卡氏积图示 D A B C B A×(B∪O)=(A×B(A×O)ACC∧BcD→ AXBCCXD 《集合论与图论》第5讲 16
《集合论与图论》第5讲 16 卡氏积图示 A B C A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) A⊆C∧B⊆D⇒A×B⊆C×D B A C D
例题1(证明(2) (2)若A,则A×BcA×C台BC 证明:(→)若B=,则BC 设B≠,由A≠,设X∈A wy,y∈B→<,y>∈AxB →<Xy>∈AxC → XEAyEC=y∈C BCC 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 17 例题1(证明(2)) (2) 若A≠∅, 则A×B⊆A×C ⇔ B⊆C. 证明: (⇒) 若 B=∅, 则 B⊆C. 设 B≠∅, 由A≠∅, 设x∈A. ∀y, y∈B⇒<x,y>∈A×B ⇒<x,y>∈A×C ⇔ x∈A∧y∈C ⇒y∈C. ∴B⊆C
例题1(证明(2,续) (2)若A=0,则A×BcA×CBcC 证明()(÷)若B=则AB=AxC 设B≠ V<xy>,<Xy>∈A×B台XA/y∈B →X∈AyeC分<Xy>∈AxC AxBCAXC, 讨论:在()中不需要条件A≠② 《集合论与图论》第5讲 8
《集合论与图论》第5讲 18 例题1(证明(2),续) (2) 若A≠∅, 则A×B⊆A×C⇔B⊆C. 证明(续): (⇐)若B=∅,则A×B=∅⊆A×C. 设 B≠∅. ∀<x,y>, <x,y>∈A×B ⇔ x∈A∧y∈B ⇒ x∈A∧y∈C ⇔ <x,y>∈A×C ∴ A×B⊆A×C. # 讨论: 在(⇐)中不需要条件 A≠∅
n维卡氏积 癱n维卡氏积 A1×A2x…An={<X1X2 X1∈A∧X2∈A2.∧X∈An} An=AXAX,×A A=n,;=1,2,…,n A1×A2×.×A|=n1×n2 癱n维卡氏积性质与2维卡氏积类似 《集合论与图论》第5讲 19
《集合论与图论》第5讲 19 n维卡氏积 n维卡氏积: A1×A2×…×An = { <x1,x2,…,xn> | x1∈A1∧x2∈A2∧…∧xn∈An } An = A×A×…×A |Ai|=ni ,i =1,2,…,n ⇒ |A1×A2×…×An| = n1×n2×…×nn. n维卡氏积性质与2维卡氏积类似.
n维卡氏积性质) 非交换: Ax BXC摆 BXCXA (要求AB,C均非空,且互不相等) 非结合:(非2元运算) 癱分配律:例如 A×Bx(C∪D)=(A×B×C) AXBXD) 其他:如 AXBXC=0<A=B=C=0 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 20 n维卡氏积(性质) 非交换: A×B×C≠B×C×A (要求A,B,C均非空,且互不相等) 非结合: (非2元运算) 分配律: 例如 A×B×(C∪D)=(A×B×C)∪(A×B×D) 其他: 如 A×B×C=∅⇔A=∅∨B=∅∨C=∅.