(1)该事件所含的样本点数是n,故:p=mm (2)在N个盒子中选n个盒子有CN种选法,故所求事件的概率为 P=C (3)从n个球中取m个有Cm种选法,剩下的n-m个球中的每一个球都有 N-1种放法,故所求事件的概率为:P=C(M-1) 【例4】随机地向由0<y<1x<所围成的正方形内掷一点,点落在该正方形 内任何区域的概率与区域面积成正比,求原点和该点的连线与x轴正向的夹角小 于丌的概率 分析:这是一个几何概率问题,通常可借助几何上的度量(长度、面积、体 积或容积等)来合理地规定其概率. 解:用S表示该正方形的面积,S表示 图1.2阴影部分面积,则所求的概率为: 11-3sd 01 2 图1.2 【例5】设事件A与B互不相容,且P(A)=P,P(B)=q,求下列事件的概率 P(AB), P(AU B), P(AB), P(AB) 分析:按概率的性质进行计算. 解:A与B互不相容,所以AB=Φ,P(AB)=P(Φ)=0
10 （1）该事件所含的样本点数是 n! ，故： n N n p = ! ； （2）在 N 个盒子中选 n 个盒子有 n CN 种选法，故所求事件的概率为： n n N N C n p ! = ； （3）从 n 个球中取 m 个有 m Cn 种选法，剩下的 n−m 个球中的每一个球都有 N −1 种放法，故所求事件的概率为： n n m n N N N p C − − = ( 1) . 【例 4】随机地向由 2 1 0 y 1、x 所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形 内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点的连线与 x 轴正向的夹角小 于 4 3 的概率. 分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体 积或容积等）来合理地规定其概率. 解：用 S 表示该正方形的面积， 1 S 表示 图 1.2 阴影部分 面积，则所求的概率为： 8 7 1 ) 2 1 ( 2 1 1 2 1 = − = = S S p . 【例 5】设事件 A 与 B 互不相容，且 P(A) = p, P(B) = q ，求下列事件的概率： P(AB), P(A B), P(AB), P(AB) . 分析：按概率的性质进行计算. 解： A 与 B 互不相容，所以 AB = ， P(AB) = P() = 0 ； x y 1 2 1 2 1 − 0 图 1.2
P(A+B)=P(A)+P(B)=p+q;由于A与B互不相容,这时AB=A,从而 P(AB)=P(A)=p:由于AB=A∪B,从而 P(AB)=P(A∪B)=1-P(A∪B)=1-(p+q) 【例6】某住宅楼共有三个孩子,已知其中至少有一个是女孩,求至少有一个是 男孩的概率(假设一个小孩为男或为女是等可能的) 分析:在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概 率,所以是条件概率问题根据公式P(BP(AB),必须求出PCAB),P(A) P(A) 解:设A={至少有一个女孩},B={至少有一个男孩},则A={三个全是男孩}, B={三个全是女孩},于是 为28(B),事件AB为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”,因 P(A)=3= A∪B,且AB=④,所以P(AB)=1-P(AB)=1-P(A∪B 1-P(4)+P(B=18=PA=1-P(=7 从而,在已知至少有 个为女孩的条件下,求至少有一个是男孩的概率为 3 P(AB) 6 P(BIA P(A) 8 【例T】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的根据以往的 记录有以下的数据(表1-1)
11 P(A+ B) = P(A) + P(B) = p + q ；由于 A 与 B 互不相容，这时 AB = A ，从而 P(AB) = P(A) = p ；由于 AB = A B ，从而 P(AB) = P(A B) =1− P(A B) =1− ( p + q) . 【例 6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是 男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）. 分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概 率，所以是条件概率问题.根据公式 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = ，必须求出 P(AB), P(A) . 解：设 A ={至少有一个女孩}，B ={至少有一个男孩}，则 A ={三个全是男孩}， B ={三个全是女孩}，于是 ( ) 8 1 2 1 ( ) 3 P A = = = P B ，事件 AB 为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因 为 AB = A B ，且 AB = ，所以 P(AB) =1− P(AB) =1− P(A B) = 8 7 , ( ) 1 ( ) 4 3 ) 8 1 8 1 1−[P(A) + P(B)] =1− ( + = P A = − P A = ，从而，在已知至少有 一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为： 7 6 8 7 4 3 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A . 【例 7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的 记录有以下的数据(表 1-1)
表1-1 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 123 0.01 0.8 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机 地取一只晶体管,求它是次品的概率.(2)在仓库中随机地取一只晶体管,若已 知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率 分别是多少.试求这些概率. 分析:事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和:“这 只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”, 这三个事件互不相容,可用全概率公式进行计算.一般地,当直接计算某一事件A 的概率P(4)比较困难,而P(BP(4|B)比较容易计算,且∑B=9时,可 考虑用全概率公式计算P(A).(2)为条件概率,可用贝叶斯公式进行计算 解:设A表示“取到的是一只次品”,B(i=1,2,3)表示“所取到的产品是 由第i家工厂提供的”易知,B1,B2,B3是样本空间Ω的一个划分,且有 P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(AB)=0.02,P(A|B2)= 0.01,P(A|B3)=0.03 (1)由全概率公式:PA)=∑PB)P(A|B)=00125
12 表 1-1 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机 地取一只晶体管，求它是次品的概率.（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已 知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率 分别是多少.试求这些概率. 分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这 只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”， 这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件 A 的概率 P(A) 比较困难，而 ( ), ( | ) P Bi P A Bi 比较容易计算，且 = i Bi 时，可 考虑用全概率公式计算 P(A) .（2）为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算. 解：设 A 表示“取到的是一只次品”， B (i =1,2,3) i 表示“所取到的产品是 由第 i 家工厂提供的”.易知， 1 2 3 B ,B ,B 是样本空间 的一个划分，且有 ( ) 0.15, ( ) 0.80, ( ) 0.05, ( | ) 0.02, ( | ) P B1 = P B2 = P B3 = P A B1 = P A B2 = 0.01,P(A| B3 ) = 0.03. （1）由全概率公式： ( ) ( ) ( | ) 0.0125 3 1 = = i= P A P Bi P A Bi
(2)由贝叶斯公式 P(B|4)=P(4B)B P(4)=024,P(B2|4)=064,P(B1)=012.以上结 果表明,这只次品来自第二家工厂的可能性最大 【例8】一名工人照看A、B、C三台机床,已知在1小时内三台机床各自不需 要工人照看的概率为P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7.求1小时内三台机床至 多有一台需要照看的概率 分析:每台机床是否需要照看是相互独立的,这样,可根据事件的独立性性 质及加法公式进行计算. 解:各台机床需要照看的事件是相互独立的,而三台机床至多有一台需要照 看的事件D可写成:D=ABC+ABC+ABC+ABC,则由加法公式与独立性 性质得:P(D)=P(ABC+ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+ P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.902 【例9】某车间有10台同类型的设备,每台设备的电动机功率为10千瓦已知每 台设备每小时实际开动12分钟,它们的使用是相互独立的.因某种原因,这天供 电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多 少 分析:由题意知,所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5台” 这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的,且在某一时刻,设备只有开
13 （2）由贝叶斯公式： 0.24, ( | ) 0.64, ( | ) 0.12 ( ) ( | ) ( ) ( | ) 2 3 1 1 1 = = P B A = P B A = P A P A B P B P B A .以上结 果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大. 【例 8】一名工人照看 A、B、C 三台机床，已知在 1 小时内三台机床各自不需 要工人照看的概率为 P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, P(C) = 0.7 .求1小时内三台机床至 多有一台需要照看的概率. 分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性 质及加法公式进行计算. 解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照 看的事件 D 可写成： D = ABC + ABC + ABC + ABC ，则由加法公式与独立性 性质得： P(D) = P(ABC + ABC + ABC + ABC) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =0.902. 【例 9】某车间有 10 台同类型的设备，每台设备的电动机功率为 10 千瓦.已知每 台设备每小时实际开动 12 分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供 电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多 少？ 分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过 5 台” 这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开
动与不开动两种情况,所以本题可视为10重贝努里试验,可用二项概率公式进行 求解 解:设A表示事件“设备开动”,X表示“同时开动的设备数”,则由二项 概率公式得:P(X=k}=C()(),同时开动不超过5台的概率 P{X≤5}=P{X=0}+P{X=1}+…+P{X=5}≈0.994 故该天这10台设备能正常运作的概率为0.994
14 动与不开动两种情况，所以本题可视为 10 重贝努里试验，可用二项概率公式进行 求解. 解：设 A 表示事件“设备开动”，X 表示“同时开动的设备数”，则由二项 概率公式得： k k k P X k C − = = 10 5 4 5 1 10 { } ( ) ( ) ，同时开动不超过 5 台的概率： P{X 5} = P{X = 0}+ P{X = 1}++ P{X = 5} 0.994 ； 故该天这 10 台设备能正常运作的概率为 0.994