有序对(定理1) 秦定理1:<a,b>=<cd>台a=Cb=d 证明:(<=)显然 )由引理2, <a, b>=<c, d>eaa,b,c, dyy BUaa, b=Uicc, d)a,b][c, d 又{aab}={cc.d →0{{ab}=∩{c{cQ→{a}={c分a=C. 再由引理1,得b=d.# 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 6 有序对(定理1) 定理1: <a,b>=<c,d> ⇔ a=c∧b=d 证明: (⇐) 显然. (⇒) 由引理2, <a,b>=<c,d> ⇔ {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} ⇒∪{{a},{a,b}}=∪{{c},{c,d}}⇒{a,b}={c,d}. 又 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} ⇒∩{{a},{a,b}}=∩{{c},{c,d}} ⇒ {a}={c} ⇔ a=c. 再由引理1, 得b=d. #
有序对(推论) 推论:a≠b→<a,b>≠<ba> 证明:(反证)<a,b>=<b,a>a=b, 与a≠b矛盾.# 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 7 有序对(推论) 推论: a≠b ⇒ <a,b>≠<b,a> 证明: (反证) <a,b>=<b,a>⇔a=b, 与a≠b矛盾. #
有序三元组( ordered triple 有序三元组 <abc>=<<a.b>,C> 有序n(2)元组 <a12…an>=<<a12,…>,a 鲁定理2:<a1a2,,an>=<b,b2…,b> a,=b,i=1,2,,n.# 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 8 有序三元组(ordered triple) 有序三元组: <a,b,c>=<<a,b>,c> 有序n(≥2)元组: <a1,a2,…,an>=<<a1,a2,…,an-1>,an> 定理2: <a1,a2,…,an>= <b1,b2,…,bn> ⇔ ai = bi, i =1,2,…,n. #
卡氏积( Cartesian product 婚卡氏积 A×B={<Xy>XEAy∈B} 例:A={a},B={1,2,3 A×B={<0,1>,<,2>,<0,3>,a,1>,<a2>,<a,3 B×A={<1,0>,<1a>,<2,0>,<2,a>,<30>,<3,a> A×A={<,∞>,<,a>,<a,>,<a,a) BXB={<1,1>,<12>,<1,3>,<2,1>,<22><2,3> <31>,<32>,<33>}.# 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 9 卡氏积(Cartesian product) 卡氏积: A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}. 例: A={∅,a}, B={1,2,3}. A×B={<∅,1>,<∅,2>,<∅,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>}. B×A={<1,∅>,<1,a>,<2,∅>,<2,a>,<3,∅>,<3,a>}. A×A={ <∅,∅>, <∅,a>, <a,∅>, <a,a>}. B×B={ <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,1>,<3,2>,<3,3> }. #
卡氏积的性质 非交换:AXB≠BxA (除非A=BvA=④B=) 静非结合:(AXB)×C≠Ax(BxC) (除非A=②vB=⑧vC=∞) 分配律:Ax(BC)=(A×B(A×C)等 其他:AXB=⑦分A=VB=等 《集合论与图论》第5讲
《集合论与图论》第5讲 10 卡氏积的性质 非交换: A×B ≠ B×A (除非 A=B ∨ A=∅ ∨ B=∅) 非结合: (A×B)×C ≠ A×(B×C) (除非 A=∅ ∨ B=∅ ∨ C=∅) 分配律: A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)等 其他: A×B=∅ ⇔ A=∅∨B=∅等