任给ε>0,存在正数N,使得当 n>N 时,对一切xeD,都有8(5)I f,(x)- f(x) <2于是当n,m>N,由(5)得 f,(x) - fm(x)/≤I f,(x) - f(x) /+ / f(x) - fm(x) I88<-+-=8.22充分性若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，(f,)在D上任一点都收敛,记其极限函数为f(x)后页返回前页
前页 后页 返回 任给 >0, 存在正数N, 使得当 n N 时, 对一切 x D , 都有 | ( ) ( ) | . (5) 2 n f x f x − 于是当 ,由(5)得 n m N , | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | n m n m f x f x f x f x f x f x − − + − . 2 2 + = 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则, { } 在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f x( ), n f
xeD.现固定(4)式中的n,让m→o0,于是当n>N时对一切xeD都有Lf,(x)-f(x)飞ε. 由定义1知f,(x) f(x) (n →0),x ED根据一致收敛定义可推出下述定理：定理13.2（余项准则）函数列(f,)在区间D上一致收敛于f的充分必要条件是：(6)limsupI f,(x)- f(x) = 0.n->00xED证必要性若f,(x) f(x) (n→0),x D. 则对任给的正数ε,存在不依赖于x的正整数N，当后页返回前页
前页 后页 返回 x D n m n N → . (4) , , , 现固定 式中的 让 于是当 时 对一切x D 都有| ( ) ( ) | . n f x f x − 由定义1知, 根据一致收敛定义可推出下述定理: 定理13.2（余项准则） { }n 函数列 f D 在区间 上一致 收敛于 f 的充分必要条件是: limsup | ( ) ( ) | 0. (6) n n x D f x f x → − = 任给的正数 , 存在不依赖于 x 的正整数 N , 当 ( ) ( ) ( ), . n f x f x n x D → → → 证 必要性 ( ) ( ) ( ), . n 若 f x f x n x D → → → 则对