，ds≈dz,取从x到x+dr一段 绳，满足 Tauslrtdr Tiuel+F=pdz uu 其中F是dx段上所受的惯性离心力，F=pdcw2,在x端还受重力的作用，张力 T-pgdr.代入上式得 [(I-)pgulld-[(I-)+uw"pdr =unpdr 4=亿-gl-亿-gulL+2 dr 亦即 整理得到 a-9品0-2=0 2.2行波法求解定解问题（并和积分变换法作比较） ur=a2△3u,(t>0,r>0) ,-0有界 4l=0=0,u4l=D=(1+r23)-2 解： 法一：使用行波法求解。观察问题为三维球对称的波动方程问题，可以通过函数变换转 化为一维半无界区域问题，接着使用延拓法转化为一维无界区域的波动方程问题进而使 用行波法求解。 使用球坐标表达泛定方程 w=(an+子)
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 整理得 utt − 1 2 ω 2 ∂ ∂x l 2 − ω 2 ux = 0 题二： 长为 l 的柔软均匀的重绳，上端固定在以角速度 ω 匀速转动的竖直轴上，由于重力的 作用，绳的平衡位置应是竖直线。试推导此绳相对于竖直线的横振动方程. 解：在小振动的情况下，sin α ≈ tan α = ∂u ∂x , cos α ≈ 1, ds ≈ dx, 取从 x 到 x + dx 一段 绳，满足 T2ux|x+dx − T1ux|x + F = ρdx · utt 其中 F 是 dx 段上所受的惯性离心力，F = ρdxuω2 , 在 x 端还受重力的作用, 张力 T = R l x ρgdx. 代入上式得 [(l − x)ρgux]|x+dx − [(l − x)ρgux]|x + uω2 ρdx = uttρdx 即 utt = [(l − x)gux]|x+dx − [(l − x)gux]|x dx + uω2 亦即 utt = g ∂ ∂x [(l − x)ux] = uω2 整理得到 utt − g ∂ ∂x [(l − x)ux] − uω2 = 0 2.2 行波法求解定解问题 (并和积分变换法作比较) utt = a 2∆3u, (t > 0, r > 0) u| r=0 有界 u| t=0 = 0, ut | t=0 = (1 + r 2 ) −2 解： 法一：使用行波法求解。观察问题为三维球对称的波动方程问题，可以通过函数变换转 化为一维半无界区域问题，接着使用延拓法转化为一维无界区域的波动方程问题进而使 用行波法求解。 使用球坐标表达泛定方程 utt = a 2 urr + 2 r ur 15
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 通过待定函数变换过程确定函数变换因子，令v=ru,则变为半无界弦振动定解问题 H=a2um,(t>0,r>0) 0l,=0-0 =0.=o=r 进一步，使用延拓法 Wu=,(t>0,-00<x<+o0) w=0=0,l=0=a+ 利用达朗贝尔公式 ut,到=去a成=-阿 =aa+-t一a0++可=+-a++a啊 取x>0部分（对应原问题的r>0),得到半无界弦振动定解问题的解为 rt 6,r）=1+r-at+r+ad网 相应地，此三维波动方程定解问题的解为 u6,r)+r-ai91+r+a明 法二：使用拉普拉斯变换法求解.对于一般的发展方程问题，时间变量t>0为半无界 区域，且初始条件往往满足拉普拉斯变换法使用条件 L[ud=p2U-pU(0,r）-(0,r）=p2U-(1+r2)- 那么方程变为 0-+2=器+2 r dr 求解常微分方程，再作Laplace逆变换，最后得到 u=+r-at明1+r+a网 比较：可以发现，行波法和积分变换法都可以应用于求解这一问题。行波法求解这一问 题主要步骤为：选取合适的坐标系表达定解问题，待定函数变换寻找合适的函数变换因 子，变换后的问题利用延拓法转化为可以直接使用行波法求解的问题，利用达朗贝尔公 式直接得到解。拉普拉斯变换法求解这一问题的主要步骤为：选取合适的坐标系表达定 16
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 通过待定函数变换过程确定函数变换因子，令 v = ru, 则变为半无界弦振动定解问题 vtt = a 2 vrr, (t > 0, r > 0) v| r=0 = 0 v| t=0 = 0, vt | t=0 = r (1+r 2) 2 进一步，使用延拓法 ( wtt = a 2wxx, (t > 0, −∞ < x < +∞) w| t=0 = 0, wt | t=0 = x (1+x2) 2 利用达朗贝尔公式 w(t, x) = 1 2a R x+at x−at ξ (1+ξ 2) 2 dξ = − 1 4a 1 (1+ξ 2) x+at x−at = 1 4a 1 (1+(x−at) 2) − 1 4a 1 (1+(x+at) 2) = xt [1+(x−at) 2][1+(x+at) 2] 取 x > 0 部分（对应原问题的 r > 0），得到半无界弦振动定解问题的解为 v(t, r) = rt [1 + (r − at) 2 )] [1 + (r + at) 2 ] 相应地，此三维波动方程定解问题的解为 u(t, r) = t [1 + (r − at) 2 ] [1 + (r + at) 2 ] 法二：使用拉普拉斯变换法求解. 对于一般的发展方程问题，时间变量 t > 0 为半无界 区域，且初始条件往往满足拉普拉斯变换法使用条件. L [utt] = p 2U − pU(0, r) − ut(0, r) = p 2U − 1 + r 2 −2 那么方程变为 p 2U − 1 + r 2 −2 = a 2 d 2U dr2 + 2a 2 r dU dr 求解常微分方程, 再作 Laplace 逆变换，最后得到 u = t [1 + (r − at) 2 ] [1 + (r + at) 2 ] 比较：可以发现，行波法和积分变换法都可以应用于求解这一问题。行波法求解这一问 题主要步骤为：选取合适的坐标系表达定解问题，待定函数变换寻找合适的函数变换因 子，变换后的问题利用延拓法转化为可以直接使用行波法求解的问题，利用达朗贝尔公 式直接得到解。拉普拉斯变换法求解这一问题的主要步骤为：选取合适的坐标系表达定 16