例921求 cos at·1(1)、Sint·1(t)和 sin(on+e)1()的拉氏变换。 F(S)=S oo eJot e -Jot sin(ot e dt=-( De dt 2j -(S-」O) e -(sto)t )dt=-( 2 j 2i S-jo S+j S+O e s+a
cos 1( ) t t sin 1( ) t t sin 1( ) ( t t + ) 例9- 2 -1 求 、 和 的拉氏变换。 j t -j t e e ( ) e d ( sin( )e d 2j ) st st o o F s t t t − − − − − = = -(s-j )t -( 2 t 2 1 1 1 1 s+j ) (e e )d ( ) 2 2 o t j j s s j s j − = − = − + = + − e−t 1 s +
同理 ot e te -Jot F(s)= cos(at )e sdt=( De dt 2 (S-ja)t e +e sto)t 2 2 s-Jo s+jo Y2 S +o L (sin(ot +0).1())=L([sin(ot )cos 0+cos at sino(D)) 0 cos0+sine S+0
2 2 sin( ) 1( ) [sin( )cos co co s si s sin L t L t t n ]1( ) s s t t = + = + + + 同理： j t -j t e +e ( ) e d ( co )e d 2 s( ) st st o o F s t t t − − − − = = -(s-j )t -(s+j )t 2 2 1 1 1 1 (e e )d ( ) 2 2 o t s j s j S S − = + = + − = + +
②微分定理 d 设L{(O)2=F()则|4{a1(0)}=()-10) 证 d {f()=元(edt (分步积分) f(eso -(s) f(e" dt=SF(S)-f(o) 高阶导数f()的拉氏变换式 f()|=F(s)-sf(0)=…-/()
( )e d ( ) ( )e d d ( ) ( )e d ( ) ( ) st t t o st o st o d L f t f t t dt t f t S f t t SF S f o − − − − = = − − − = = − − = − 证： (分步积分) ② 微分定理 L f t F s ( ) ( ) = d ( ) ( ) (0 ) d L f t SF s f t − = − 设 则 f t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 n d n n n f t s F s s f f dt − − − − = − − − L 高阶导数 的拉氏变换式：
例922已知D[1(=,求L()L6()。 解:由于d2=6(),由微分定理得: L[()]=s-1()|-0=1 间理:L[()]=s1-6()|=0=S
( ) 1 L t 1 s = L t L t ( ) , ( ) 例 9-2-2 已知 ，求 。 ( ) ( ) d t 1 t dt = ( ) ( ) 0 1 1 1 L t s t t s = − = − = 解：由于 ，由微分定理得： ( ) ( ) 0 1 L t s t S t = − = − = 同理：
③积分定理设{(}=F(s)则 F(S) 例923求斜坡函数:1()的拉氏变换[1() 解:由于「1()ed=-e St oO 得L{t1()} SSS t·1(t)
1 ( )d ( ) t o L f t t F s s − = ③ 积分定理 设 L f t F s ( ) ( ) = 则 2 1 1 1 L t t 1( ) s s s = = 由于 得 L t t 1( ) 例 t t 1( ) 9-2-3 求斜坡函数 解： 的拉氏变换 . 1 1 1( ) st st o o t e dt e s S − − − − = − = t t 1( ) 2 1 s