因为y=-2 2+x-2,=-3(x-1)2-2,所以这个函数的图象开口向下,对称轴 为直线x=1,顶点坐标为(1,-2) 5.你能画出函数y=-x2+x-)的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 、解决问题 由以第4个问题的解我们已经知道函数y=÷+=2的图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y x2+x一的图象,进而观察得到这个函数的性质。 说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求 出相应的函数值。相应的函数值是相等的 令。(2)直角坐标系中x轴,y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长 度单位不同。所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观 让学生观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质 当ⅹ<1时,函数值y随x的增大而增大;当x>1时,函数值y随x的增大而 减小 当x=1时,函数取得最大值,最大值y=-2 三、做一做 1.请你按照上面的方法,画出函数y=2x2-4x+10的图象,由图象你能发现 这个函数具有哪些性质吗? 教学要点 (1)在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导 (2)叫一位或两位同学板演,学生自纠,教师点评 2.通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点 (1)在学生做题时,教师巡视、指导;(2)让学生总结配方的方法:(3)让学生思考 函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶 点坐标有什么关系? 以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对 于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识 y=a2+x+=a(x+x)+c=ax+x+(-(y+e=4x2++(y +c 4aa(x+)+4ac-b2 当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。对称轴是ⅹ=-b/2a,顶点坐标 b 4ac-b 四、课堂练习:P12练习
- 15 - [因为 y＝－ 1 2 x 2＋x－ 5 2 ＝－ 1 2 (x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴 为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－2)] 5．你能画出函数 y＝－ 1 2 x 2＋x－ 5 2 的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第 4 个问题的解决，我们已经知道函数 y＝－ 1 2 x 2＋x－ 5 2 的图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数 y＝－ 1 2 x 2＋x－ 5 2 的图象，进而观察得到这个函数的性质。 说明：(1)列表时，应根据对称轴是 x＝1，以 1 为中心，对称地选取自变量的值，求 出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许 x 轴、y 轴选取的长 度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。 让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当 x＜1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x＞1 时，函数值 y 随 x 的增大而 减小； 当 x＝1 时，函数取得最大值，最大值 y＝－2 三、做一做 1．请你按照上面的方法，画出函数 y＝ 1 2 x 2－4x＋10 的图象，由图象你能发现 这个函数具有哪些性质吗? 教学要点 (1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。 2．通过配方变形，说出函数 y＝－2x2＋8x－8 的图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 教学要点 (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考 函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶 点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对 于任意一个二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ b a x)＋c ＝a[x2＋ b a x＋( b 2a) 2－( b 2a) 2 ]＋c ＝a[x2＋ b a x＋( b 2a) 2 ] ＋c－ b 2 4a ＝a(x＋ b 2a) 2＋ 4ac－b 2 4a 当 a＞0 时，开口向上，当 a＜0 时，开口向下。对称轴是 x＝－b/2a，顶点坐标 是(－ b 2a， 4ac－b 2 4a ) 四、课堂练习： P12 练习
五、小结:通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会? 作业必做|教科书Pl4:6 设计选做教科书P1:12 教学 反思 教学时间 课题 26.1 次函数(7) 课型新授课 知识1.能根据实际问题列出函数关系式 2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量ⅹ的取值范围 和 能力 教 过程 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提 高学生用数学的意识 和 目 方法 标 情感 态度 价值观 根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围 教学重点 教学难点 根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围 教学准备教师多媒体课件 学生“五个一” 课堂教学程序设计 设计意图
- 16 - 五、小结： 通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？ 作业 设计 必做 教科书 P14：6 选做 教科书 P15：12 教学 反思 教学时间 课题 26.1 二次函数（7） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1．能根据实际问题列出函数关系式、 2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量 x 的取值范围。 过 程 和 方 法 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提 高学生用数学的意识。 情 感 态 度 价值观 教学重点 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围 教学难点 根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
复习旧知 1.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)y=6x2+12x;(2y=-4x2+8x-10 Iy=6(x+1)2-6,抛物线的开口向上,对称轴为 顶点坐标是( 6);:y=-4(x-1)2-6,抛物线开口向下,对称轴为x=1,顶点坐标是(1,-6) 2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大 值、最小值分别是多少?(函数y=6x2+12x有最小值,最小值y=-6,函数y 4x2+8x-10有最大值,最大值y=-6) 二、范例 有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两 个实际问题; 例1、要用总长为20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,怎样围法 才能使围成的花圃的面积最大 解:设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20-2x)m,由于x>0,且20 2x>O,所以O<x<10 围成的花圃面积y与x的函数关系式是 y=x(20-2x) 即y=-2x2+20 配方得y=-2(x-5)2+50 所以当x=5时,函数取得最大值,最大值y=50。 因为x=5时,满足O<x<10,这时20-2x=10 所以应围成宽5m,长10m的矩形,才能使围成的花圃的面积最大。 例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100 件,该店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种 商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时 能使销售利润最大? 教学要点 1)学生阅读第2页问题2分析,(2)请同学们完成本题的解答;(3)教师巡 指导:(4)教师给出解答过程: 解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元 商品每天的利润y与x的函数关系式是:y=(10-x-8)100+100x) 即y=-10Ox2+100x+200配方得y=-100x-)2+225 因为x=2时,满足0≤x≤2,所以当x=是时, 函数取得最大值,最大值y=225。 所以将这种商品的售价降低÷元时,能使销售利润最大 例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。 应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?最大 透光面积是多少? 先思考解决以下问题 (1)若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少m?6-3-A (2)根据实际情况,x有没有限制?若有跟制,请指出它的取值范围,并说明理由
- 17 - 一、复习旧知 1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－10 [y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为 x＝－1，顶点坐标是(－1，－ 6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为 x＝1，顶点坐标是(1，－6)) 2. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大 值、最小值分别是多少? (函数 y＝6x2＋12x 有最小值，最小值 y＝－6，函数 y ＝－4x2＋8x－10 有最大值，最大值 y＝－6) 二、范例 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第 2 页提出的两 个实际问题； 例 1、要用总长为 20m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法 才能使围成的花圃的面积最大? 解：设矩形的宽 AB 为 xm，则矩形的长 BC 为(20－2x)m，由于 x＞0，且 20－ 2x＞O，所以 O＜x＜1O。 围成的花圃面积 y 与 x 的函数关系式是 y＝x(20－2x) 即 y＝－2x2＋20x 配方得 y＝－2(x－5)2＋50 所以当 x＝5 时，函数取得最大值，最大值 y＝50。 因为 x＝5 时，满足 O＜x＜1O，这时 20－2x＝10。 所以应围成宽 5m，长 10m 的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。 例 2．某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种 商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件。将这种商品的售价降低多少时， 能使销售利润最大? 教学要点 (1)学生阅读第 2 页问题 2 分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡 视、指导； (4)教师给出解答过程： 解：设每件商品降价 x 元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为 y 元。 商品每天的利润 y 与 x 的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 即 y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得 y＝－100(x－ 1 2 ) 2＋225 因为 x＝ 1 2 时，满足 0≤x≤2。 所以当 x＝ 1 2 时，函数取得最大值，最大值 y＝225。 所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。 例 3。用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。 应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大 透光面积是多少? 先思考解决以下问题： (1)若设做成的窗框的宽为 xm，则长为多少 m? ( 6－3x 2 m) (2)根据实际情况，x 有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由
让学生讨论、交流,达成共识:根据实际情况,应有x>0,且—>0,即解不等 x>0 0 解这个不等式组,得到不等式组的解集为O<x<2,所以x的取 值范围应该是0<x<2。 (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗? 32+3x) 小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:(1)先分析问题中的数量 关系,列出函数关系式;(2)研究自变量的取值范围;(3)研究所得的函数:(4) 检验ⅹ的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:(5)解决提出的实际问 三、课堂练习:P13练习 四、小结:1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2.谈谈你的收获和体会。 作业必做|教科书P1s:9 设计|选做教科书Pl5:10 教学 反思 教学时间 课题20用函数的观点看一元二次方程(1)课型新授课 知识 通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 教能力 学过程 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。 目和 标方法 步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想 情感 态度 -18
- 18 - 让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有 x＞0，且6－3x 2 ＞0，即解不等 式组 x＞0 6－2x 2 ＞0 ，解这个不等式组，得到不等式组的解集为 O＜x＜2，所以 x 的取 值范围应该是 0＜x＜2。 (3)你能说出面积 y 与 x 的函数关系式吗? (y＝x· 6－3x 2 ，即 y＝－ 3 2 x 2＋3x) 小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量 关系，列出函数关系式； (2)研究自变量的取值范围； (3)研究所得的函数； (4) 检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： (5)解决提出的实际问 题。 三、课堂练习：P13 练习。 四、小结： 1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2．谈谈你的收获和体会。 作业 设计 必做 教科书 P15：9 选做 教科书 P15：10 教学 反思 教学时间 课题 26.2用函数的观点看一元二次方程（1） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 过 程 和 方 法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 情 感 态 度 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想
价值观 教学重点优学生理解次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用次函数 教学难点进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想 教学准备教师多媒体课件 学生“五个一” 课堂教学程序设计 设计意图 、引言 在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥跨度 拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。 本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。 探索问题 问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子 上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为08m。水流在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。 图〔2) 根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平 距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x4 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水 池内? 教学要点 1.让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函 2+2x+最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标 2.学生解答,教师巡视指导 3.让一两位同学板演,教师讲评 问题2:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示, 24m,这时,离开水面如处,涵洞宽ED是多少是会二“·曾 超过lm? 点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上,又由已知 图(3)
- 19 - 价值观 教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数 及其图象、性质去解决实际问题 教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、 拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。 本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 二、探索问题 问题 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子， 上面的 A 处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为 0.8m。水流在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平 距离 x(m)之间的函数关系式是 y＝－x 2＋2x＋ 4 5 。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水 池内? 教学要点 1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函 数 y＝－x 2＋2x＋ 4 5 最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标； 2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。 问题 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示， 现测得，当水面宽 AB＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少?是否会 超过 1m? 教学要点 1．教师分析：根据已知条件，要求 ED 的宽，只要求 出 FD 的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出 D 点的横坐标。因为点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知