82-4欧姆定律欧定律的两种表示1.欧姆定律的微分形式实验指出，当金属导体中存在电场时，导体中便出现电流。当导体中的电场恒定时，形成的电流也是恒定的，一旦撤除电场，电流亦随之停止。进一步的实验指出：当保持金属的温度恒定时，金属中的电流密度j与该处的电场强度E成正比，即j=OE比例系数6称为金属的电导率。上式对大部分导体都是成立的，称为欧姆定律的微分形式，它反映了导体内部任一点的电流密度与该点的电场分布和电导率无关。若导体是均匀的，则导体内各处的电导率都相等，若导体是非均匀的，则电导率是位置的函数。在更加一般的情况下，电导率6本身也可以是电场强度E的函数，这时j=O(E)E这时阻力就不再与定向速度成正比了。电导率倒数称为电阻率，用p表示1p=01
1 § 欧姆定律 一 丶 欧姆定律的两种表示 1· 欧姆定律的微分形式 实验指出，当金属导体中存在电场时，导体中便出现电流。当导体中的电场恒定时，形成的电流也是恒定的，一旦撤 除电场，电流亦随之停止。进一步的实验指出：当保持金属的温度恒定时，金属中的电流密度 j 与该处的电场强度 E 成正比， 即 j E 亠 亠 = σ 比例系数σ称为金属的电导率。上式对大部分导体都是成立的，称为欧姆定律的微分形式，它反映了导体内部任一点的电流 密度与该点的电场分布和电导率无关。若导体是均匀的，则导体内各处的电导率都相等，若导体是非均匀的，则电导率是位 置的函数。 在更加一般的情况下，电导率σ本身也可以是电场强度 E 的函数，这时 j E E 亠 亠 亠 = σ ( ) 这时阻力就不再与定向速度成正比了。电导率σ倒数称为电阻率，用ρ表示 σ ρ 1 =
在SI单位制中，电导率的单位是（欧·米）"，或Q-·m：电阻率的单位是（欧·米），或Q·m，这里2是电阻的单位，称为欧姆。欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦适用。2.一段电路欧姆定律在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度边界条件，即：n·(E,-E)对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积，否则电流不稳恒，因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电流密度只有切向分量，没有法向分量。稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线，导线的截面积为S，电导率为6.显然，导线的每一横截面都是等势面，相距为1的两个横截面问的电势差为Ag=JE.di=Ja·di-=fel设pdlR=S则：U1=或U=IRR2
2 在 SI 单位剩中，电导率的单位是(欧·米)-1，或Ω−1●m-1； 电阻率的单位是(欧·米)，或Ω●m，这里Ω是电阻的单位，称为欧姆。 欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦适用。 2· 一段电路欧姆定律 在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度边界条件，即： ( ) 0 2 1 ε n ⋅ E − E = σ 亠 亠 亠 对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积，否则电流不稳恒，因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电流密度 j 只 有切向分量，没有法向分量。 稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线，导线的截面积为 S, 电导率 为σ·显然，导线的每一横截面都是等势面，相距为 l 的两个横截面问的电势差为 ｜ ｜ ｜ ∆ = ⋅ = ⋅ = Sdl E dl j dl I ρ ϕ ρ 亠 亠 亠 亠 设 ｜ = Sdl R ρ 则： R U U = IR 或 I =
R为所考察的两等势面间导体的电阻，它与导体材料的性质、导体的形状等因素有关，就是一段导体的欧姆定律。实际上即使同一导体，当电流流动的方式不同时，对应的电阻也不同。如圆筒形导体，电流沿筒的轴向流动时的电阻与电流沿筒的径向流动时的电阻就是完全不同的，尽管电阻与导体形状及电流流动方式有关，但电阻率却与这些因素无关，仅由材料性质决定。表2-1给出了儿种材料的电阻率。表2-1儿种材料的电阻率材料材料电阻率/(2-m)电阻率/（2.m)铜1.67x108锗0.649.71x10-8铁1.4x10s石墨10*109.71x10镍玻璃锡1.59x10-81x10m石英鸽4.4x1025.51x10食盐饱和溶液2x1019秉9.58x10-8硫10-10100x10-s木材镍络合金3.电阻率与温度的关系材料的电阻率与温度有关。实验测量表明，纯金属的电阻率随温度的变化较有规律，当温度变化的范围不很大时，电阻率与温度成线性关系，即p =Po(l+ot)式中p是t℃C时的电阻率，Po是0℃时的电阻率，α称为电阻的温度系数。大部分金属的电阻温度系数在0.4%左右：通常，电阻随温度变化的关系可以用下式表示：3
3 R 为所考察的两等势面间导体的电阻，它与导体材料的性质、导体的形状等因素有关，就是一段导体的欧姆定律。 实际上即使同一导体，当电流流动的方式不同时，对应的电阻也不同。如圆筒形导体，电流沿筒的轴向流动时的电阻与电流 沿筒的径向流动时的电阻就是完全不同的·尽管电阻与导体形状及电流流动方式有关，但电阻率却与这些因素无关，仅由材料性 质决定。表 2-1 给出了儿种材料的电阻率。 表 2-1 儿种材料的电阻率 材 料 电阻率/(Ω⋅m) 材 料 电阻率/(Ω⋅m) 铜 1.67×10-8 锗 0.64 铁 9.71×10-8 石墨 1.4×10-5 镍 9.71×10-8 玻璃 1010~1014 锡 1.59×10-8 石英 1×1013 钨 5.51×10-8 食盐饱和溶液 4.4×10-2 汞 9.58×10-8 硫 2×1019 镍铬合金 100×10-8 木材 108~1011 3· 电阻率与温度的关系 材料的电阻率与温度有关。实验测量表明，纯金属的电阻率随温度的变化较有规律，当温度变化的范围不很大时，电阻率与 温度成线性关系，即 (1 ) 0 ρ = ρ +αt 式中ρ是 t℃时的电阻率，ρ0是 0℃时的电阻率，α称为电阻的温度系数。大部分金属的电阻温度系数在 0·4％左右·通常，电阻 随温度变化的关系可以用下式表示：
R=R.(1+ot)电阻随温度变化的较精确的关系式为R=R.(1+0.003985t-0.000000586t)上面两式中，R是tC时导体的电阻，Ro是0℃C时导体的电阻。4纳米材料的电阻德国萨尔大学的Gleiter教授等人对纳米金属Cu、Pd、Fe块体的电阻与温度关系，电阻温度系数与颖粒尺寸的关系进行了系统的研究。他们发现纳米材料的电阻随温度的变化与纳米颗粒径有关，随颗粒尺寸减小，电阻温度系数下降。这个结果表明纳米金属和合金材料的电阻随温度变化的规律与常规租晶基本相似其差别在于纳米材料的电阻高于带规材料，电阻温度系数强烈依赖于晶粒尺寸。当颗粒小于某一临界尺寸（电子平均自由程）时，电阻温度系数可能由正变负。例如，Ag细粒径和构成粒子的晶粒直径分别减小至等于或小于18nm和11nm时，室温以下的电阻随温度上升呈线性下降，即电阻温度系数α由正变负，而常规金属与合金α为正值。纳米金属与合金在电阻上的这种新特性可以这样解释：因为当电子在理想周期场中的运动时，如果势场不发生畸变，电子的能量状态不会变化，运动的速度不会改变。电子在周期势场中以波的形式（布洛赫波）传播。电子的函数可以看作是前进的平面波和各晶面的反射波的选加。在一般情况下，各反射波的位相之间没有一定的关系，彼此相互抵消，从理想上可以认为周期势场对电子的传播没有障碍，但实际晶体存在原子在平衡位置附近的热振动，杂质或缺陷以及晶界。这样，电子在实际晶体中的传插由于散射使电子运动受障碍，这就产了电阻。纳米材料中大量的晶界的存在，儿乎使大量电子运动局限在小颗粒范围，晶界原子排列越混乱，晶界厚度越大，对电子散射能力就越强，界面这种高能垒是使电阻升高的主要原因。4
4 (1 ) 0 R = R +αt 电阻随温度变化的较精确的关系式为： (1 0.003985 0.000000586 ) 2 0 R = R + t − t 上面两式中，R 是 t℃时导体的电阻，R0是 0℃时导体的电阻。 4· 纳米材料的电阻 德国萨尔大学的 Gleiter 教授等人对纳米金属 Cu、Pd、Fe 块体的电阻与温度关系，电阻温度系数与颗粒尺寸的关系进行了系 统的研究。他们发现纳米材料的电阻随温度的变化与纳米颗粒径有关，随颗粒尺寸减小，电阻温度系数下降。这个结果表明纳米金 属和合金材料的电阻随温度变化的规律与常规粗晶基本相似，其差别在于纳米材料的电阻高于常规材料，电阻温度系数强烈依赖于 晶粒尺寸。当颗粒小于某一临界尺寸（电子平均自由程）时，电阻温度系数可能由正变负。 例如，Ag 细粒径和构成粒子的晶粒直径分别减小至等于或小于18nm 和 11nm 时，室温以下的电阻随温度上升呈线性下降， 即电阻温度系数α由正变负, 而常规金属与合金α为正值。 纳米金属与合金在电阻上的这种新特性可以这样解释：因为当电子在理想周期场中的运动时，如果势场不发生畸变，电子的 能量状态不会变化，运动的速度不会改变。电子在周期势场中以波的形式（布洛赫波）传播。电子的函数可以看作是前进的平面波 和各晶面的反射波的选加。在一般情况下，各反射波的位相之间没有一定的关系，彼此相互抵消，从理想上可以认为周期势场对电 子的传播没有障碍，但实际晶体存在原子在平衡位置附近的热振动，杂质或缺陷以及晶界。这样，电子在实际晶体中的传播由于散 射使电子运动受障碍，这就产了电阻。纳米材料中大量的晶界的存在，儿乎使大量电子运动局限在小颗粒范围，晶界原子排列越混 乱，晶界厚度越大，对电子散射能力就越强，界面这种高能垒是使电阻升高的主要原因
0.130国.0.110815020025030050100TK微线：R-0.1(1+73×10-702(a)6.0:5.5.图2-37室温下纳米Ag的电阻随温度的05.0变化。4)粒径为20nm，晶粒度为12nm：B）粒径为18nm，晶粒度为11nm：）粒径为4.5.11nm，晶粒度为11nm。4.0150250300100200K由线：8~5.5(1-3.0×10*T/0(b)950900850O8007507008010012014016018020022024060T/K由;R=973.9(1-1.2× 10*T)Q(e)5
5 图 2-37 室温下纳米 Ag 的电阻随温度的 变化。（a）粒径为 20nm，晶粒度为 12nm；（B） 粒径为 18nm，晶粒度为 11nm；（c）粒径为 11nm，晶粒度为 11nm