Cotes系数 Chapter 3 Numerical Integreation n and Differentiation k!(n-k I(t-j)dt n水 注: Cotes系数不仅与函数f(x)无关,而且与积分区间[a,b]无关 例:n=时,C=(n.a 0!I!0 (-n=C1 - (t-0d 1!0:0 例:n=3时, 0=0:3:39(-0C-3=3= 1c2=2,,(-0- I!2! =23(-0(-3=8 3(3)(-) (t-0)(t-D)(t-2d 3!0·3 n=0,1.2,,8时, Cotes系数见书本上第60页 HUST
Cotes系数 − = ≠ − = Π− ⋅ − ∫ n k n n k 0 n 0 n k ( 1) C (t j)dt n k!(n k)! 注: Cotes系数不仅与函数f(x)无关 而且与积分区间[a,b]无关 例:n=1时 ( ) ( ) ( ) ! !1 1 10 0 1 1 C t 1 dt 01 2 − = −= ∫ ( ) ( ) ( ) ! !0 1 11 0 1 1 C t 0 dt 10 2 − = −= ∫ 例:n=3时 () () () () ( )( )( ) ( )( )( ) ! ! ! 2! () () () () ( )( )( ) ( )( )( ) ! 1! ! 0! 3 3 3 3 1 11 3 3 3 C t 1 t 2 t 3 dt C t 0 t 2 t 3 dt 0 1 0 0 0 33 8 1 3 8 3 3 3 3 1 31 1 3 3 C t 0 t 1 t 3 dt C t 0 t 1 t 2 dt 2 3 0 0 23 8 33 8 − − = −−− = = −−− = ∫ ∫ ⋅ ⋅ − − = −−− = = −−− = ∫ ∫ ⋅ ⋅ n=0,1.2,Ö8时,Cotes系数见书本上第60页
Cotes系数的性质 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 性质1. Cotes系数的和等于1,即∑c("=1 证明:设f(×)=1.则f(X)=Pn(X)=1 p,()ar= f(r)dx=ldx=b-a k=0 ∑c k=0 性质2.Cote系数具有对称性,即Ck(n)=Cnk(mn)k=0,1,n 性质3.对n≤7时,CK(n)都是正数,n>8时不成立, HUST
证明: 设f(x)=1. 性质2. Cotes系数具有对称性 即Ck(n)=Cn-k(n),k=0,1,Ö,n. 性质3. 对n 7时, Ck(n)都是正数, n 8时不成立. Cotes系数的性质 性质1. Cotes系数的和等于1 即 ( ) 0 1 n n k k C = ∑ = () () 1 b a a n b b a ∴ = = =− p x x f dx dx dx b a ∫ ∫∫ ( ) = 而∫b n a p x dx ( ) 0 1 n n k k C = ∴ = ∑ 则f(x)=Pn(x)=1. ( ) 0 ( ) 0 ( ) ()( ) = = − =− ∑ ∑ n n k k k n n k k ba C f x ba C
低阶 Newton-Cotes公式 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation n=1 I=(b-a) f(a)+]f(b)]=(b-a)[f(a)+f(b)] 此即梯形公式即T=I1=(b-af(a)+f(b) n=2时, 2,a+b a tb 2=(b-af(a)+ +f(6)]=2(b-a)f(a)+4f( 2 +f(b)] 此即Smpn公式S=12=21(b-a)(a)+4(2+b)+f(b 2 n=4时,4阶 Newton-Cotes公式称为 Cotes公式 (b-a)7f(×0)+32f(×)+12f(×2)+32f(x3)+7f(×4)] 90 注:梯形公式由线性插值推导而得 Simpson公式由抛物插值推导而得 Cotes公式由4次插值推导而得
低阶NewtonñCotes公式 =− + = − + 1 11 1 (b a)[ f(a) f(b)] (b a)[f(a) f(b)] 2 2 I 2 == − + 1 1 T I (b a)[f(a) f(b)] 2 + + =− + + = − + + 2 1 2ab 1 1 ab (b a)[ f(a) f( ) f(b)] (b a)[f(a) 4f( ) f(b)] 6 32 6 6 2 I n=1时, 此即梯形公式,即 n=2时, + == − + + 2 1 ab S I (b a)[f(a) 4f( ) f(b)] 6 2 此即Simpson公式 n=4时, 4阶NewtonñCotes公式称为Cotes公式. == − + + + + 4 012 3 4 1 (b a)[7f(x ) 32f(x ) 12f(x ) 32f(x ) 7f(x )] 90 C I 注: 梯形公式由线性插值推导而得. Simpson公式由抛物插值推导而得. Cotes公式由4次插值推导而得
低阶 Newton-Cotes公式的截断误差或余项 Chapter3 Numerical Integreation (x) dx=Pn(x)dx and Differentiation R=1-Ln=[f(x)-P(X)x为 Newton -Cotes公式的余项 又(x)-P(x)=5( (n+1)! (x-x)×-X)…(X-X)∈[ab R=I-I f(( x(x-x)(x-x1)…(x-x) a 其中X=X+kh(k=01,…n)X=a 对以上积分进行变量代换X=Xo+th,并使用积分定理,有 定理:若函数f(x)在[a,b上有连续的n+2阶导数则 Newton-Cotes 公式余项为 n+2f(n+1) S)rn R=(n+1)t(t-1)…(t-ntn是奇 其中h=ba 5∈[a,b h"+3.fm2(3) (n+2)! (-2)(t-1)(-n)tn是偶 HUST
≈ ∵ ∫ ∫ b b n a a f(x)dx P (x)dx + ξ − = − −⋅⋅⋅ − ξ ∈ + (n 1) x n 01 x n f(x f () ) P (x) (x x )(x x ) (x x ) [a,b] (n 1)! 又 + ∴ = ξ = − − ⋅⋅⋅ + − − ∫ (n 1) b x 01 n a k0 0 n f ()(x x )(x x ) (x x )dx (n 1)! x =x +kh (k=0,1,...,n) = I I x a R 其中 为Newton-Cotes公式的余项 对以上积分 进 行 变量代 换x=x 0+th 并使用积分定理 有 定理:若函数f(x) 在[a,b]上有连续的n+2阶导数 , 则Newton-Cotes 公式余项为 + + + + ⋅ − ⋅⋅⋅ − + = ξ∈ ⋅ − − ⋅⋅ − ξ ⋅ + ξ ∫ ∫ (n 1) ( n 2 n 0 n 3 n 2 0 n ) h t(t 1) (t n)dt n (n 1)! b-a h = [a,b] h n n (t )t(t 1) (t n)dt n ( R f () f () n 2)! 2 是 奇 其中 是 偶 低阶NewtonñCotes公式的截断误差或余项 ∴ = = − − ∫ b a n n R II [f(x) P (x)]dx