武汉大学数学与统计学院：《数值分析》第二章 求解线性方程组的数值解法（2.2）线性方程组的迭代法

要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难 所以我们希望用别的办法判断收敛性 定理2.2.3若逐次逼近法的迭代矩阵满 足B川!<1,那么逐次逼近法收敛 Remark:因为矩阵范数·酬,嘟可以 直接用矩阵的元素计算,因此用定理2.2.3 容易判别逐次逼近法的收敛性

要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难， 所以我们希望用别的办法判断收敛性 定理2.2.3 若逐次逼近法的迭代矩阵满 足‖B‖<1， 那么逐次逼近法收敛 Remark:因为矩阵范数 都可以 直接用矩阵的元素计算，因此,用定理2.2.3， 容易判别逐次逼近法的收敛性。 1 B , F B , B 

问题:如何判断可以终止迭代?(误差估计) 定理224充分条件)若存在一个矩阵范数使得‖B<, 则迭代收敛,且有下列误差估计: B‖ k+1 k+1 B |B‖ X不x k+1 1-‖1B3‖1 k+1 k 误差表达 证明:②x*-x=B(x4x)式及收敛 B(x Fk+1+xk+ 速 x和-x 停机准则。 k|) X-x k+1/s-TDT 1-|B∥x-x

定理2.2.4（充分条件）若存在一个矩阵范数使得 || B || < 1, 则迭代收敛，且有下列误差估计： 1 1 || || || * || || || 1 || || k k k B x x x x B −  − + + − ② ① 1 1 1 0 || || || * || || || 1 || || k k B x x x x B + −  − + − 证明： ② 1 1 1 * ( * ) ( * ) k k k k k x x B x x B x x x x + + + − = − = − + − 1 1 1 || * || || || (|| * || || ||) k k k k x x B x x x x + + + −  − + − 问题：如何判断可以终止迭代？（误差估计） 1 1 || || || * || || || 1 || || k k k B x x x x B −  − + + − 误差表达 式及收敛 速度。 停机准则

① k+1 x k= b(xx-xk-d=.=B(x-xo) xk+1-x|1‖BHx-x0 B k+1 米 Bl -x k+ 1-‖B‖ k+1 1-‖B 0

1 1 1 0 ( ) ... ( ) k k k k k x x B x x B x x + − − = − = = − 1 1 1 1 0 || || || || || * || || || || || 1 || || 1 || || k k k k B B x x x x x x B B + −  −  − + + − − ① 1 1 0 || || || || || || k k k x x B x x + −  −

§222 Jacobi法( Jacobi lterative methods) aux +a22x2 +.+al,,=b 2x1+a2x2+…+a2nxn=b,1≠ 0写成矩阵形式 In11十ln,x十,十lnx Ax=b e(D-L+u)x nn 冷Dx=(L+U/)x+b 冷x=D(L+U/)x+Db U B XR=D(L+U)xk+Db Jacobi迭代阵

      + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ... ... ... ... ... ... ... 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1  0 ii a 写成矩阵形式： A = -L -U D ( ( )) ( ) Ax b D L U x b Dx L U x b =  − + =  = + + 1 1 x D L U x D b ( )  = + + − − B f  Jacobi 迭代阵 1 1 1 k ( ) k x D L U x D b + − − = + + §2.2.2 Jacobi 法 ( Jacobi Iterative Methods )

12 D L U 2 0 B=D(L+0= In -an -an2

11 22 33 nn a a D a a       =           21 31 32 1 2 3 0 0 0 0 n n n a L a a a a a     −   = − −       − − −   12 13 1 23 2 3 0 0 0 0 n n n a a a a a U a   − − −   − −   =   −       33 1 1 11 12 13 1 1 22 21 23 2 1 31 32 3 1 1 2 3 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 J n n n n n n nn B D L U a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − = + =        − − −        − − −             − − +   −                     − − −      