天津师范大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲义）第四章 向量组的线性相关性 Linear Dependence of Vector Sets

22向量组的线性相关性 定义若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量 31n维向量 组( vector set) 2向量的线性相关性 矩阵A=(a1)mxn既有n个m维的列向量又有m个n维的行向量.令 3向量组的税 5线性方程组的解的结构 (=1,2,,m)α=(an,a2,…,am),(i=1,2,,,m) 主讲张少强 标题页 则向量组a1,a2…,an称为A的列向量组.向量组a,a2,…,am称为矩 阵A的行向量组 显然 第6页共56页 A=(a1, ag,n//ga 返回 全屏显 很明显,有限个向量所组成的向量组肯定也构成一个矩阵 出

天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 2 §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ ➼➶ ❡❩❻Ó➅ê✛✎➉þ(➼Ó➅ê✛✶➉þ)↕⑤↕✛✽Ü✗❽➉þ ⑤(vector set). Ý✡A = (aij)m×n◗❦n❻m➅✛✎➉þq❦m❻n➅✛✶➉þ. ✲ aj =   a1j a2j . . . amj   ,(j = 1, 2, . . . , n) α T i = (ai1, ai2, . . . , ain),(i = 1, 2, . . . , m) ❑➉þ⑤a1, a2, . . . , an→➃A✛✎➉þ⑤. ➉þ⑤αT 1 , αT 2 , . . . , αT m→➃Ý ✡A✛✶➉þ⑤. ✇✱ A = (a1, a2, . . . , an) =   αT 1 αT 2 . . . αT m   . é➨✇, ❦⑩❻➉þ↕⑤↕✛➉þ⑤➆➼➃✟↕➌❻Ý✡

在第二章介绍分块矩阵(课本P64)时,把方程组AX=b写成 1a1+2a2+…+xnOn 的向量形式.方程组与列向量组a1,a2,,an,b之间有一种一一对应的关 系.向量b能由向量组a1,a2,,an用一个线性式子表示出来 31n维向量 2向量组的线性相关性 3向量组的税 定义2给定向量组A:a1,a2,,am,对于任何一组实数k1,k2,…,km 4向量空间 5线性方程组的解的结构 向量k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合( linear combi- 本章总结 nation,k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数 主讲张少强 定义对于向量b和向量组A:a1,a2,,am,若存在一组数入,A2, λn使 标题页 b=A1a1+入2a2+…+ 则向量b是向量组A的线性组合,称向量b能由向量组A线性表示 第7页共56页 若向量b能由向量组A线性表示,则这个线性组合的系数就是方程 组π1a1+2a2+…+xnam=b的一个解根据上章的定理3,得到下面的 定理 全屏显示 定理1向量b能由向量组A:a1,a2,,an线性表示的充要条件是矩阵A= (a1a2,an)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩

天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸✶✓Ù✵☛➞➡Ý✡(➅✢P.64)➒, r➄➜⑤AX = b✕↕ x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b ✛➉þ✴➟. ➄➜⑤❺✎➉þ⑤a1, a2, . . . , an, b❷♠❦➌➠➌➌é❆✛✬ ❳. ➉þb❯❞➉þ⑤a1, a2, . . . , an❫➌❻❶✺➟❢▲➠Ñ✺. ➼➶ 2 ❽➼➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am, é✉❄Û➌⑤➣êk1, k2, · · · , km, ➉þk1a1 + k2a2 + · · · + kmam→➃➉þ⑤A✛➌❻❶✺⑤Ü (linear combi￾nation), k1, k2, · · · , km→➃ù❻❶✺⑤Ü✛❳ê. ➼➶ é✉➉þbÚ➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am, ❡⑧✸➌⑤êλ1, λ2, · · · , λm➛ b = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam, ❑➉þb➫➉þ⑤A✛❶✺⑤Ü, →➉þb❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠. ❡➉þb❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠, ❑ù ❻❶✺⑤Ü✛❳êÒ➫➄➜ ⑤x1a1 + x2a2 + · · · + xnam = b✛➌❻✮. ❾âþÙ✛➼♥3, ✚✔❡→✛ ➼♥: ➼♥1 ➉þb❯❞➉þ⑤A : a1, a2, . . . , an❶✺▲➠✛➾❻❫❻➫Ý✡A = (a1, a2, . . . , an)✛➑✤✉Ý✡B = (a1, a2, . . . , an, b)✛➑

例题(补)设有向量b=1a1 2向量组的线性相关性 问b能否用向量组a1,a2,a3,a4线性表示?若 3向量组的税 4向量空间 5线性方程组的解的结构 试求出其线性表示式 本章总结 解由定理1知,b能用向量组a1,a2,a3,a4线性表示々→矩阵A a1,a2,a3,a4)的秩等于矩阵B=(a1,a2a3a1,b)的秩.←→非齐次线性 主讲张少强 方程组A=b有解,且任一解都是线性表达式的系数 标题页 1000 0100 (a1,a2,a3,a4b) 1-11-11他为行最海形 0010 第8页共56页 0001 返回 因由,R(A)=R(B)=4,于是b可由向量组a1,a2,a3,a4唯一线性表示为 全屏显示 b=-a1+-a2+--a3+ 出

天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦❑(Ö) ✗❦➉þb =   1 2 1 1   , a1 =   1 1 −1 −1   , a2 =   1 −1 1 −1   , a3 =   1 −1 1 −1   , a4 =   1 −1 −1 1   . ➥b❯➘❫➉þ⑤a1, a2, a3, a4❶✺▲➠? ❡❯, ➪➛ÑÙ❶✺▲➠➟. ✮ ❞ ➼ ♥1⑧, b❯ ❫ ➉ þ ⑤a1, a2, a3, a4❶ ✺ ▲ ➠⇐⇒ Ý ✡A = (a1, a2, a3, a4)✛➑✤✉Ý✡B = (a1, a2, a3, a4, b)✛➑.⇐⇒ ➎à❣❶✺ ➄➜⑤Ax = b❦✮, ❹❄➌✮Ñ➫❶✺▲❼➟✛❳ê. (a1, a2, a3, a4, b) =   1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 2 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 1   ③^➃✶⑩④✴   1 0 0 0 5 4 0 1 0 0 1 4 0 0 1 0 − 1 4 0 0 0 1 − 1 4   Ï❞, R(A) = R(B) = 4, ✉➫, b➀❞➉þ⑤a1, a2, a3, a4➁➌❶✺▲➠➃ b = 5 4 a1 + 1 4 a2 + − 1 4 a3 + − 1 4 a4.

定义3对于两个向量组A:a1,a2,,am及B:b1,b2,,b,若向量 组B中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性 表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价 定理向量组B:b1,b2,,b可由向量组A:a1,a2,,am线性表示 31n维向量 2向量组的线性相关性 的充要条件是存在m×s矩阵K,使矩阵A=(a1,a2,,,am)和B= 3向量组的税 (b1,b2,,b)满足 4向量空间 5线性方程组的解的结构 B= AK 本章总结 证每个b(=1,2,…,S)可由a1,a2,…,am线性表示 主讲张少强 61= kual+k21a2 +.+kmla 标题页 b2=k1201+k22a2+…+km2Q bs=k1sa1+k2sa2+…+k k11k12 kl 第9页共56页 k21 k 〈→(b1,b2,…,b)=(a1,a k2 返回 全屏显示 B=AK,其中K=(k) 注:矩阵K称为向量组B由向量组A线性表示的系数矩阵 週出

天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➼➶3 é✉ü❻➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am ✾B : b1, b2, . . . , bs, ❡➉þ ⑤B➙③❻➉þÑ❯❞➉þ⑤A❶✺▲➠, ❑→➉þ⑤B❯❞➉þ⑤A❶✺ ▲➠. ❡➉þ⑤A❺➉þ⑤B❯❷♣❶✺▲➠, ❑→ùü❻➉þ⑤✤❞. ➼♥ ➉þ⑤B : b1, b2, . . . , bs➀❞➉þ⑤A : a1, a2, . . . , am❶✺▲➠ ✛➾❻❫❻➫⑧✸m × sÝ✡K, ➛Ý✡A = (a1, a2, . . . , am)ÚB = (b1, b2, . . . , bs)÷✈ B = AK. ② ③❻bj (i = 1, 2, . . . , s)➀❞a1, a2, . . . , am❶✺▲➠ ⇐⇒    b1 = k11a1 + k21a2 + · · · + km1am b2 = k12a1 + k22a2 + · · · + km2am · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · bs = k1sa1 + k2sa2 + · · · + kmsam ⇐⇒ (b1, b2, . . . , bs) = (a1, a2, . . . , am)   k11 k12 · · · k1s k21 k22 · · · k2s . . . . . . . . . km1 km2 · · · kms   ⇐⇒ B = AK, Ù➙K = (kij)m×s. ✺: Ý✡K→➃➉þ⑤B❞➉þ⑤A❶✺▲➠✛❳êÝ✡.

由量面的定理可知,若 C=Am×Bxn,则矩阵C的列向量组能由矩 阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.同时C的行向量组能 由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵 12 ls a21a22 a2s 2向量组的线性相关性 AB 3向量组的税 4向量空间 m1 a 5线性方程组的解的结构 s 本章总结 定理若A初B,则A的行向量组与B的行向量组等价 主讲张少强 若A初B,则A的列向量组与B的列向量组等价 标题页 证A初等变换B=B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合=→ B的行向量组能由A的行向量组线性表示 第10页共56页 初等变与可逆→B初短换A→A的每个行向量都是B的行向量组的 线性组合=A的行向量组能由B的行向量组线性表示 全屏显 所以,A的行向量组与B的行向量组等价 类似可知第2个命题也成立 出

天津师范大学 §1 n➅ ➉ þ §2 ➉þ⑤✛❶✺❷✬✺ §3 ➉ þ ⑤ ✛ ➑ §4 ➉ þ ➌ ♠ §5 ❶✺➄➜⑤✛✮✛✭✟ ✢ Ù ♦ ✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 56 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞þ→✛➼♥➀⑧, ❡Cm×n = Am×sBs×n, ❑Ý✡C✛✎➉þ⑤❯❞Ý ✡A✛✎➉þ⑤❶✺▲➠, B➃ù➌▲➠✛❳êÝ✡. Ó➒C✛✶➉þ⑤❯ ❞B✛✶➉þ⑤❶✺▲➠, A➃ù➌▲➠✛❳êÝ✡. C =   γ T 1 γ T 2 . . . γ T m   =   a11 a12 · · · a1s a21 a22 · · · a2s . . . . . . . . . am1 am2 · · · ams     β T 1 β T 2 . . . β T m   = AB ➼ ♥ ❡A Ð✤✶❈❺ ∼ B, ❑A✛ ✶ ➉ þ ⑤ ❺B✛ ✶ ➉ þ ⑤ ✤ ❞. ❡A Ð✤✎❈❺ ∼ B, ❑A✛✎➉þ⑤❺B✛✎➉þ⑤✤❞. ② A Ð✤✶❈❺ ∼ B =⇒ B✛③❻✶➉þÑ➫A✛✶➉þ⑤✛❶✺⑤Ü. =⇒ B✛✶➉þ⑤❯❞A✛✶➉þ⑤❶✺▲➠. Ð✤❈❺➀❴=⇒ B Ð✤✶❈❺ ∼ A =⇒ A✛③❻✶➉þÑ➫B✛✶➉þ⑤✛ ❶✺⑤Ü. =⇒ A✛✶➉þ⑤❯❞B✛✶➉þ⑤❶✺▲➠. ↕➧, A✛✶➉þ⑤❺B✛✶➉þ⑤✤❞. ❛q➀⑧✶2❻➲❑➃↕á.