(2)乘法公式:设A、BCF,则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 称为事件A、B的概率乘法公式 6、全概率公式与贝叶斯 Bayes)公式 (1)全概率公式:设A1,A2…,An是Ω的一个划分,且P(A1)>0 (=12,…m),则对任何事件B∈F,有P(B)=∑P(A)P(B|A4),称为全概 率公式 (2)贝叶斯( Bayes)公式:设A,A2,…,An是Ω的一个划分,且 P(A1)>0(i=1,2,…,n),则对任何事件B∈F,有 P(A, B) P(A)(B1A,) =1,…,n),称为贝叶斯公式或逆概率公式 ∑PA1)P(B|A1 7、事件的独立性 (1)两事件的独立:设(9,F,P)为一概率空间,事件A、B∈F,且 P(A)>0,若P(B)=P(B|4),则称事件A与B相互独立;等价于: P(AB)=P(AP(B) (2)多个事件的独立:设A1,A2,…,A,是n个事件,如果对任意的 k(1<k≤m),任意的1≤i1<l2<…<k≤n,具有等式 P(An42…A)=P(A1)P(2)…P(A),称n个事件A1,A2,…,A相互独立 8、贝努里( Bernoul l i)概型 (1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验,常记为E.E也叫做“成 功一失败”试验,“成功”的概率常用p=P(A)表示,其中A=“成功
5 （2）乘法公式：设 A、B F ，则 P(AB) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A| B) 称为事件 A、B 的概率乘法公式. 6、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 （1）全概率公式：设 A A An , , , 1 2 是 的一个划分，且 P(Ai ) 0， (i = 1,2, ,n) ，则对任何事件 B F ，有 = n i P B P Ai P B Ai 1 ( )＝ ( ) ( | ) ，称为全概 率公式. （2）贝叶斯(Bayes)公式：设 A A An , , , 1 2 是 的一个划分，且 P(Ai ) 0 (i = 1,2, ,n) ，则对任何事件 B F ，有 ,( 1, , ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 1 j n P A P B A P A P B A P A B n i i i j j j = = = ，称为贝叶斯公式或逆概率公式. 7、事件的独立性 （1）两事件的独立：设 (, F, P) 为一概率空间，事件 A、BF ，且 P(A) 0 ，若 P(B) = P(B | A) ，则称事件 A 与 B 相互独立；等价于： P(AB) = P(A)P(B) . （2）多个事件的独立：设 A A An , , , 1 2 是 n 个事件，如果对任意的 k(1 k n) ，任意的 1 i 1 i 2 i k n ，具有等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 k 1 2 k P Ai Ai Ai = P Ai P Ai P Ai ，称 n 个事件 A A An , , , 1 2 相互独立． 8、贝努里(Bernoulli)概型 （1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为 E ． E 也叫做“成 功—失败”试验,“成功”的概率常用 p = P(A) 表示，其中 A ＝“成功
(2)把E重复独立地进行n次,所得的试验称为n重贝努里试验,记为E (3)把E重复独立地进行可列多次,所得的试验称为可列重贝努里试验,记 为E.以上三种贝努里试验统称为贝努里概型 (4)Em中成功k次的概率是:Cp(1-p)k=C6pq”,(0≤k≤n)其 中p+q=1 疑难分析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件,不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性,是确定性的现象,但为研究的方便,把 它们看作特殊的随机事件 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件A与B必有一个事件发生,且至多有一个事件发生,则A、B 为互逆事件;如果两个事件A与B不能同时发生,则A、B为互斥事件.因而 互逆必定互斥,互斥未必互逆,区别两者的关键是:当样本空间只有两个事件时 两事件才可能互逆,而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生,而互逆事件必发生一个且只发生一个 3、两事件独立与两事件互斥 两事件A、B独立,则A与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关, 这时P(AB)=P(A)P(B);而两事件互斥,则其中任一个事件的发生必然导致另 个事件不发生,这两事件的发生是有影响的,A6 这时AB=,P(AB)=0.可以用图形作一直观Ax A 解释.在图1.1左边的正方形中
6 （2）把 E 重复独立地进行 n 次，所得的试验称为 n 重贝努里试验，记为 n E ． （3）把 E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记 为 E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型． （4） n E 中成功 k 次的概率是： C p (1 p) C p q ,(0 k n) k k n k n k k n k n − = − − 其 中 p + q = 1. 疑 难 分 析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把 它们看作特殊的随机事件. 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件 A 与 B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则 A 、B 为互逆事件；如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，则 A 、 B 为互斥事件.因而， 互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时， 两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个. 3、两事件独立与两事件互斥 两事件 A 、B 独立，则 A 与 B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关， 这时 P(AB) = P(A)P(B) ；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另 一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的， 这时 AB = ,P(AB) = 0 .可以用图形作一直观 解释.在图 1.1 左边的正方形中， 图 1.1 A B AB A B
P(AB)=,P(A)==P(B),表示样本空间中两事件的独立关系,而在右边的 正方形中,P(AB)=0,表示样本空间中两事件的互斥关系 4、条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB) P(AB)是在样本空间Ω内,事件AB的概率,而P(A|B)是在试验E增加 了新条件B发生后的缩减的样本空间gB中计算事件A的概率.虽然A、B都发 生,但两者是不同的,一般说来,当A、B同时发生时,常用P(AB),而在有 包含关系或明确的主从关系时,用P(AB)如袋中有9个白球1个红球,作不放 回抽样,每次任取一球,取2次,求:(1)第二次才取到白球的概率;(2)第 次取到的是白球的条件下,第二次取到白球的概率.问题(1)求的就是一个积事 件概率的问题,而问题(2)求的就是一个条件概率的问题 5、全概率公式与贝叶斯( Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果,而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时,可考虑用全概率公式,在对样本空间进行划分时,一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知,追查是何种原因(情况、 条件)下引发的概率 例题解析 【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点 (1)掷一棵骰子,出现奇数点 (2)投掷一枚均匀硬币两次 1)第一次出现正面:2)两次出现同一面:3)至少有一次出现正面
7 ( ) 2 1 , ( ) 4 1 P(AB) = P A = = P B ，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的 正方形中， P(AB) = 0 ，表示样本空间中两事件的互斥关系. 4、条件概率 P(A| B) 与积事件概率 P(AB) P(AB) 是在样本空间 内，事件 AB 的概率，而 P(A| B) 是在试验 E 增加 了新条件 B 发生后的缩减的样本空间 B 中计算事件 A 的概率.虽然 A 、 B 都发 生，但两者是不同的，一般说来，当 A 、 B 同时发生时，常用 P(AB) ，而在有 包含关系或明确的主从关系时，用 P(A| B) .如袋中有 9 个白球 1 个红球，作不放 回抽样，每次任取一球，取 2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一 次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事 件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、 条件）下引发的概率. 例 题 解 析 【例 1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点： （1）掷一棵骰子，出现奇数点. （2）投掷一枚均匀硬币两次： 1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面
(3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数,其中一个数是另一个数 的两倍 (4)将a,b两只球随机地放到3个盒子中去,第一个盒子中至少有一个球 分析:可对照集合的概念来理解样本空间和样本点:样本空间可指全集,样 本点是元素,事件则是包含在全集中的子集 解:(1)掷一棵骰子,有六种可能结果,如果用“1”表示“出现1点”这个 样本点,其余类似.则样本空间为:g={1,2,3,4,5,6},出现奇数点的事件 (2)投掷一枚均匀硬币两次,其结果有四种可能,若用(正,反)表示“第 次出现正面,第二次出现反面”这一样本点,其余类似.则样本空间为:g={(正, 正),(正,反),(反,正),(反,反)},用A、B、C分别表示上述事件1)、2) 3),则事件A={(正,正),(正,反)}:事件B={(正,正),(反,反)}:事 件C={(正,正),(正,反),(反,正)} (3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数,共有42=16种可 能,若用(i,j)表示“第一次取数i,第二次取数j”这一样本点,则样本空间为: 2={(i,j)}(i,j=1,2,34);其中一个数是另一个数的两倍的事件为:{(1,2) (2,1),(2,4),(4,2)} (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙,将a,b两只球随机地放到3个盒子中去共 有九种结果.若用(甲、乙)表示“a球放入甲盒,b球放入乙盒”这一样本点 其余类似则样本空间为:g={(甲,甲),(甲,乙),(甲,丙),(乙, 乙),(乙,甲),(乙,丙),(丙,甲),(丙,乙),(丙,丙)}:第 个盒子中至少有一个球的事件为:{(甲,甲),(甲,乙),(甲,丙),(乙, 甲),(丙,甲)}
8 （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数 的两倍. （4）将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球. 分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样 本点是元素，事件则是包含在全集中的子集. 解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现 1 点”这个 样本点，其余类似.则样本空间为： ={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件 为：{1，3，5}. （2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第 一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为： ={（正, 正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用 A、B、C 分别表示上述事件 1）、2）、 3），则事件 A ={（正,正）,（正,反）}；事件 B ={（正,正），（反,反）}；事 件 C ={（正,正）,（正,反）,（反,正）}. （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有 4 16 2 = 种可 能，若用 (i, j) 表示“第一次取数 i ，第二次取数 j ”这一样本点，则样本空间为： ={ (i, j) } (i, j =1,2,3,4) ；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）, （2,1）,（2,4）,（4,2）}. (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去共 有九种结果.若用（甲、乙）表示“a 球放入甲盒，b 球放入乙盒”这一样本点， 其余类似.则样本空间为： ={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一 个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 甲），（丙，甲）}
【例2】设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)仅A发生 (2)A与C都发生,而B不发生 (3)所有三个事件都不发生:(4)至少有一个事件发生; (5)至多有两个事件发生;(6)至少有两个事件发生 (7)恰有两个事件发生:(8)恰有一个事件发生 分析:利用事件的运算关系及性质来描述事件 解:(1)ABC:(2)ABC:(3)ABC或AB∪C:(4)AUB∪C 或ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ ABCUABC∪ABC;(5)A∪B∪C或 ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC (6)AB∪AC∪BC或ABC∪ABC∪ABC∪ABC (7)ABC∪ABC∪ABC:(8)ABC∪ABC∪ABC 【例3】把n个不同的球随机地放入N(N≥m)个盒子中,求下列事件的概率 (1)某指定的n个盒子中各有一个球 (2)任意n个盒子中各有一个球 (3)指定的某个盒子中恰有m(m<n)个球 分析:这是古典概率的一个典型问题,许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有N种放法,n个球共有N"种不同的放法.“某指定的n个 盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列;与(1)相比,(2) 相当于先在N个盒子中选n个盒子,再放球:(3)相当于先从n个球中取m个 放入某指定的盒中,再把剩下的n-m个球放入N-1个盒中 解:样本空间中所含的样本点数为N
9 【例 2】设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅 A 发生； （2） A 与 C 都发生，而 B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生； （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生. 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件. 解：（1） ABC ；（2） ABC ；（3） ABC 或 ABC ；（4） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（5） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （6） ABACBC 或 ABC ABC ABC ABC ； （7） ABC ABC ABC ；（8） ABC ABC ABC . 【例 3】把 n 个不同的球随机地放入 N(N n) 个盒子中，求下列事件的概率： （1）某指定的 n 个盒子中各有一个球； （2）任意 n 个盒子中各有一个球； （3）指定的某个盒子中恰有 m(m n) 个球. 分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有 N 种放法， n 个球共有 n N 种不同的放法.“某指定的 n 个 盒子中各有一个球”相当于 n 个球在 n 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2） 相当于先在 N 个盒子中选 n 个盒子，再放球；（3）相当于先从 n 个球中取 m 个 放入某指定的盒中，再把剩下的 n−m 个球放入 N −1 个盒中. 解：样本空间中所含的样本点数为 n N