解将y=ln(y)的两边对x求导得 即 rv-r 再次求导得 - V(xy-x-yv+xy-D_=y2+y (-xy2-y2+y) 注意到由y=1+1y可得xy=xy-1,所以 x) y"=-1[-(xy-1)y-y+y]=-(-xy2-yy2+2y) 从而(xy-x)y+xy2+yy-2y=0, 即由y=ln(y)所确定的函数是所给微分方程的解 4.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数,使函数满足 所给的初始条件 (1)x2-y2=C,yx0
解由yk0=0得02-53=C,C=-25,故x2-y2=25. (2)=(C1+C2x)e-,ykx0=0,yx0=1 解y=C2e+2(C1+C2x)e 由yx0=0,yx0=1得 解之得C1=0,C2=1,故y=re2x ()y=CIsin(-C2, yk==l, yk==0
解y= ICos(x=C2) 由yk=a=1,yk=x=0得 Csin(r-C2) 即 Csin C2=l C, COS(T-C2)=0 I-C cos C2=0 解之得C1=1,C2=,故 v=sIn(x 2),即y==cosx 5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方; 解设曲线为=y(x),则曲线上点(x,y)处的切线斜率为y 由条件y=x2,这便是所求微分方程 (2)曲线上点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被 y轴平分
解设曲线为y=(x),则曲线上点Px,y)处的法线斜率为-1 由条件第PQ中点的横坐标为0,所以Q点的坐标为(-x,0),从而有 即yy2+2x=0 r+x 6.用微分方程表示一物理命题:某种气体的气压P对于温度T 的变化率与气压成正比,所温度的平方成反比 解业=kP.其中k为比例系数 dT T 练习12-2 1.求下列微分方程的通解 (1)xy'-yIny=0
练习 12-2
解分离变量得 dy=-dx In 两边积分得 d In 即hn(m)=lnx+lnC, 故通解为y=e (2)3x2+5x-5y′=0