313插值型的求积公式 Chapter 3 Numerical Integreation Differentiation roblem已知给定的一组节点a≤x<X1<x2<.xnb 及函数值fx,(X,)(x2)…,fxn 构造:求积公式=A(×) k-0 思想;构造f(X)在η+1个插值节点上的 Lagrange插值多项式 X-X Px)=∑f(x)(x)其中(x)=Ⅱ 为 Lagrange插值基函数 k b f(×)=P2(x)→Cf(x)dx (x)dx P(X)kx=rf(x)(x)x=∑x)门1x)dx (x)x=((x ()式为所求的求积公式(称为插值型求积公式) 求积系数 S HUST A=4(×)x a
3.1.3 插值型的求积公式 Problem 已知给定的一组节点a x0<x1<x2 <…<xn b 及函数值 f(x0),f(x1),f(x2),…,f(xn) 构造:求积公式 n b k k a k 0 f(x)dx A f(x ) = ∫ ≈∑ 思想:构造f(x)在n+1个插值节点上的Lagrange插值多项式 = = ≠ − = = − ∑ Π n n j n kk k k 0 j 0 k j j k x x P (x) f(x )l (x) l (x) x x 其中 为Lagrange插值基函数 n f(x) P (x) ≈ n b b n kk a a k 0 P (x)dx [ f(x )l (x)]dx = ∵ ∫ ∫ = ∑ (*)式为所求的求积公式.(称为插值型求积公式) = ∫b k k a A l (x)dx ( ) = ∴≈ ∗ ∫ ∑ ∫ n b k a k 0 b k a f(x)dx f(x ) l (x)dx () b b n a a ⇒ ≈ f(x)dx P (x)dx ∫ ∫ n b k k a k 0 f(x ) l (x)dx = = ∑ ∫ 求积系数
Chapter 3 Numerical Integreation :插值型求积公式(*)的代数精度是多少? and Differentiation ∵任意次数≤n的多项式f(x)其n次 Lagrange插值多项式 P,(x)=f(x b f(xd×=P(x)d 插值型求积公式对f(X)精确成立,其至少具有∩次代数精度 2.反之假设『xx=∑A)至少具有n次代数精度 k=0 求积公式对任意次数≤n的多项式精确成立 又在X0,X,x2…,x1上的 Lagrange插值基函数(x)为n次多项式 1k: n、(x)dx= ∑A(x)而1x=00k≠ ∫c (×)dx=Ak 该求积公式就是(*),为插值型的 HUST
考虑: 插值型求积公式(*)的代数精度是多少? 1. 任意次数 n的多项式f(x),其n次Lagrange插值多项式 Pn(x)= f(x) b b n a a ∴ = f(x)dx P (x)dx ∫ ∫ 插值型求积公式对f(x)精确成立 其至少具有n次代数精度. 2. 反之,假设 至少具有 假设 至少具有n次代数精度. n b 0 k a k 0 f(x)dx A f(x ) = ∫ ≈∑ 求积公式对任意次数 n的多项式精确成立 又在x0, x1, x2,…, xn.上的Lagrange插值基函数lk(x)为n次多项式. n b k jk j a j 0 l (x)dx A l (x ) = ∴ = ∫ ∑ 而 k j kj 1 k=j l (x ) 0 k j = δ ≠ b k k a ∴ = l (x)dx A ∫ 该求积公式就是(*),为插值型的
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 综合1,2有: Th32求积公式(x=∑Ax) k0 至少具有η次代数精度的充要条件是:它是插值型的 小结:已知f(x)的函数表XXX1 X互异x∈[ab yf(×)f(x1)…f(x 构造其求积公式r有两种方法 解线性方程组,求A 2.利用插值型公式 rKx)dx HUST
Th3.2 求积公式 n b 0 k a k 0 f(x)dx A f(x ) = ∫ ≈∑ 小结:已知f(x)的函数表 xi互异,xi [a,b] x x0 x1 Ö xn y f(x0) f(x1) Ö f(xn) b k k a A l (x)dx = ∫ 综合1,2 有: 构造其求积公式 , 有两种方法: 1. 解线性方程组, 求Ak 2. 利用插值型公式 利用插值型公式 至少具有n次代数精度的充要条件是 它是插值型的
3.2 Newton-Cotes求积公式 Chapter 3 面介绍一种特殊的插值型求积公式:等距节点的求积公式:n 对于[a,b]中的n+1个互异节点x,x1,x2…,Xn 可构造插值型求积公式:f(x)d=∑A(x)n次代数精度 k=0 A=4(×x x=门(xx)2:(-x×x=2:(x一x h(x-x1)…(x-X1)(×-x2)(x-x) 现在取X,X1,x2,…,Xn为ab]的n等分点 即X=a+贴《k=01…n)h==X-X:,则 X=a+th hdt a X,-Ⅹ 0 (二1)(二k+2(==1 )…(t-n) hd t (k-n) HUST
3.2 Newton-Cotes求积公式 下面介绍一种特殊的插值型求积公式:等距节点的求积公式. 对于[a,b]中的n+1个互异节点x0, x1, x2,…, xn. 可构造插值型求积公式: n b k k a k 0 f(x)dx A f(x ) = ∫ ≈∑ n次代数精度. 现在取x0, x1, x2,…, xn.为[a,b]的n等分点. 即 − 则 − = + = = = − k k k1 b a x a kh (k 0,1,...,n.) h x x n n b j k a j 0 k j j k (x x ) A dx = (x x ) ≠ − = Π − ∫ b b 0 k1 k2 n k k a a k 1 k k1 k k2 k n (x x ) (x x )(x x ) (x x ) A l (x)dx dx (x x ) (x x )(x x ) (x x ) − − − − − ⋅⋅⋅ − − ⋅⋅⋅ − = = − ⋅⋅⋅ − − ⋅⋅⋅ − ∫ ∫ n n j 0 j k 0 x a th t j hdt k j ( ) = ( ) ≠ = + = − − === ∫ Π n 0 t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n) hdt k (k 1) (k k 1)(k k 1) (k n) − ⋅⋅⋅ − + − − ⋅⋅⋅ − = − ⋅⋅⋅ − + − − ⋅⋅⋅ − ∫
32 Newton-Cotes求积公式 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation (-1)h ↑Kk(n-kyt(t-1)…(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)dt n-k nn =(b-a) k!(n-k)!J0n-0 (t-j)dt=(b-a)CK 其中C (1)-rn nk! (n-k)! Jo t-j)dt称为 Cotes系数 n=0 水k 『(xk=∑(-aCfx)=(b-a2∑c(x) k=0 称In=(b-a)∑Ckf(Xk)为n阶 Newton-Cotes公式 k=0 注: Newton- cotes公式为等距节点、插值型求积公式。 HUST
3.2 Newton-Cotes求积公式 − − = − ⋅⋅⋅ − + − − ⋅⋅⋅ − − ∫ n k n k 0 ( 1) A t(t 1) (t k 1)(t k 1) (t n)dt k !(n k)! h n k n n 0 n 0 n k ( 1) (b a) (t j)dt n k !(n k)! − =≠ − = − Π− ⋅ − ∫ − = ≠ − = Π− ⋅ − ∫ n k n n k 0 n 0 n k ( 1) C (t j)dt n k!(n k)! 其中 称为Cotes系数 = = ≈ =− ∑ ∑ − ∫ n n b k kk a k0 k0 k f(x)dx f(x ) (b a) C f(x ) (b a)C 称 为n阶NewtonñCotes公式 = = − ∑ n k k k 0 n I (b a) C f(x ) 注: NewtonñCotes公式为等距节点 插值型求积公式 k " (b − a)C