复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十章 行波法和分离变量法本征值问题 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F dp(-ar)+p(at) Y()-Y-at) =0(≥0) 2 2a 记 上式改写为 d(-y)+Φ(y),H(y)-H(-y) =0(y≥0) 由此可见,Φ,的形式(当其宗量为负值时)可以取为 )=y),(-y)=(y)(v≥0) 其中第一个式子来源于Φ(-y)+Φ(y)=0,这是偶延拓问题转化为 ln-a2ux=0(-∞<x<∞) 0 pp(x) 0 L=平(x) ∫w(x)x0 y(-x)x<0. 注意到,x+at一定大于等于0,但x-at可正可负,因此, 当x-a20,即t≤时,(x,1)=(x-am)+(x+a)-1rxm 2aj v(a)de 当x-at<0,即t>-时 p(x+at+p(at-x),I( o 2ao v(a)da y(e)dB =(x+a)+oa-x)+1r y(a)da+ y(B)dB 综上所述,我们得到原定解问题(x≥0)的解 p(x-ar)+o( a)da x u(x, t P(x+ar)+o(at-x)1(rx+ar v(a)da+。w(ada}|t>

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 6 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( , ) 0             a at at at at u x t x x t  0. 记 y  at ，上式改写为 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )           a y y y y y  0. 由此可见， , 的形式（当其宗量为负值时）可以取为 (y)  (y)，(y)  (y) y  0, 其中第一个式子来源于       ( ) ( ) 0, y y 这是偶延拓. 问题转化为   2 0 0 0 , ( ) 0; ( ) ( ) 0. ( ) 0; ( ) ( ) 0. tt xx t t t u a u x x x u x x x x x u x x x                                          注意到， x  at 一定大于等于 0 ，但 x  at 可正可负，因此， 当 x  at  0 ，即 a x t  时， ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ; 2 2 x at x at x at x at u x t a              当 x  at  0 ，即 a x t  时，       0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( , ) ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d 2 2 ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at at x at x x at u x t a x at at x a x at at x a                                                        综上所述，我们得到原定解问题（ x  0 ）的解:  0 0  ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a                                                  

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys 2.非齐次边界条件: 0(x20) a2lx=0(x≥0) x=0(x≥0), ul=o(x) ul=o(x); 0 v(x), 叫=f() a=f() 定解问题的解u(x1)等于问题I的解4(x,1)和问题Ⅱ的解u2(x1)之和,即 u(x, O=u(,t)+u2(x,t) 定解问题I的解a(x,1)前面已经给出 P(x-ar)+o(x+ar) (a)dat≤ 0x+a)-以an-x)11rxa, y(ada t 现在讨论定解问题Ⅱ的求解, 1)因为该系统既没有外力作用,初始条件又为0,所以x=0点的扰 动是系统振动的唯一原因(来源),因此,在x≥0区域,只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以,变量x和t只能以x-at或t--的组合形 式出现于解中,而不能以另一种形式x+at或+的组合形式出现。 (2)就x点来说,当1<-时,x=0点的扰动尚未影响到这点,这点仍 处在平衡位置,所以解的形式是:2(x,1)=F1--|Ht (3)最后,由边界条件确定F的具体形式,得F(t)=f(t)(≥0) 所以,a2(x,)=f1--Ht

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 7 2．非齐次边界条件：       2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 , 0 0 , ( ); ( ); 0; ( ), ( ), 0, ( ). 0. ( ). tt xx tt xx tt xx t t t t t t x x x u a u x u a u x u a u x u x u x u u x u x u u f t u u f t                                                       I II 定解问题的解 u(x,t) 等于问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 和问题 II 的解 ( , ) 2 u x t 之和，即 ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 u x t  u x t  u x t . 定解问题 I 的解 ( , ) 1 u x t 前面已经给出， 1 ( ) ( ) 1 ( )d ; 2 2 ( , ) ( ) ( ) 1 ( )d . 2 2 x at x at x at at x x at x at x t a a u x t x at at x x t a a                                 现在讨论定解问题 II 的求解， （1）因为该系统既没有外力作用，初始条件又为 0 ，所以 x  0 点的扰 动是系统振动的唯一原因（来源），因此，在 x  0 区域，只能有向右传播的 波而不能有向左传播的波。所以，变量 x 和 t 只能以 x  at 或 a x t  的组合形 式出现于解中，而不能以另一种形式 x  at 或 a x t  的组合形式出现。 （2）就 x 点来说，当 a x t  时， x  0 点的扰动尚未影响到这点，这点仍 处在平衡位置，所以解的形式是： 2 ( , ) H x x u x t F t t a a                . （3）最后，由边界条件确定 F 的具体形式，得 Ft  f (t) t  0 . 所以， 2 ( , ) H . x x u x t f t t a a               

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys (三、由简述到一般)例如:两端固定弦的自由振动问题: ln-a2nx=0(0<x<1,0<1<∞) lulea =o(x); u,lso=y(x) 定解问题I型:齐次方程和齐次(固定边界条件,非齐次初始条件]。 第一步,分高变量 设u(x,1)=X(x)7(t),将此lx,)代入方程,即得 X(xT(o=a'X(x)T(o 等式两端除以a2X(x)(),就有了(=x(x) a27()X(x) 左端只是t的函数(与x无关),右端只是x的函数(与t无关)。因此,要左 端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数。令这 个常数为-2(参数),即(0=x(x)=-2.由此得到两个常微分方程组 aT(o X(x) T"(t)+la2T(t)=0, (10.1) X"(x)+AX(x)=0 (10.2) 同样,将此(x,1)代入边界条件,得X(O)=0,X(D)=0.(10.3) 这就是分离变量,即导出了函数Ⅺ(x)满足的常微分方程和边界条件, 以及1(口)满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现,是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步求解本征值问题: 常微分方程X(x)+AX(x)=0中含有一个待定常数,而定解条件 X(0)=0,X()=0是一对齐次边界条件。只有当λ取某些特定值时,才有既 满足齐次常微分方程,又满足齐次边界条件的非零解X(x).A的这些特定值 称为本怔"( eigenvalue),相应的非零解称为本征函( eigenfunction)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 8 （三、由简述到一般）例如: 两端固定弦的自由振动问题:   2 0 0 0 0 0 ,0 , 0; 0, ( ); ( ). tt xx x x l t t t u a u x l t u u u x u x                        [定解问题 I 型：齐次方程和齐次(固定)边界条件，非齐次初始条件]。 第一步, 分离变量： 设 u(x,t)  X(x)T(t) ,将此 u(x,t) 代入方程，即得 2 X x T t a X x T t ( ) ( ) ( ) ( ).    等式两端除以 ( ) ( ) 2 a X x T t ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t    . 左端只是 t 的函数(与 x 无关)，右端只是 x 的函数(与 t 无关)。因此，要左 端和右端相等，就必须共同等于一个既与 x 无关、又与 t 无关的常数。令这 个常数为   (参数)，即      ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x X x a T t T t .由此得到两个常微分方程组： 2 T t a T t ( ) ( ) 0,    （10.1） X x X x ( ) ( ) 0.    （10.2） 同样，将此 u(x,t) 代入边界条件，得 X(0)  0, X l( ) 0.  （10.3） 这就是分离变量，即导出了函数 X(x) 满足的常微分方程和边界条件， 以及 T(t) 满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微 分方程和边界条件都是齐次的。 第二步,求解本征值问题： 常微分方程 X(x)  X(x)  0 中含有一个待定常数  ，而定解条件 X(0)  0，X(l)  0 是一对齐次边界条件。只有当  取某些特定值时，才有既 满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X(x) .  的这些特定值 称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction)

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys 由方程(10.2)解得,X(x)=Ccos√x+C2sin√x C1=0; 将这个通解代入边界条件(10.3),就有 C,sin√=0 C1和C2不能同时为0,只能是sn√A=0,即√l=nm(n=12,3…) 于是只能取如下的一系列值人=()(0=123-)相应的本征函 数为:X(x)=sin"x,记为: Sin-x}·这样求得的本征值有无穷多个,他 们可以用正整数n标记。我们把本征值和本征函数分别记为n和xn(x) 第三步求解,外叠加出一般解 对于每一个本征值λn,由T()+a27(t)=0(10.1)解出相应的 n n T,(t): T,(t=A, cos -at+B, sin 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 u (x, t) cos—at+Bsmn x(n=12,3,…) 这样的特解有天穷参个(n=1,2,3,…)。每一个特解都时满又齐 次偏徹分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解冋题中 的初始条件。由于偏徹分方程和边界条件都是齐次的,把它们的特解线 性叠加起来,即 u(x,)=2A, cos "at +B, sin -at sin"T 这样得到的l(x,D)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数(x)和v(x)定出叠加系数A和Bn 将上面的一般解代入初始条件,得

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 9 由方程（10.2）解得, 1 2 X x C x C x ( ) cos sin .     将这个通解代入边界条件（10.3）,就有 1 2 0; sin 0. C C l        C1 和 C2 不能同时为 0，只能是 sin l  0 ，即 l  n n 1,2,3, . 于是  只能取如下的一系列值： 2        l n n   n 1,2,3,  ；相应的本征函 数为: ( ) sin , n n X x x l   记为: sin . n x l        这样求得的本征值有无穷多个，他 们可以用正整数 n 标记。我们把本征值和本征函数分别记为 n 和 X (x) n . 第三步,求特解，并叠加出一般解： 对于每一个本征值 n ，由 ( ) ( ) 0 2 T t  a T t  （10.1）解出相应的 T (t) n : at l n at B l n Tn t An n   ( )  cos  sin . 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解: x l n at l n at B l n un x t An n    ( , ) cos sin sin        n 1,2,3, . 这样的特解有无穷多个 n 1,2,3,  。每一个特解都同时满足齐 次偏微分方程和齐次边界条件。单独任何一个特解不能满足定解问题中 的初始条件。由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线 性叠加起来，即            1 ( , ) cos sin sin n n n x l n at l n at B l n u x t A    . 这样得到的 u(x,t) 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解。这 种形式的解称为一般解。 现在根据初始条件中的已知函数 (x) 和 (x) 定出叠加系数 An 和 Bn . 将上面的一般解代入初始条件，得

Methods of Mathematical Physics(2016. 11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa a Phys. F 0(x)=∑4 (10.4) v(x)=∑"Bsin (10.5) 第四步利用本征函数的正交性确定叠加系数: 本征函数的正交性:「x(x)Xn(x)dx=0,(m≠m) 本征函数的模方:|(=x:(=5(m=123-) 因此,在(10.4)式两端同乘以xn(x)=smmx,并逐项积分,就得到 mzX nIX mZX P(x)sin-.dx A sin dx mzx A dx=∑Anom=A nAN 所以,A4=7o( xsin 同样可以得到,B=2[v(3m2dx,这样,根据初始条件中的 已知函数o(x)和v(x),计算出积分,就可以得到叠加系数A和Bn, 从而就求得了整个定解问题的解 第五步,解的物嬃解:就两端固定弦来说,固有频率中有一个最小值, 即的ˉ/·称为基频。其它固有频率都是它的整数倍,称为陪频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程,同时边界条件亦可分离变量(如 齐次边界条件);常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题,由此解 出一系列本征值和本征函数族 a2ux(0<x<l,0<t<∞) 再例如 0=0,u(x,O)=0,1(x,0)=v(x

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 10 Methods of travelling wave and separable variables, and eigenvalue problem YLMa@Phys.FDU 10 1 1 ( ) sin , (10.4) ( ) sin . (10.5) n n n n n x A x l n a n x B x l l                    第四步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 本征函数的正交性: X x X x x n m l n m    ( ) ( )d 0, 0 . 本征函数的模方: 2 ( ) ( )d 0 2 2 l X x X x x l n  n   . n 1,2,3, . 因此，在(10.4)式两端同乘以 x l m X x m  ( )  sin ，并逐项积分，就得到 0 0 1 0 1 1 ( )sin d sin sin d sin sin d . 2 2 l l n n l n n nm m n n m x n x m x x x A x l l l n x m x l l A x A A l l                        所以，   l n x l n x x l A 0 ( )sin d 2   . 同样可以得到，   l n x l n x x n a B 0 ( )sin d 2    . 这样，根据初始条件中的 已知函数 (x) 和 (x) ，计算出积分，就可以得到叠加系数 An 和 Bn ， 从而就求得了整个定解问题的解。 第五步, 解的物理解释：就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值， 即 l a 1  ，称为基频。其它固有频率都是它的整数倍，称为倍频。整个问题 的解是许多驻波的迭加。这种解法也称为驻波法。 将一个偏微分方程转化为几个常微分方程，同时边界条件亦可分离变量（如 齐次边界条件）；常微分方程和相应的齐次边界条件构成了本征值问题，由此解 出一系列本征值和本征函数族。 再例如:   2 0, 0 ,0 , | 0, ( ,0) 0, ( ,0) ( ). tt xx x x l t u a u x l t u u x u x x           