第二章随机变量及其分布 内容提要 1、随机变量 设Ω是随机试验的样本空间,如果对于试验的每一个可能结果O∈Ω,都有 唯一的实数X(o)与之对应,则称X()为定义在Ω上的随机变量,简记为X 随机变量通常用大写字母X、Y、Z等表示 2、分布函数及其性质 设X为随机变量,x为任意实数,函数F(x)=P{X≤x}(-∞<x<+∞) 称为随机变量X的分布函数 分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性,具有以下性质: (1)0≤F(x)≤1(-∞<x<+∞) (2)如果x1<x2,则F(x1)≤F(x2) (3)F(x)为右连续,即F(x+0)=F(x) (4) lim F(x)=0, lim F(x=l P{x1<Xsx2}=PX≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1) 3、高散型随机变量及其概率分布 如果随机变量Ⅹ只能取有限个或可列个可能值,则称X为离散型随机变量. 如果X的一切可能值为x1,x2,…,并且X取xk的概率为P,则称
15 第二章 随机变量及其分布 内 容 提 要 1、随机变量 设 是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果 ，都有 唯一的实数 X () 与之对应，则称 X () 为定义在 上的随机变量，简记为 X . 随机变量通常用大写字母 X、Y、Z 等表示. 2、分布函数及其性质 设 X 为随机变量， x 为任意实数，函数 F(x) = P{X x}(− x +) 称为随机变量 X 的分布函数. 分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质： （1） 0 F(x) 1 (− x +) ； （2）如果 1 2 x x ，则 ( ) ( ) 1 2 F x F x ； （3） F(x) 为右连续，即 F(x + 0) = F(x) ； （4） lim ( ) = 0, lim ( ) = 1 →− →+ F x F x x x ； （5） { } { } { } ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 P x X x = P X x − P X x = F x − F x . 3、离散型随机变量及其概率分布 如果随机变量 X 只能取有限个或可列个可能值，则称 X 为离散型随机变量. 如果 X 的一切可能值为 x1 , x2 , ，并且 X 取 k x 的概率为 k p ，则称
P4=P{X=xk}(k=1,23…)为离散型随机变量X的概率函数(概率分布或分 布律).列成表格形式,也称为分布列(表2-1): 表2-1 X P PI p3 P 其中p≥0∑P,=1 常见的离散型随机变量的分布有: (1)0-1分布,记为X~(0-1),概率函数 P{X=k}=p(1-p),k=0,1,0<p<1 (2)二项分布,记为X~B(n,p),概率函数 P{X=R}=Cnp"(1-p),k=0,1,…,n,0<p<1 (3)泊松分布,记为X~P(λ),概率函数 P(X=k-te-d ,k=0.1 >0 k 泊松定理设λ>0是一常数,n是任意正整数,设四n=4,则对于任一固定 的非负整数k,有lmCp(1-pn) 当n很大且p很小时,二项分布可以用泊松分布近似代替,即 Ckpk()- ,其中A=np (4)超几何分布,记为X~H(n,M,N),概率函数
16 p = P{X = x }(k =1,2,3, ) k k 为离散型随机变量 X 的概率函数（概率分布或分 布律）.列成表格形式，也称为分布列(表 2-1)： 表 2-1 X 1 x 2 x 3 x … P 1 p 2 p 3 p … 其中 0, = 1 i pi pi . 常见的离散型随机变量的分布有： （1）0-1 分布，记为 X ~ (0 −1) ，概率函数 { } (1 ) , 0,1, 0 1 1 = = − = − P X k p p k p k k ； （2）二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，概率函数 { = } = (1− ) , = 0,1, , , 0 1 − P X k C p p k n p k k n k n ； （3）泊松分布，记为 X ~ P() ，概率函数 , 0,1, , 0 ! { = } = = − k k e P X k k ； 泊松定理 设 0 是一常数， n 是任意正整数，设 npn = ，则对于任一固定 的非负整数 k ，有 ! lim (1 ) k e C p p k n k n k n k n n − − → − = . 当 n 很大且 p 很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即 ! (1 ) k e C p p k k k n k n − − − ，其中 = np . （4）超几何分布，记为 X ~ H(n, M , N) ，概率函数
PX=k= k=01…,min(n,M),其中n、N、M为正整数,且 M≤N,n≤N 当N很大,且p=几较小时,有CMCM=Cp(-p)y= (5)几何分布,记为X~G(p),概率函数 P{X=k}=p(1-p),k=0,1,…,0<p<1 4、连续型随机变量及其概率分布 如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任一实 数x,有F(x)=f(1)d,则称X为连续型随机变量函数f(x) 称为X的概率密度函数 概率密度函数具有以下性质 (1)f(x)≥0 (2)「f(ot=1 (3)P{x1<X≤x2}=f(t)t;(4)P{x=x1}=0 (5)如果∫(x)在x处连续,则F(x)=f(x) 常见的连续型随机变量的分布有: (1)均匀分布,记为X~U(a,b),概率密度为 0.x<a a≤x≤b, (x)=1b 相应的分布函数为F(x)= a≤x≤b 0,其它 b 1,x>b (2)指数分布,记为X~E(),概率密度为
17 { } , k 0,1, ,min( n,M ) C C C P X k n N n k N M k = = M = − − ，其中 n、N、M 为正整数，且 M N, n N . 当 N 很大，且 N n p = 较小时，有 k k n k n n N n k N M k M C p p C C C − − − (1− ) .] （5）几何分布，记为 X ~ G( p) ，概率函数 { } (1 ) , 0,1, , 0 1 1 = = − = − P X k p p k p k . 4、连续型随机变量及其概率分布 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x) ，存在非负函数 f (x) ，使对于任一实 数 x ，有 − = x F(x) f (t)dt ，则称 X 为连续型随机变量.函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数. 概率密度函数具有以下性质： （1） f (x) 0 ； （2） ( ) =1 + − f t dt ； （3） = 2 1 { } ( ) 1 2 x x P x X x f t dt ； （4） P{X = x1 } = 0 ； （5）如果 f (x) 在 x 处连续，则 F(x) = f (x) . 常见的连续型随机变量的分布有： （1）均匀分布，记为 X ~ U(a,b) ，概率密度为 = − 0,其它 , , 1 ( ) a x b f x b a .相应的分布函数为 − − = x b a x b b a x a x a F x 1, , 0, ( ) ； （2）指数分布，记为 X ~ E() ，概率密度为
()130其它相应的分布函数为/()=10x<0 (3)正态分布,记为X~N(a2),概率密度为 f(x) e20-0<X<+∞,相应的分布函数为 F(x)= 当=0,σ=1时,即X~N(O,1)时,称X服从标准正态分布这时分别用 q(x)和Φ(x)表示X的密度函数和分布函数,即 p(r)=_I (2 e2,Φ(x)= dt.具有性质:Φ(-x)=1-(x) 般正态分布X~N(,a2)的分布函数F(x)与标准正态分布的分布函数 Φ(x)有关系:F(x)=中( 5、随机变量函数的分布 (1)离散型随机变量函数的分布 设X为离散型随机变量,其分布列为(表2-2): 表2-2 X P pI p2 P3 Pn 则Y=g(X)任为离散型随机变量,其分布列为(表2-3):
18 = − 0,其它 , 0, ( ) e x f x .相应的分布函数为 − = − 0, 0 1 , 0 ( ) x e x F x x ； （3）正态分布，记为 ~ ( , ) 2 X N ，概率密度为 = − + − − f x e X x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) ，相应的分布函数为 − − − = x x F x e dt 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) ； 当 = 0, = 1 时，即 X ~ N(0,1) 时，称 X 服从标准正态分布.这时分别用 (x) 和 (x) 表示 X 的密度函数和分布函数，即 − − − = = x x t x e x e dt 2 2 2 2 2 1 , ( ) 2 1 ( ) .具有性质： (−x) = 1− (x) . 一般正态分布 ~ ( , ) 2 X N 的分布函数 F(x) 与标准正态分布的分布函数 (x) 有关系： ( ) ( ) − = x F x . 5、随机变量函数的分布 （1）离散型随机变量函数的分布 设 X 为离散型随机变量，其分布列为(表 2-2)： 表 2-2 X 1 x 2 x 3 x … n x … P 1 p 2 p 3 p … n p … 则 Y = g(X ) 任为离散型随机变量，其分布列为(表 2-3)：
表2-3 Y|y=g(x)y2=g(x2)y3=g(x)…yn=g(x,) P1 P2 P3 Pn y有相同值时,要合并为一项,对应的概率相加 (2)连续型随机变量函数的分布 设X为离散型随机变量,概率密度为fx(x),则Y=8(X)的概率密度有两 种方法可求 1)定理法:若y=g(x)在X的取值区间内有连续导数g(x),且g(x)单调 时,Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为 f(y)=AMy(米a<y<B 0,其它 其中a=min{g(-∞),g(+∞)},B=max{g(-∞),g(+∞)}(y)是g(x)的反函 2)分布函数法:先求Y=g(X)的分布函数 F(y)=P{Yy=P1g(x)sy=∑J1(x),然后求f()=Fy 疑难分析 1、随机变量与普通函数 随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上,对试验的每一个可能结果 O∈g,都有唯一的实数X(o)与之对应从定义可知:普通函数的取值是按一定
19 表 2-3 Y ( ) 1 1 y = g x ( ) 2 2 y = g x ( ) 3 3 y = g x … ( ) n n y = g x … P 1 p 2 p 3 p … n p … i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加. （2）连续型随机变量函数的分布 设 X 为离散型随机变量，概率密度为 f (x) X ，则 Y = g(X ) 的概率密度有两 种方法可求. 1）定理法：若 y = g(x) 在 X 的取值区间内有连续导数 g (x) ，且 g(x) 单调 时， Y = g(X ) 是连续型随机变量，其概率密度为 = 0,其它 [ ( )] ( ), ( ) f h y h y y f y X Y . 其中 = min{ g(−), g(+)}, = max{ g(−), g(+)}.h( y) 是 g(x) 的反函 数. 2）分布函数法：先求 Y = g(X ) 的分布函数 = = = k y Y x k F y P Y y P g X y f x dx ( ) ( ) { } { ( ) } ( ) ，然后求 f (y) = [F (y)] Y Y . 疑 难 分 析 1、随机变量与普通函数 随机变量是定义在随机试验的样本空间 上，对试验的每一个可能结果 ，都有唯一的实数 X () 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定