复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十章 行波法和分离变量法本征值问题 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys X"+X=0,X(x)1=0/=0 X= cos(nn/), a,=(nT/D T,=B sin( nnat/1), n=1, 2, 3 u(x,t)=2-B, cos(nrx/)sin(nat/D) nraB,/1=(2/Dy(x)cos(nzx//)dx n(x)=∑n(2/azmJv(x)osnzxdrco(nxsi(na 这正是波的分解与合成。这是I型定解问题:齐次方程和齐次(自由边界 条件,非齐次初始条件。 三、分离变量法一(偏→常)微分方程问题[定解问题I型(齐次边条 1.一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题,存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D问题 a2ux=0(0<x<10<1<∞), l-=0,叫l uls=p(x);u,leo=(x) 定解问题I型:方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的。 第一步,分高变量: 设u(x,)=X(x)(t)[取此特解形式,可得驻波解:T()是振荡函数,而 与x无关,X(x)是幅度函数,与t无关],将此u(x,1)代入方程,即得 X(x)T()=a2X"(x)7( 等式两端除以a2X(x)7(0),就有"()_x"(x) a2T(1)X(x) 注意在这个等式中,左端只是t的函数,与x无关,而右端只是x的函数, 与t无关。因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t 无关的常数。令这个常数为-1(参数),,、T"()_X(x)-2 a2T(1)X(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 11 0, '' 0, '( ) | 0. X X X x     x l  sin( / ), 1,2,3, . cos( / ), ( / ) , 2      T B n at l n X n x l n l n n n n     1 0 ( , ) cos( / )sin( / ), / (2 / ) ( )cos( / )d . n n l n u x t B n x l n at l n aB l l x n x l x            1 0 ( , ) 2 / ) ( ')cos( '/ )d 'cos( / )sin( / ). l n u x t a n x n x l x n x l n at l          （  这正是波的分解与合成。这是 I 型定解问题：齐次方程和齐次(自由)边界 条件，非齐次初始条件。 三、 分离变量法—（偏  常）微分方程问题[定解问题 I 型(齐次边条)] 1. 一维有界区域自由振动问题的驻波解 (有界区域齐次边条振动问题，存在驻波、节点、本征频率和波的叠加等) 下面以两端固定弦的自由振动为例(1+1D 问题):   2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x                        定解问题 I 型：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t)  X(x)T(t) [取此特解形式，可得驻波解：Tt() 是振荡函数，而 与 x 无关， X x( ) 是幅度函数，与 t 无关],将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ).    等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t    . 注意在这个等式中，左端只是 t 的函数，与 x 无关，而右端只是 x 的函数， 与 t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这个常数为  (参数)，即，      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F 由此得到两个常微分方程: T()+a7(t)=0, (10.1) Ⅹ"(x)+AX(x)=0 (10.2) 同样,将此(x,1)代入边界条件,得 X(O)T()=0,X(D)T()=0,这时必须有 X(0)=0,X()=0因为T(1)不可能恒为0,否则l(x,1)恒为0](10.3) 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解(亦定界) 问题的第一步:分离变量。在这一步中,假设所要求的是变 量分离形式的非零解l(x,1)=X(x)(),导出了函数Ⅺ(x)应该满 足的常微分方程和边界条件,以及T()所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微分方程和边界 条件都是齐次的(可分离变量)。 第二步求解本征值问题: 上面得到的函数Ⅺ(x)的常微分方程定解问题,称为本征 问。其特点是:常微分方程X"(x)+aX(x)=0中含有一个待定 常数λ,而定解条件X(0)=0,X()=0是一对齐次边界条件。这 样的定解冋题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值问 题。下面将看到,并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分 方程,又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值 时,才有既满足齐次常微分方程又满足齐次边界条件的非零 解X(x).λ的这些特定值称为本征( eigenvalue),相应的非 零解称为本征函数( eigenfunction)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 12 由此得到两个常微分方程： 2 T t a T t ( ) ( ) 0,    （10.1） X x X x ( ) ( ) 0.    （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X(0)T(t)  0， X(l)T(t)  0 ，这时必须有 X(0)  0， X(l)  0 [因为 T(t) 不可能恒为 0，否则 u(x,t) 恒为 0]. （10.3） 这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界） 问题的第一步：分离变量。在这一步中，假设所要求的是变 量分离形式的非零解 u(x,t)  X(x)T(t) ，导出了函数 X(x) 应该满 足的常微分方程和边界条件，以及 T(t) 所满足的常微分方程。 分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界 条件都是齐次的（可分离变量）。 第二步,求解本征值问题： 上面得到的函数 X(x) 的常微分方程定解问题，称为本征值 问题。其特点是：常微分方程 X(x)  X(x)  0 中含有一个待定 常数  ，而定解条件 X(0)  0，X(l)  0 是一对齐次边界条件。这 样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初边值问 题。下面将看到，并非对于任何  值，都有既满足齐次常微分 方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当  取某些特定值 时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零 解 X(x) .  的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非 零解称为本征函数(eigenfunction)

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys (1)设A<0.令=->0,解(10.2)X"(x)+AX(x)=0得 要使它满足(10.3) X(0)=0 我们有(b=√ +C2=0, X()=0 IC,eb+C,e-b=0 由此知道只能C1=C2=0,可见A<0是不可能的 (2)设A=0.由方程(102)解得,X(x)=C1x+C2 要使它满足(10.3),只能C1=C2=0,可见A=0也是不可能的。 (3)只能设>0.由方程(10.2)解得, X(x)=C cos vax+C, sin vax 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C1=0 即C=0 C1eos√A+Csn=0.-c2sn√=0 C和C2不能同时为0,否则X(x)恒为零,(x,1)恒为0(平凡解,虽然 零解无物理意义,但至少说明数学上可能行得通),因此只能是, sin√A=0--本征值方程,解为√=n(m=12,3…) 于是,只能取如下的一系列值:=(" 相应的本征函数就是:xn(x)=sn"x.记为in"x.(n=123…) 这里取C2=1,因为我们所要求的必然只是线性无关解。 不同的C值给出的是线性相关的。由于同样的原因,我们 也不必考慮n为负整数的情形。这样求得的本征值有无穸 多个,他们可以用正整数n标记(其实就是量子力学量子 数)因此,我们把本征值和本征函数分别记为λ和X1(x) 第三步求解,并进一步加出一舭解

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 13 (1) 设   0. 令     0 ，解（10.2） X(x)  X(x)  0 得 x x X x C e C e     1  2 ( ) . 要使它满足（10.3） (0) 0; ( ) 0. X X l      我们有 ( ) b l   1 2 1 2 C C 0; C C 0. b b e e         由此知道只能 C1  C2  0 ，可见   0 是不可能的。 （2）设   0 . 由方程（10.2）解得， 1 2 X(x)  C x C . 要使它满足（10.3），只能 C1  C2  0 ，可见   0 也是不可能的。 （3）只能设   0 . 由方程（10.2）解得， X (x) C cos  x C sin  x  1  2 . 将这个通解代入边界条件（10.3），就有 1 1 2 0; cos sin 0. C C l C l          即 1 2 0; sin 0. C C l        C1 和 C2 不能同时为 0，否则 X(x) 恒为零， u(x,t) 恒为 0（平凡解，虽然 零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是， sin 0 l    本征值方程，解为 l  n n 1,2,3, . 于是，  只能取如下的一系列值： 2        l n n   ； 相应的本征函数就是： x l n X x n  ( )  sin . 记为 {sin }. n x l  n 1,2,3,  这里取 C2 1 ，因为我们所要求的必然只是线性无关解。 不同的 C2 值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们 也不必考虑 n 为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷 多个，他们可以用正整数 n 标记（其实就是量子力学量子 数）。因此，我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并进一步叠加出一般解：

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys 对于每一个本征值n,由7(t)+a27(t)=0(10.1)解出相应的r() n7 ,(t=A, cos at+B,sinat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: n兀at+Bnsn n n u (x, 1)= A, cos (n=12,3,…) 这样的特解有无穷多个(=12,3…)每一个特解都同时 满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的实 空间驻波。但是,一般来说,单独任何一个特解都不能满 足定解问题中的初始条件。然而,由于偏微分方程和边界 条件都是齐次的,把它们的特解线性叠加起来,即 u(0=∑(4c0 at+B 这样得到的训(x)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条 件下的解(当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏号 即求和与求导可以交换次序)。这种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数(x)和v(x)定出叠加系数A和Bn 将上面的一般解代入初始条件,得 0(x)=2%z 104 y(x)= nza B (10.5) 注:1.q(x)和v(x)是已知函数而非任意函数。l(x,)既要满足泛定方程又要 满足定解条件。un(x,1),(x)和y(x)均由Xn(x)构成。 2.定解条件仅是其内部规律的一个极限。 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数:

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 14 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t  a T t  （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n   ( )  cos  sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n    ( , ) cos sin sin        n 1,2,3, . 这样的特解有无穷多个 n 1,2,3,  。每一个特解都同时 满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的实 空间驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满 足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界 条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即            1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A    . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条 件下的解（当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏导， 即求和与求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l                    注： 1. (x) 和 (x) 是已知函数而非任意函数。u x t ( , ) 既要满足泛定方程又要 满足定解条件。 ( , ), n u x t (x) 和 (x) 均由 ( ) X x n 构成。 2. 定解条件仅是其内部规律的一个极限。 第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：