清华大学电子工程系：小波分析（2/4)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的性能分析: 问题的提出: 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力,又 具有强的频率定位能力? 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有 好的性能? 解决问题的思想: 从物理意义上来看D和D是矛盾的,因此先定义D 和D后,再计算D和D的乘积用以作为判断窗口傅 立叶变换性能的依据

窗口傅立叶变换的性能分析：  问题的提出： − 窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又 具有强的频率定位能力？ − 选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有 好的性能？  解决问题的思想： − 从物理意义上来看Dt和D是矛盾的，因此先定义Dt 和D后，再计算Dt和D的乘积用以作为判断窗口傅 立叶变换性能的依据

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 窗口傅立叶变换的性能分析: 具体分析过程: 假设: g(t)=0 g(=,G(o)=「 2π 「lg(adt=1 8(|Jt18(Oat=0 ∫olG(o)Pdo=0 IG(O43-oo 定义: 8()。(t-t)1kg(Pdt=t2 g( dt 02|G(o)P IG(O lI 「(o-0)2G(o)Pdo=- 2 T

窗口傅立叶变换的性能分析：  具体分析过程： − 假设： (t - t ) | (t) | t t | (t) | t (t) || 1 D 2 2 2 2 2 0 2 t g d g d || g   + − + − = =        =  =   + − + −  G d G d ||G 2 2 2 2 2 0 2 | ( ) | 2 1 ( - ) | ( ) | ( ) || 1 D − 定义： t (t) 0 |t| = → + lim g || ( ) || | (t) | t 1 2 1 || (t) ||2 2 2  = =  =  + − g G g d t | (t) | t 0 (t) 1 t 2 0 2 = =  + − g d || g || | ( ) | 0 ( ) 1 2 0 2   =   =  + − G d ||G ||

lim vt g(t=0 g0|=2|Go= (t)dt 2π 窗口傅立叶变换的性能分析: 海森堡测不准原理 计算D2×D2 DAD tg(t)dtx oG(o d 2兀 ∫ tg( dtx厂2mlg(0)dt(xg()=joG(o) 2π + el tg()g(t)dtl tdg(t) ∞ tg(t) g(tdt

窗口傅立叶变换的性能分析： − 计算Dt 2×D 2：     =    + − +   | g d | G | d 2 - 2 2 2 t ( ) 2 1 D D t (t) | t 2 '(t) | t ( { '(t)} j ( )) 2 1 t (t) t 2 2   =    =    + − + − | g | d | g d g G 2 | t g(t) g'(t) d t |  + −  2 2 t (t) 2 1 | dg |  + − = 2 2 - 2 (t) t 2 1 t (t) | 2 1  + − + = g  − g d 4 1 = 海森堡测不准原理 t (t) 0 |t| = → + lim g || ( ) || | (t) | t 1 2 1 || (t) ||2 2 2  = =  =  + − g G g d

t8(tRdtx Ifto 2 oG(o)Pdo2[tg(0)g(0)dtl 窗口傅立叶变换的性能分析: 等号成立条件: tg(t)=ag'(t),a为某一常数 g(t) e20为一个解。 2πo 结论: 窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能 同时提高,只能以一种分辨率的降低来换取另一种 分辨率的提高。 以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好

窗口傅立叶变换的性能分析： − 等号成立条件： t g(t) = a g'(t) , a为某一常数 为一个解。 2 1 (t) 2 2 2 t -    g = e  结论： − 窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能 同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种 分辨率的提高。 − 以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。     =    + − +   | g d | G | d 2 - 2 2 2 t ( ) 2 1 D D t (t) | t 2 | t g(t) g'(t) d t |  + −  4 1 =