82-6基尔霍夫定律、基本概念及定律的表述欧姆定律只能用于解比较简单的电路。复杂的电路，往往有许多条导线交汇于一点，整个电路由若干个闭合回路组成，同一回路的各段电路中的电流并不相同。对于这类复杂电路，欧姆定律无法解决。1847年基尔霍夫（Kirchhoff）给出了求解一般复杂电路的Kirchhoff方程组，它包括节点电流方程和回路电压方程，前者是恒定电流条件下任意闭合曲面内电荷守恒的结果，后者是恒定电场环路积分为零（即静电场环路定理）的结果，两者构成了完备的方程组，原则上可以解决任何直流电路问题。Kirchhoff方程组不仅在恒定条件下严格成立，而且在似稳条件（即整个电路的尺度远小于电路工作频率下的电磁波的波长）下也符合得相当好。把Kirchhof方程组用于交流电路时，电流、电压、电动势均应取瞬时值，通常采用复电压、复电流的形式表示，并引入复阻抗，这就是交流电路的复数解法。于是，从原则上说，无论直流或交流电路的求解问题，均可由Kirchhof定律解决。1.基本概念（1）节点：在电路中，三条或三条以上导线相交在一起的点。如图2-50，有A、B、C和D四个节点。（2）支路：两个相邻节点间，由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。如图AB支路，BC支路和BD支路等，共有6个支路。通过支路的电流叫支路电流：支路两端的电压川支路电压。（3）回路：起点和终点重合在一个节点的环路。如图2-50中1回路。（4）独立回路：各回路不相重合，即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路。如图2-50中有1、2和3等三个独立回路。独立回路数自减1正好等于支路的数目减去节点的数目1
1 § 基尔霍夫定律 一 丶 基本概念及定律的表述 欧姆定律只能用于解比较简单的电路。复杂的电路，往往有许多条导线交汇于一点，整个电路由若干个闭合回路组成，同一 回路的各段电路中的电流并不相同。对于这类复杂电路，欧姆定律无法解决。1847 年基尔霍夫（Kirchhoff）给出了求解一般复杂 电路的 Kirchhoff 方程组，它包括节点电流方程和回路电压方程，前者是恒定电流条件下任意闭合曲面内电荷守恒的结果，后者是 恒定电场环路积分为零（即静电场环路定理）的结果，两者构成了完备的方程组，原则上可以解决任何直流电路问题。Kirchhoff 方程组不仅在恒定条件下严格成立，而且在似稳条件（即整个电路的尺度远小于电路工作频率下的电磁波的波长）下也符合得相当 好。把 Kirchhoff 方程组用于交流电路时，电流、电压、电动势均应取瞬时值，通常采用复电压、复电流的形式表示，并引入复阻 抗，这就是交流电路的复数解法。于是，从原则上说，无论直流或交流电路的求解问题，均可由 Kirchhoff 定律解决。 1· 基本概念 （1）节点：在电路中，三条或三条以上导线相交在一起的点。如图 2-50，有 A、B、C 和 D 四个节点。 （2）支路：两个相邻节点间，由电源和电阻串联而成的且不含其他它节点的通路。如图 AB 支路，BC 支路和 BD 支路等， 共有 6 个支路。通过支路的电流叫支路电流；支路两端的电压叫支路电压。 （3）回路：起点和终点重合在一个节点的环路。如图 2-50 中 1 回路。 （4）独立回路：各回路不相重合，即每个回路至少有一条其它回路所没有的支路。如图 2-50 中有 1、2 和 3 等三个独立回路。 独立回路数目减 1 正好等于支路的数目减去节点的数目
R1R2AR3R4R.cR6R7图2-50多回路直流电路2.基尔霍夫方程(1)基尔霍夫第一方程对电路中每一个节点，有的电流流入节点，有的电流自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，流入分支点的电流应等于流出分支点的电流，因此，对于每一个分支点，有1=012
2 图 2-50 多回路直流电路 2· 基尔霍夫方程 （1） 基尔霍夫第一方程 对电路中每一个节点，有的电流流入节点，有的电流自节点流出。根据电荷守恒定律和稳恒电流条件，流入分支点的电流 应等于流出分支点的电流，因此，对于每一个分支点，有 Σ = 0 k k I
在求和时，流入节点的电流用“+”号，流出节点的电流用“”号，这就是基尔霍夫第一方程，其实质就是稳恒电流情况下的电荷守恒定律。（2）基尔霍夫第二方程对于复杂电路中任一闭合回路，沿闭合回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势升高的代数和，这一结论称为基尔霍夫第二方程。ZU=Z(±e±r±R)=0式中e为回路的总电动势，r是总内阻，R是总电阻。正负好取法如下先任意假定绕行方向，当绕行方向经电源内部由正极指向负极时，取正号，反之取负号。当绕行方向与电流方向一致时，取正号，反之取负号。（3）基尔霍夫方程求解电路注意事项任意复杂的电路，原则上都可以用基尔霍夫方程求解。对于各分支点，可用基尔霍夫第一方程，对于各分回路，可以用基尔霍夫第二方程。在应用基尔霍夫方程解题时，应注意以下几点：●电流方向：在实际问题中，电流方向不一定已知，但我们可以假定一个方向，若最后求得的电流为正，则表示所标的方向与实际方向相同，若求得的电流为负，则表示所标的方向与实际电流的方向相反。●独立节点方程数：根据基尔霍夫第一方程，对每一个分支点，可列出一个方程，但n个节点，只有n-1个基尔霍夫第一方程是独立的。·独立电压方程数：对每一个闭合回路，可以列一个基尔霍夫第二方程。要注意方程式的独立性。若所列的方程式中，至少有一条支路在已列出的方程式中未用过，则这回路的方程式必定是独立的。但又要注意有足够的方程，以便方程数与未知量的数目相等。3
3 在求和时，流入节点的电流用“+”号，流出节点的电流用“-”号，这就是基尔霍夫第一方程，其实质就是稳恒电流情况下的电 荷守恒定律。 (2) 基尔霍夫第二方程 对于复杂电路中任一闭合回路，沿闭合回路绕行一周，回路中各电阻上电势降落的代数和等于各电源的电动势造成的电势 升高的代数和，这一结论称为基尔霍夫第二方程。 ΣU = Σ(±ε ± r ± R) = 0 式中ε为回路的总电动势，r 是总内阻，R 是总电阻。正负好取法如下： 先任意假定绕行方向，当绕行方向经电源内部由正极指向负极时，ε取正号，反之取负号。当绕行方向与电流方向一致时，取正 号，反之取负号。 (3) 基尔霍夫方程求解电路注意事项 任意复杂的电路，原则上都可以用基尔霍夫方程求解。对于各分支点，可用基尔霍夫第一方程，对于各分回路，可以用基尔 霍夫第二方程。在应用基尔霍夫方程解题时，应注意以下儿点： ● 电流方向：在实际问题中，电流方向不一定己知，但我们可以假定一个方向，若最后求得的电流为正，则表示所标的方向与 实际方向相同，若求得的电流为负，则表示所标的方向与实际电流的方向相反。 ● 独立节点方程数：根据基尔霍夫第一方程，对每一个分支点，可列出一个方程，但 n 个节点，只有 n-1 个基尔霍夫第一方程 是独立的。 ● 独立电压方程数：对每一个闭合回路，可以列一个基尔霍夫第二方程·要注意方程式的独立性。若所列的方程式中，至少有 一条支路在己列出的方程式中未用过，则这回路的方程式必定是独立的。但又要注意有足够的方程，以使方程数与未知量的 数目相等·
3.登加原理在具有几个电动势的电路中，儿个电动势共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的电流之和。这个关于各个电动势作用独立性的原理称为叠加原理。RR(c)(b)(a)图2一51叠加原理的图示应用叠加原理可以把一个复杂的电路分解成若干比较简单的电路。在每一个比较简单的电路中，仅有一个电动势在所研究的问题中起作用，其他电动势假定被短接了，不过它们的内电阻应包括在相应的各支路的电阻内。4
4 3· 叠加原理 在具有儿个电动势的电路中，儿个电动势共同在某一支路中引起的电流，等于每个电动势单独存在时在该支路上所产生的 电流之和。这个关于各个电动势作用独立性的原理称为叠加原理。 图 2￣51 叠加原理的图示 应用叠加原理可以把一个复杂的电路分解成若干比较简单的电路。在每一个比较简单的电路中，仅有一个电动势在所研究的 问题中起作用，其他电动势假定被短接了，不过它们的内电阻应包括在相应的各支路的电阻内
二、基尔霍夫方程及其应用1.支路电流法即对每个支路设定电流的方向和取值（为代数值，由计算决定），对每个独立回路设定绕行方向，然后利用基尔霍夫定律列出方程组。注意独立方程组的数目正好等于待求支路电流的数目，故可解得各支路电流。【例题】如图2-52所示电路，求各支路中的电流表达式。[解】节点数为以n=2，独立回路数m=2，支路数为[=3，满足关系m-1=l-n，利用基尔霍夫定律，列出3个独立方程：节点电流方程1个12+13-1,=0回路电压方程2个-E+I,R+I,R=021,R+E-I,R=0解方程组，得到261i=5RE“二"号表示实际电流与原假定电流方向相反12=-SR3EI, =5R5
5 二、基尔霍夫方程及其应用 1· 支路电流法 即对每个支路设定电流的方向和取值（为代数值，由计算决定），对每个独立回路设定绕行方向，然后利用基尔霍夫定律列 出方程组。注意独立方程组的数目正好等于待求支路电流的数目，故可解得各支路电流。 [例题] 如图 2-52 所示电路，求各支路中的电流表达式。 [解] 节点数为以 n=2，独立回路数 m＝2，支路数为 l=3，满足关系 m-1=l-n·利用基尔霍夫定律，列出 3 个独立方程： ｜[ ｜１[ + − = − + + = + − = 2 0 0 2 0 1 2 3 1 3 2 3 1 I R I R I R I R I I I ε ε 回路电压方程 个 节点电流方程 个 解方程组，得到 ｜｜｜[ ｜｜｜１[ = = − − = R I R I R I 5 3 " " 5 5 2 3 2 1 ε ε ε 号表示实际电流与原假定电流方向相反