线性代数(同济四版)习题参考答案 anI 使rn换到第二行 =(-1)2-1(-1)y-2…(-1) =(-1)1+2+…+(n-2)+(n-1)D anl ann 同理可证 anI n(n=1) D2=(-1)-2(-1) 7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是 解:方法一.将cn作n-1次列的相邻对换,移到第二列 01 再将rn作n-1次行的相邻对换,移到第二行: 10 0
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 9 n−2 次行的相邻互换 =============== 使 rn 换到第二行 (−1)n−1 (−1)n−2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 · · · a1n a21 · · · a2n an1 · · · ann . . . . . . a31 · · · a3n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = (−1)n−1 (−1)n−2 · · ·(−1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 · · · a1n . . . . . . an1 · · · ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1)1+2+···+(n−2)+(n−1)D = (−1) n(n−1) 2 D. 同理可证 D2 = (−1) n(n−1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 · · · an1 . . . . . . a1n · · · ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1) n(n−1) 2 DT = (−1) n(n−1) 2 D. D3 = (−1) n(n−1) 2 D2 = (−1) n(n−1) 2 (−1) n(n−1) 2 D = (−1)n(n−1)D = D. 7 . 计算下列各行列式 (Dk 为 k 阶行列式)： (1) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 . . . 1 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 其中对角线上元素都是 a, 未写出的元素都是 0; 解: 方法一. 将 cn 作 n − 1 次列的相邻对换, 移到第二列: Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 · · · 0 1 0 a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · a 0 1 0 · · · 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1)n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 · · · 0 1 1 0 · · · 0 a 0 a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · a 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再将 rn 作 n − 1 次行的相邻对换, 移到第二行: Dn = (−1)n−1 (−1)n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 0 · · · 0 1 a 0 · · · 0 0 0 a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 1 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a · · · 0 . . . . . . 0 · · · a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−2)×(n−2) = (a 2 − 1)a n−2 . 方法二. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 · · · 0 1 0 a · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · a 0 1 0 · · · 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 c1 ====== a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a . . . a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−1)×(n−1) + 1 × (−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 · · · 0 1 a · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 · · · a 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−1)×(n−1)
第一章行列式 民生"+(1y+1×1×(-1)m-y (n-2)x(n-2) 解:方法一将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a 0 0 ar 0 再将各列都加到第一列上,得 I+(n-1)a a 0|=[z+(n-1)(x-a)-1 方法二.将各列都加到第一列得 r+(n-1) a r+(n-1) a =+(-1)l 再将第一行乘以(-1)分别加到其余各行,得 x+(n-1)]0 x+(n-1)d](x-a 方法三.升阶法 0 10 (n+1)×(n+1)
10 第一章 行列式 展开 r1 ====== a n + (−1)n+1 × 1 × (−1)(n−1)+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a . . . a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−2)×(n−2) = a n − a n−2 . (2) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x a · · · a a x · · · a . . . . . . . . . a a · · · x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; 解: 方法一. 将第一行乘 (−1) 分别加到其余各行, 得 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x a a · · · a a − x x − a 0 · · · 0 a − x 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . a − x 0 0 · · · x − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 再将各列都加到第一列上, 得 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x + (n − 1)a a a · · · a 0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = £ x + (n − 1)a ¤ (x − a) n−1 . 方法二. 将各列都加到第一列得 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x + (n − 1)a a · · · a x + (n − 1)a x · · · a . . . . . . . . . x + (n − 1)a a · · · x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = £ x + (n − 1)a ¤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a · · · a 1 x · · · a . . . . . . . . . 1 a · · · x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再将第一行乘以 (−1) 分别加到其余各行, 得 Dn = £ x + (n − 1)a ¤ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a a · · · a 0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = £ x + (n − 1)a ¤ (x − a) n−1 . 方法三. 升阶法. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a a · · · a 0 x a · · · a 0 a x · · · a . . . . . . . . . . . . 0 a a · · · x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) ri−r1 ======= i=2,3,··· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a a · · · a −1 x − a 0 · · · 0 −1 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . −1 0 0 · · · x − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1)
线性代数(同济四版)习题参考答案 若x=a,则Dn=0.若x≠a,则将9加到c1,j=23,…,n+ 0 0 + x+(n-1)a](x-a) (3)Dn+1 (提示:利用范德蒙德行列式的结果.) 1 a - n 解:从第n+1行开始,第π+1行经过π次相邻对换,换到第1行;第n行经(n-1)次对换换到第2 行经n+(n-1)+…+1=+次行交换,得(或者直接由题6的结论) D (a-1) 此行列式为范德蒙德行列式. 对照范德蒙德行列式的写法知,这里的a=x1 a-(n-l=n, a xn+1.则 (-1) j-1).所以 (-1)2Ⅱ[a-a+1)-(a-j+1) n+1≥1>1≥ (-1)=Ⅱ[-(-刃 (-1)22×(-1)”+(m-1)++1 (-j) ∏(-j) j≥1 (4)D2n=0 解:方法一将c2n作2n-1次列的相邻对换,移到第二列;再将r2an作2n-1次行的相邻对换,移到
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 11 若 x = a, 则 Dn = 0. 若 x 6= a, 则将 1 x−a cj 加到 c1, j = 2, 3, · · · , n + 1: Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + a x−a n a a · · · a 0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x − a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) = µ 1 + na x − a ¶ (x − a) n = £ x + (n − 1)a ¤ (x − a) n−1 . (3) Dn+1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a n (a − 1)n · · · (a − n) n a n−1 (a − 1)n−1 · · · (a − n) n−1 . . . . . . . . . a a − 1 · · · a − n 1 1 · · · 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (提示: 利用范德蒙德行列式的结果. ) 解: 从第 n + 1 行开始, 第 n + 1 行经过 n 次相邻对换, 换到第 1 行; 第 n 行经 (n − 1) 次对换换到第 2 行. 经 n + (n − 1) + · · · + 1 = n(n+1) 2 次行交换, 得 (或者直接由题 6 的结论) Dn+1 = (−1) n(n+1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 a a − 1 · · · a − n . . . . . . . . . a n−1 (a − 1)n−1 · · · (a − n) n−1 a n (a − 1)n · · · (a − n) n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 此行列式为范德蒙德行列式. 对照范德蒙德行列式的写法知, 这里的 a = x1, a − 1 = x2, . . . , a − (n − 1) = xn, a − n = xn+1. 则 xi = a − (i − 1), xj = a − (j − 1). 所以 Dn+1 = (−1) n(n+1) 2 Y n+1>i>j>1 ¡ xi − xj ¢ = (−1) n(n+1) 2 Y n+1>i>j>1 £ (a − i + 1) − (a − j + 1)¤ = (−1) n(n+1) 2 Y n+1>i>j>1 £ − (i − j) ¤ = (−1) n(n+1) 2 × (−1)n+(n−1)+···+1 × Y n+1>i>j>1 (i − j) = Y n+1>i>j>1 (i − j). (4) D2n = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an 0 bn . . . . . . 0 a1 b1 c1 d1 0 . . . . . . cn 0 dn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; 解: 方法一. 将 c2n 作 2n − 1 次列的相邻对换, 移到第二列; 再将 r2n 作 2n − 1 次行的相邻对换, 移到
第一章行列式 D2n=(-1)2n-1(-1)2n-1 cI dy Cn- 又n=1时D ed1|=a-b,所以 =an )…(ad-bc)=II(ad-b) i=1 「这个方法与教材P15的例Ⅱ1相同本题的第(1)小题也用到了此方法 方法 0 展开 +(-1)2n+1b./0 展升=-=and,D2n-2-bnnD2n-2 由此得递推公式 D2n=(andn-bnCn)D2n-2, I(a;di-bic)D2 而D2 c1 dsa1d1-b1C1, 4 D2n=(a;;-b;ci) (5)Dn=dt(a),其中a=|-j 解:由a=|-j得
12 第一章 行列式 第二行: D2n = (−1)2n−1 (−1)2n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an bn cn dn an−1 bn−1 . . . . . . a1 b1 c1 d1 . . . . . . cn−1 dn−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (andn − bncn)D2(n−1), 又 n = 1 时 D2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 b1 c1 d1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = a1d1 − b1c1, 所以 D2n = (andn − bncn)· · ·(a1d1 − b1c1) = Yn i=1 (aidi − bici). 这个方法与教材 P.15 的例 11 相同. 本题的第 (1) 小题也用到了此方法. 方法二. D2n 展开 r1 ====== an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an−1 0 bn−1 0 . . . . . . 0 a1 b1 c1 d1 0 . . . . . . . . . cn−1 0 dn−1 0 0 · · · 0 dn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)2n+1bn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 an−1 0 bn−1 . . . . . . 0 . . . a1 b1 c1 d1 0 . . . . . . 0 cn−1 dn−1 cn 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 c2n−1 ========= andnD2n−2 − bncnD2n−2. 由此得递推公式: D2n = (andn − bncn)D2n−2, 即 D2n = Yn i=2 (aidi − bici)D2. 而 D2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 b1 c1 d1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = a1d1 − b1c1, 得 D2n = Yn i=1 (aidi − bici). (5) Dn = det(aij ), 其中 aij = |i − j|; 解: 由 aij = |i − j| 得 Dn = det(aij ) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 3 · · · n − 1 1 0 1 2 · · · n − 2 2 1 0 1 · · · n − 3 . . . . . . . . . . . . . . . n − 2 n − 3 n − 4 n − 5 · · · 1 n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 · · · 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
线性代数(同济四版)习题参考答案 1 0 0 0 0 0 0 0 =(-1)-1(n-1)2n-2 1 (6)Dn= ,其中a102…an≠0. 解:升阶法 + al a 1+ (n+1)x(n+1) (n+1)×(n+1) 1 0 10 0 00 (a1
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 13 ri−ri+1 ======= i=1,2,··· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 1 · · · 1 −1 −1 1 1 · · · 1 −1 −1 −1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . . . −1 −1 −1 −1 · · · 1 n − 1 n − 2 n − 3 n − 4 · · · 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj+c1 ======= j=2,3,··· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 0 0 · · · 0 −1 −2 0 0 · · · 0 −1 −2 −2 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . −1 −2 −2 −2 · · · 0 n − 1 2n − 3 2n − 4 2n − 5 · · · n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(−1)n−1 (n − 1)2n−2 . (6) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + a1 1 · · · 1 1 1 + a2 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 + an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 其中 a1a2 · · · an 6= 0. 解: 升阶法. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 · · · 1 0 1 + a1 1 · · · 1 0 1 1 + a2 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 0 1 1 · · · 1 + an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) ri−r1 ======= i=2,3,··· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 · · · 1 −1 a1 0 · · · 0 −1 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . −1 0 0 · · · an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) c1+ 1 a1 c2 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + 1 a1 1 1 · · · 1 0 a1 0 · · · 0 −1 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . −1 0 0 · · · an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) c1+ 1 aj cj+1 ========= j=2,3,··· ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + 1 a1 + 1 a2 + · · · + 1 an 1 1 · · · 1 0 a1 0 · · · 0 0 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n+1)×(n+1) =(a1a2 · · · an) ³ 1 +Xn i=1 1 ai ´