进一步得: (x-z)(1-2x+=2)2=(1-2x+) )∑mP(x) x-2 P(x)z=(1-2x2+)3 )∑mP(x) 对上式整理比较得: ,(2n+1)x(x)-nPn=1(x)=(n+1)P n+1 公式2的证明:将母函数两端z求导得: (x-=2)(1-2xz+2)2=∑mP(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 进一步得： ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 ( ) n n n x z xz z xz z nP x z + − − = − − + = − + ( ) 2 1 0 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) n n n n n n x z P x z xz z nP x z + + − = = − = − + 对上式整理比较得： 1,(2 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) n xP x nP x n P x + − = + n n n − + 1 1 公式2的证明：将母函数两端z求导得： ( ) 3 2 1 2 1 ( ) 1 2 ( ) n n n x z xz z nP x z + − − = − − + =
进一步得: + oo 2(x-)(1-2x+=2)2=∑mP1(x)2…( 将母函数两端x求导得: -2xz+ )2=∑ P(x)2 n=1 进一步得: (x-)(1-2x+=)2=(x-)2(x)=…() 比较(1)与(2)得:2,Pm1(x)=xPm(x)-mP(x)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 进一步得： ( ) 3 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) (1) n n n z x z xz z nP x z + − = − − + = 将母函数两端x求导得： ( ) 3 2 2 1 1 2 ( ) n n n z xz z P x z + − = − + = 进一步得： ( ) 3 2 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) (2) n n n z x z xz z x z P x z + − = − − + = − 比较(1)与(2)得： 2, ( ) ( ) ( ) P x xP x nP x n n n −1 = −
公式3的证明:由公式1两端对x求导得: (2n+1)2(x)+(2n+1)xP(x)-mP1(x)=(n+1)P(x)…( 又由公式2得: nPn(x)=nxP(x)-n'P(x).(2) 将(1)-(2)得: 3,nP1(x)+xm1(x)=P(x) 例4、证明: P(x)= X 2n+1 n+1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 公式3的证明：由公式1两端对x求导得： 1 1 (2 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) (1) n n n n n P x n xP x nP x n P x − + + + + − = + 又由公式2得： 2 1 ( ) ( ) ( ) (2) nP x nxP x n P x n n n − = − 将(1)-(2)得： 3, ( ) ( ) ( ) nP x xP x P x n n n − − 1 1 + = 例4、证明： 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 P x P x P x n n n n + − = − +