第一章行列式 ar+by ay+bz az+bI ay+bz az +br y ay+bz az+bz ay+bz az bz ar+ by y az+ bz ar+by+ ar 分裂开 az+b ar+by ay+ ba z ar by ay+ bz r ay+bz 2 y 2 az +ba 再次 r ar+by 裂开 x|+b3(-1 (a3+b3) y 2 y 此题有一个“经典”的解法 a ay a2 +bz az br ar + by ay az ar+ bz b az+ bz ar+by ay +bz a2 a t ay y 2 b3 1 这个解法“看上去很美”,实则是一个错解!我们强调,行列式不能作这种形式上的加法 b1 a11+b1 aIn +b1 ann b anI+bnl ann+b a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 (3)|2(c+1)2(c+2)2(+3)2|=0 d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2 a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 a22a+14a+46a+9 (b+1)2(b+2)2(b+3)2 (c+1)2(c+2)2(c+3) d2(d (d+2)2(d+3) d22d+14d+46d 2a+126 2b+126 列成比例
4 第一章 行列式 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 1 列 ======== 分裂开 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ay + bz az + bx y az + bx ax + by z ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y ay + bz az + bx z az + bx ax + by x ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再次 ==== 裂开 a 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ay + bz z y az + bx x z ax + by y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + 0 + 0 + b 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z az + bx z x ax + by x y ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 再次 ==== 裂开 a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z x z x y x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 (−1)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 此题有一个 “经典” 的解法: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax ay az ay az ax az ax ay ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ by bz bx bz bx by bx by bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z x z x y x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = a 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + b 3 (−1)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 这个解法 “看上去很美”, 实则是一个错解! 我们强调, 行列式不能作这种形. 式. 上. 的加法: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 . . . a1n . . . . . . . . . an1 · · · ann ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b11 . . . b1n . . . . . . . . . bn1 · · · bnn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 + b11 . . . a1n + b1n . . . . . . . . . an1 + bn1 · · · ann + bnn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0; 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj−c1 ====== j=2,3,4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 4a + 4 6a + 9 b 2 2b + 1 4b + 4 6b + 9 c 2 2c + 1 4c + 4 6c + 9 d 2 2d + 1 4d + 4 6d + 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3−2c2 ====== c4−3c2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 2 6 b 2 2b + 1 2 6 c 2 2c + 1 2 6 d 2 2d + 1 2 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 两列成比例 ========= 0
线性代数(同济四版)习题参考答案 (4)a262e2a2=(a-b)(a-)(a-0b-(b-d(c-(a+b+c+d) b cy-cia a2b2c2d2j=2,3.4a2b2-a2c2-a2d2-a2 ba ca dl ai b4 b d 展开r1 b2-a2c2-a2d2-a2 b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2 b2(6+a) c2(c+a) d2(d+a) 0 (b-a)(c-a)(d-a) b2(6+a)c2(c+a)-b2(6+a)d2(d+a)-b2(6+a) 展开n=(b-a(c-a)d-a)(c-b)d- (c2+bc+b2)+a(c+b)(d2+bd+b2)+a(d+b) (a-b(a-c(a-d)(b-c(b-d)(c-d)(a+b+c+d) 00 00 (5) + a1r+.+ an-1I+ an 00 0 an-2 a2 I+a1 证明:方法一.设法把主对角线上的x变为0,再按第一列展开 000 00 0 000 000 an-1 an-2 a3 a2 I+a1 0 0 0 0 0
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 5 (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)(a + b + c + d); 证明: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 4 b 4 c 4 d 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj−c1 ====== j=2,3,4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 a b − a c − a d − a a 2 b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − a 2 a 4 b 4 − a 4 c 4 − a 4 d 4 − a 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 r1 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b − a c − a d − a b 2 − a 2 c 2 − a 2 d 2 − a 2 b 2 (b 2 − a 2 ) c 2 (c 2 − a 2 ) d 2 (d 2 − a 2 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (b − a)(c − a)(d − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 b + a c + a d + a b 2 (b + a) c 2 (c + a) d 2 (d + a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c2−c1 ===== c3−c1 (b − a)(c − a)(d − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 b + a c − b d − b b 2 (b + a) c 2 (c + a) − b 2 (b + a) d 2 (d + a) − b 2 (b + a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 展开 r1 ====== (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 (c 2 + bc + b 2 ) + a(c + b) (d 2 + bd + b 2 ) + a(d + b) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)(a + b + c + d). (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 证明: 方法一. 设法把主对角线上的 x 变为 0, 再按第一列展开. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 x −1 an an−1 an−2 · · · a3 a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cn−1+xcn ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 0 0 0 0 · · · 0 0 −1 an an−1 an−2 · · · a3 x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
第一章行列式 0 0 r 0 000 0 x3+a1x+a2r+a3 x2+012+a2 2+al 0 0 0 0 +an-ia+an ta12n-2 +…+an-2x+an -+alI+ a2 a+al (x+a1xn-1+…+an-1x+an)(-1)n/a 00 (x+a1xn-1+…+an-1x+an)(-1)n+1(-1)y-1 22-1 +an-iI+an 方法二.设法把-1全部变为0,得到一个下三角矩阵 若x=0,则Dn=an.等式成立 若x≠0,则 0 0 0 00 0 0 0 00 0 an an-1+ gn an-2+-n-l+ a2 I+al 0 00 P2 P1 这里
6 第一章 行列式 cn−2+xcn−1 ========== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 −1 0 0 0 0 · · · 0 0 −1 an an−1 an−2 · · · x 3 + a1x 3 + a2x + a3 x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cj+xcj−1 ======== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 · · · 0 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · −1 0 0 0 · · · 0 −1 x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an x n−1 + a1x n−2 + · · · + an−2x + an−1 · · · x 2 + a1x + a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 · · · 0 0 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . 0 · · · −1 0 0 · · · 0 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an)(−1)n+1(−1)n−1 =x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法二. 设法把 −1 全部变为 0, 得到一个下三角矩阵. 若 x = 0, 则 Dn = an. 等式成立. 若 x 6= 0, 则 Dn c2+ 1 x c1 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3+ 1 x c2 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x 0 0 · · · 0 0 0 x 0 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x 0 an an−1 + an x an−2 + an−1 x + an x2 · · · P2 P1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 这里, P2 = a2 + a3 x + a4 x 2 + · · · + + an x n−2
线性代数(同济四版)习题参考答案 7 PI 得到下三角阵,所以 方法三.用递归法证明.记 00 则 0 an-1 (n-2 a2 r+al xDn-1+an(-1)+1(-1)-1=xDn2-1 所以,Dn=xDn-1+an,由此递归式得 方法四.按最后一行展开.先看an-的代数余子式.因为 an an-1 an-2 an-(i-1)an-i an-(i+1) 划掉an-a所在的行和所在的列,左上角是i×i的方块,右下角是(n-i-1)×(n-i-1)的方块,余下全为0. 则an-1的代数余子式为(注意到an-i处在第n行、i+1列 1)n++1 所以,Dn按最后一行展开,得到
线性代数 (同济四版) 习题参考答案 7 P1 = x + a1 + a2 x + a3 x 2 + · · · + + an x n−1 . 得到下三角阵, 所以 Dn = x n−1 · P1 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法三. 用递归法证明. 记 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 则 Dn 展开 c1 ======x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + an(−1)n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = xDn−1 + an(−1)n+1(−1)n−1 = xDn−1 + an. 所以, Dn = xDn−1 + an. 由此递归式得 Dn = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法四. 按最后一行展开. 先看 an−i 的代数余子式. 因为 Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 x −1 x . . . . . . −1 x −1 an an−1 an−2 · · · an−(i−1) an−i an−(i+1) a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 划掉 an−i 所在的行和所在的列, 左上角是 i×i 的方块, 右下角是 (n−i−1)×(n−i−1) 的方块, 余下全为 0. 则 an−i 的代✿✿数✿✿余✿✿子✿✿✿式✿为 (注意到 an−i 处在第 n 行、i + 1 列) (−1)n+i+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 x −1 x . . . . . . −1 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i×i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 x . . . . . . −1 x −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (n−i−1)×(n−i−1) = x i 所以, Dn 按最后一行展开, 得到 Dn = an + an−1x + an−2x 2 + · · · + an−ix i + · · · + a2x n−2 + (x + a1)x n−1
第一章行列式 方法五.针对c1作变换 0 0 00 00 00 00 0 0 C1+Icy 00 an+ an-lI+ an an-1 an-2 a2 a+al 00 00 0 这里,P=an+an-1x+an-2x2+…+a1xn-1+x 再按第一列展开,得 6.设n阶行列式D=det(a),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得 ann an1 证明D1=D2=(-1)="D,D2 证明 使rn换到第一行
8 第一章 行列式 = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 方法五. 针对 c1 作变换. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1+xc2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 x 2 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an + an−1x an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c1+x 2 c3 ======= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 x 3 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 an + an−1x + an−2x 2 an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = · · · = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −1 0 · · · 0 0 0 x −1 · · · 0 0 0 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · x −1 P an−1 an−2 · · · a2 x + a1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 这里, P = an + an−1x + an−2x 2 + · · · + a1x n−1 + x n. 再按第一列展开, 得 Dn = x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 6 . 设 n 阶行列式 D = det (aij ), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90◦、或依副对角线翻转, 依次得 D1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 · · · ann . . . . . . a11 · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , D2 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1n · · · ann . . . . . . a11 · · · an1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , D3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ann · · · a1n . . . . . . an1 · · · a11 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 证明 D1 = D2 = (−1) n(n−1) 2 D, D3 = D. 证明: D1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 · · · ann . . . . . . a11 · · · a1n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 次行的相邻互换 =============== 使 rn 换到第一行 (−1)n−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 · · · a1n an1 · · · ann . . . . . . a21 · · · a2n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯