α--fi+fαz--fi+f2axf2+fay-f+(9)设F(x,y,2)=z-f(xz,z-J)=0，则O-_FαzF动faxFay-"F-1-x-f21-xf-f20z (α2Ozf+%和ax?axaxadrax-xf.-ffOzOz0z1a+%+axaxar(1-xf,-f2)21，三f02) +2(+)+()]2+arlax)1-x- J2ax(10）由f(x,x+y,x+y+z)=0即可得到az-fi+f+foz-_f+fsaxJ3yJ3()[++(+)++(+)周T+[+(+)][(i+2f2+J2)-2(+)is+ f2s)+(f+J) g],+([+()[+()周[(+a) -,+(+ )-+2),] 2.设y=tan(x+y)确定y为x的隐函数，验证d'y -_2(3yt +8y2 +5)dx3ys证由y'= sec'(x+ y)(1+ y') = (1+ y°)(1+ y)解出6
2 3 1 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 2 3 1 2 f f f f y z + + = − ∂ ∂ 。 （9）设 F x( , y,z) = z f − ( , xz z − y) = 0，则 x z z F x F ∂ = − ∂ 1 1 2 1 zf xf f = − − ， y z z F y F ∂ = − ∂ 2 1 2 1 f xf f = − − − ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 1 11 1 2 1 1 z z 12 z f z z x f z f xf f x x x ⎡∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ⎤ ⎢ ⎥ − − ⎣∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎦ 1 2 1 11 12 21 1 2 (1 ) zf z z z z 22 f x z x f x f z x f f xf f x x x x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + + ⎜ ⎟ + + + ⎜ ⎟ + + ⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎤ ＝ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − − 22 2 11 12 2 1 1 2 2 2 1 1 f x z f x z z x x z f x z f z x x z xf f 。 (10) 由 f (x, x + y, x + y + z) = 0即可得到 3 1 2 3 f f f f x z + + = − ∂ ∂ ， 3 2 3 f f f y z + = − ∂ ∂ ， 2 2 z z x x x ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 11 12 13 21 22 23 3 1 1 1 z z f f f f f f x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ = − + + ⎜ ⎟ + + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ f x ⎤ 1 2 31 32 33 3 1 f f z f f f f x + ⎡ ∂ ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ ⎤ 2 2 3 3 11 12 22 3 1 2 13 23 1 2 33 3 1 f ( f 2 f f ) 2 f ( ) f f ( f f ) ( fff ) f = − ⎡ ⎤ + + − + + + + ⎣ ⎦ ， 2 z z x y x y ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ 21 22 23 3 1 1 z f f f f x ⎡ ∂ ⎛ ⎞ ⎤ = − + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∂ 2 2 31 32 33 3 1 f z f f f f x ⎡ ⎛ ⎞ ∂ ⎤ + + + ⎜ ⎟ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ∂ ⎦ 2 3 3 12 22 2 3 13 2 1 2 33 3 1 2 23 3 1 f ( ) f f f f f f ( f f ) f f ( f 2 f ) f f = − ⎡ ⎤ + − + + − + ⎣ ⎦。 2. 设 y = tan(x + y)确定 y 为 x的隐函数，验证 8 4 2 3 3 2(3 8 5) d d y y y x y + + = − 。 证 由 2 2 y x ' = + sec ( y)(1+ y ') = (1+ y )(1+ y ') 解出 6
27再求二阶和三阶导数，有222"y'Jy31(6,10)2(3y4 +8y2 +5)y"y8y4y63.设是可微函数，证明由(cx-az,cy-bz)=0所确定的隐函数z=f(xJ)满足方程%+b%aCaxdy证由(cx-az,cy-bz)=0可得到azOzcococdco.axad, +bp,ay-ag -be,-ad -bg,ag +ba,所以=+6元=C。axay4.设方程d(x+zy-,y+zx-")=0确定隐函数z=f(x,y)，证明它满足方程%+y%-xyoaxay证由于g +zdd+dazRy2Ozyzo, -x'yox-xyaxdyLg+二0x(x + yg)10+二0J(xgt + yp)yxLx所以Oz,1Ozxy。-1aray5.求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：兴和鼎2-x2 - y2 =0,dzdy求(1)3dxdxdy?dx?[x? +2y? +32 = 4a2,和xu+yv=0,ou求u(2)axayax?axay[yu+xy=1,[u= f(ux,v+ y),求和(3)arax[v= g(u-x,vy),[x=u+v,求品和%(4)y=u-y,Oax[z=u2,7
2 1 y ' 1 y = − − ， 再求二阶和三阶导数，有 3 3 2 2 y y '' ' y y = = − − 5 2 y ， 4 6 6 10 y y ''' ' y y ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 4 2 8 2(3y y 8 5) y + + − 。 3. 设φ 是可微函数，证明由φ(cx − az, cy − bz) = 0所确定的隐函数 z = f (x, y) 满足方程 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由φ(cx − az, cy − bz) = 0可得到 1 1 1 2 1 z c c 2 x a b a b φ φ φ φ φ ∂ = − = ∂ − − + φ ， 2 2 1 2 1 z c c y a b a b 2 φ φ φ φ φ φ ∂ = − = ∂ − − + ， 所以 c y z b x z a = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 4. 设方程φ(x + zy −1 , y + zx −1 ) = 0确定隐函数 z = f (x, y) ，证明它满足方程 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 证 由于 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ) z z x yz x y x x x y y x φ φ φ φ φ φ φ φ ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ − = − = ∂ + + ， 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) z z y xz xy y y y x φ φ x y φ φ φ φ φ φ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠ − = − = ∂ + + ， 所以 z xy y z y x z x = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 5. 求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数： （1） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + + = − − = 2 3 4 , 0, 2 2 2 2 2 2 x y z a z x y x y d d ， x z d d ， 2 2 d d x y 和 2 2 d d x z ； （2） 求 ⎩ ⎨ ⎧ + = + = 1, 0, yu xv xu yv x u ∂ ∂ ， y u ∂ ∂ ， 2 2 x u ∂ ∂ 和 x y u ∂ ∂ ∂ 2 ； （3） 求 ⎩ ⎨ ⎧ = − = + ( , ), ( , ), 2 v g u x v y u f ux v y x u ∂ ∂ 和 x v ∂ ∂ ； （4） 求 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + , , , 2 2 z u v y u v x u v x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ ； 7