其中A=2(一3+2√3)c为任意常数；如果式(2.2-25)不成立，原方程无解， 类似地可得到，当A=入2=一6一43时，在满足条件 1-et=0 (2.2-26) 时，可求出 -3pfod 于是 )=B(1-3z)+f(z)-3f(t)dt 其中B=2(一3一23)c2为任意常数；如果式(2.2-26)不成立，原方程无解。 §2.3 Fredholm方法 逐次逼近法提供了在参数A取较小值时，求第二类Fredholm积分方程 )-k(z)(t)di=f(a) (2.3-1) 解的可能性。为了对参数A取任意值时的-般情况求出方程(2.3-l)的解，Fredholm使用 Volterra☐采用过的想法，用积分和式近似代替积分，把积分方程作为线性代数方程组的极限 情况来加以研究。在1903年他首先利用所谓Fredholm行列式，给出第二类Fredholm方程的 解，并证明了Fredholm方程的基本定理。 下面先介绍Fredholm行列式、Fredholm一级子式的概念，给出方程(2.3-1)解的表达 式；讨论积分方程的特征值与特征函数，为S2.4 Fredholm定理的讨论做准备。 l.Fredholm行列式Fredholm一级子式 设积分方程(2.3-1)的核(x,t),自由项f(x),未知函数(x)在定义域内连续。 把区间Ca,b)分为n等份，每份的长为h=62。设第j个分点为，g=0,1,2,,m。把 方程(2.3-1)中的积分用积分和式代替，则方程(2.3·1)化为近似方程 p(x)-从(x,4)pt,)=f(.x)T∈〔a,b (2.3-2) 为了确定未知函数x)在点x(a≤x)≤b)的近似值，在式(2.3-2)中设x一x1,x2,…, x,得到线性代数方程组 男-从∑，9=f (住=1,2，…，n) (2.3-3) 1=0 式中f(x,)=f,p(x)=职，(xt,) 方程组(2.3-3)的可解性依赖于行列式 1-Ahk1,一hk12 一Ahk1n D(A)= 一hk1-Ahk2·1-hkm 一30-
的值。把D,(A)按入的幕展开 -1-空贴+告牙2- 设D.(A)中第j列元素一近a的代数余子式为D.(x,x,),把它也按入的幕展开，得到 D,(x,E,)=k,一R + 若D.2)≠0，则由Crmer法则.线性方程组2.33的解为只=D月D,云2：f, 1 可以预料，当→∞，h→0时，极限形式就给出非齐次积分方程(2.3-1)的解。 由D.(A),D.(,x,)的定义及它们的A的乘幕之展开式，可分别求出它们的极限D(), D(x,t;A)的表达式 D(A)=1+ nc (2.3-4) 式中 k(t1,),…,k(t,tm) c.- :dt1dt2…dtm (2.3-5) k(En,t1),…,k(tw,tm） D(x,t:A)=k(x,t)+】 n28. m! =元1PB.(,xr (2.3-6) 式中Bo(x,t)=k(x,t) k(x,t)(rt)..(x,tm) k(t,t)(t,t1)… k(t,tm) Bn(z,t)= dt1dt2…dtn (2.3-7) 是(tmt)k(tm,t1)…k(tmlm) 以下证明D(A)与D(x,t:A是在复数A的全平面上的解析（全纯）函数。 记 k(x1i1)(x1,t2)…k(x1,tm) 克(x2,t1）k(x2,t2）…克(z2,tm) K t1 t2… 克(xm,t1)克(xm,t2）…是(xm,tm) 若I(r,t)|≤A,则每行元素的平方和小于mA2,由Hadmard定理（一个m阶行列式的值小于 它的各行的元素平方和乘积的平方根1)得到 1xg…m K ≤m艺A州 (2.3-8) 而 Da=1-音K+若K,-…+ -31-
利用式(2.3-8)得到上述级数每一项的·个估计，由此估计，得出此级数在复变数入的全平面 上是内闭绝对一致收敛，因而D()是一个解析函数。D(a)称为redholm行列式，或(x,t) 的行列式。 类似地，可以证明，D(x,:λ)的幂级数表示式，在复变数入全平面上内闭绝对一致收敛， 因而也是-个解析函数。D(x,t:入)称为Fredholm一级子式。当核k(x,t)在有界域上为平方可 积函数时，Carleman证明了D(λ)与D(r,t;A)仍为入的解析函数（证明见文献[6]）。 2.第二类Fredholm方程解的表达式 下面先建立联系D(x,t;A)与D(A)的Fredholm基本关系式，然后导出第二类Fredholm 方程解的表达式。 把式(2.3-5)中积分号下的行列式 (x,t)k(x1)…k(x,tn） ttm} k(t1,t)(t1,t1）…k(1,tm) K t t1… t (tm,t)克(tm,t)…k(Lm,tm) 按第一行展开 tm! 予是 n-uw dt1dtg…dfm+ dt dis…dtw 考虑到式(2.3-5)以及上式右端第二项积分号下行列式的第n行依次换到第n一1行，第n一 2行、…、第-行时，行列式的值变为原来的（一1）-1倍，而有 B.(,t)=Ck(z,t)+ )x =Cx,)- ☒c8.G -32-
=C(.c,t)-m(,u)Bm-(u,t)du (2.3-9) (这是因为对于每一个n,k(x,)B,i)d。=(r)B-1u,2d) mB.(t) 因此，D(x,0=(,)+∑二1》 -0+会nce) 豆aAwB-e油 =(x,)+〔D(0-1门(r,)(r,a)× 〔宫品&.awx-am =D(ak(x,0-AA(x,u）X 〔Ps.r) D(Aa,D-AAc,wDDa,:du (2.3-10) 类似地，可得到 D(t;A)D()k()-Ak(u)D(Adu (2.3-11) 式(2.3-10)、(2.3-11)称为redholm基本关系式。这样，可以得到如下定理。 定理2.3.1设f(x)是〔a,b)上已知的连续函数，若核夷(x,t)在a≤x,t≤b连续，且参 数A不是Fredholm行列式D(A)的零点，则积分方程(2.3-l)有惟一的连续解 )=fr)D)dt J。D(A) (2.3-12) 证明把方程(2.3-1)中的x,￥分别用t,代替，并移项，可得 fe)=)）A,9d (2.3-13) 若参数A的值使D2)≠0，用AD号少乘式2.3-15的两瑞，再关于：从。到b积分，就 有 DD- 24guPa =nip,0ed-n心ap:wec4ajgad, =Dp,10ge0t- D()x D(-D((tdt ·33-
=入k(r)g)d,-Akr,t1)ged1=以x)-fx） 因此，若方程(2.3-1)有解，则可以表示为 r）=fx)+"DGf)dr J。D(a) 把上式代入方程(2.3-1)两端，可验证它确为方程(2.3-1)的解。出定理2.1.2知，解核是惟 一的，把满足A刈<A6二时用逐次通近法求出的解与式(2.】10)对照，可得到下列Fred- holm公式 R(,t;)=D(ztid) D(A) (2.3-14) R:)原米仅对清足1a川<万-。的入存在，但2答在整个复入平面上是个亚 纯函数（因为分子、分母均为解析函数），由广义Liouyille定理，解核R(x,t;A)可以解析延拓 到复数A的全平面（除了D(a)=0的根），因此Fredholm方程(2.3-1)对所有不是行列式 D()的零点的入，存在惟的解(2.3~12)。 由式(2.3-5)及(2.37)，显然成立 Cin1=B(t,t)d (2.3-15) 这样，可以利用递推关系式(2.3-15)与(2.3-9)来确定系数Bn(x,t)和Cm,这样可以避 免在利用式(2.3-5)与(2.3-7)时所进行的繁琐计算。 例2.3.1已知(x,t)=xe,a=0,b=1,求此积分方程的解核及它的解。 解为了求D(x,t;入)，先求Bm(x,t): Bi(r,t)=k(r,t)=xe B1(x,t)= dt1=0 ce ze' re B:(x)= te teh te'dtdtz=0 tze't2eh te (由于积分号下的行列式为零)，显然所有的B(x,t)一0、二1,2，…。 为了求D(入)，再求Cm。 C.=fdt=fedr1 =a-0 显然，Cn=0,”=2,3,…。由式(2.3-4)、(2.3-6)，有 D(z,t;a)=k(z,t)re',D(A)=1-A 于是 R(z,t;A)= 运边=1 xe D(A) 由式(2.3-11)可得方程的解为 …34…