解核Rm(x,t;A) 3产2”对应的解核R(,4:》=因此)的解核 -3t Ri(,t;A)=Rm(r,t:A)+R(x,t:A) g2a+1训<引 §2.2退化核方程 在第类Fredholm积分方程中，有一类重要的、特殊类型的方程 退化核方程。它本 身可以用初等方法，即化为线性代数方程组求解；而对于一般的第二类Fredholm方程，如果 把它的核用退化核逼近，则它的近似解就可利用求退化核方程的解得到。此外，利用退化核 方程，还能使导出一般连续核的Fredholm积分方程理论的过程得到简化， 1 对于第二类Fredholm方程 )-Aa(,gd=fx） 如果它的核可以表示成有限项之和，其中每一项都是两个因子的乘积，一个因子仪依赖于x, 另一个仅依赖于t,即具有以下形式 k(z,t)= 月atae 就称此方程为退化核方程。它可表示为 gx)- gaa6w0=R 即 -A2aaa0t=f (2.2-1) 设a,(x)(i=1,2,…,n)线性无关；a,(x),b,(t)(i=1,2,…n)在a≤x,t≤b连续，记 a(e)g)d=6,(=1,2,…,n） (2.2-2) 则式(2.2“1)化为 g(x)=f(x)+A∑ca,(u) (2.2-3) 因此，为了确定积分方程(2.2-1)的解，只要确定未知常数c,即可。为了得到(：所满足的方 程组，可以把式(2.2-3)代入原方程(2.2-1)中去，但把式(2.2-3)直接代入式(2.2-2)，就 能更方便地导出c,(i一1,2，…，n)满足的方程组来 ao)+A空cA,w=6 4eoad+A2-ao0a,ad= 记 ∫aefe油✉ .(a,(dt (2.2-4) -25-
就得到，的线性方程组 C --dT ici=f, (2.2-5) 例2.2.1解退化核方程 联x)-Aht-shxd=0 (2.2-6) 解设 」ehot= (2.2-7) gaa=4 (2.2-8) 于是 )ch (e)di-ihdcsh (2.2-9) 把式(2.2-9)代入式(2.2-7)及(2.28)，得 -∫，+h-0 c小a:-ca1+A∫sh）=0 1c1(1-入·0)+c21·0=0 (2.2-10) 即 号4a+c1+2e)=0 (2.211) 由式2.2-10,4=0，为得到方程(2.2-6)的非零解，c≠0，由式2.2-11)，A=-2.因 此，当入=一e时方程(2.2-6)有非零解 2 x)=-cish r=c'sh x 式中c·=一c2入为任意常数。 记系数行列式 1-λa1t -a12…-a1m -a211-a2 -Aaan D() -hani -a2 …】-a 利用Cramer法则求式(2.2-5)的解，注意到式(2.2·4)，如果记n十1阶行列式 0 …a1(x）-a2(r）…-an(x b1(t)1-a1 -a12… -a1 D(r,t;A)= b2(t）-a211-a22 b.(t) -hanl -a2…1-a 则 x）=fx)+D元D(x,t:fd =fx+Aa油 一26-
式中D心就是式(2.1-10)中的解核R(x,A)。行列式D(x,;的展开式由D()的 D(A) 子式与a,(x)、b(t)按一定的方式构成 D(x,:a)= .，(x)b(t) 式中.是D()的第i行、第j列元素的代数余子式。 如果式(2.2-1)中的f(x)恒等于零，即方程是齐次方程，它有平凡解(x)=0,它与式 (2.2-5)右端为零时的平凡解c1=(2=…二(=0相对应，当D(λ)≠0时，上述解是惟一的。如 果D()÷0,则c,(i二1,2，…，n)中至少有一个可任意取值，而其余的值由此确定，于是齐 次积分方程(2.2-1)有无限个解存在。 使D(入)=0的入值是积分方程的特征值，与它对应的齐次积分方程的任何一个非平凡解 (例如a,(x)就是此积分方程的特征函数，如果对于·个已知的特征值，常数c1,c2,…,cn中 有m个可以任意指定，则与此特征值相对应，有n个线性无关的特征函数。 如果自由项f(x)不恒等了子零，当D(入)≠0时，非齐次积分方程(2.2-1)对-切1的值有 惟…解。 当D)=0,如果对所有的ii=1,2,n)都有心五，(x)f(z)dx=f二0，即在a,b上 f(x)与所有的函数五，(x)(i=1,2,…n)正交，则此时式(2.2-5)的右端仍为零，同样，c,(= 1,2,…,n)中至少有一个可任意取值，而其余的c值由它确定。于是非齐次积分方程(2.2-1) 的解有无限个，按式(2.2-3)，此解表示为f(x)与特征函数a,(x)的线性组合之和；如果在 心.(xf(x)dr=fi=1,2,…,m)中至少有一个不为零，则非齐次方程组(2.2-5)及非齐次 积分方程(2.2-1)无解。 例2.2.2讨论下述方程的可解性： 9(x)=A(1-3z)gt)d:+f(x) (2.2-12) 解式(2.2-12)是退化核方程。令 ci Rr)di (2.2-13) e=to)di (2.2-14)》 则 x)=A(c1-3c2x)+f(x) (2.2-15) 把式(2.2-15)代入式(2.2-13)、(2.2-14)中，得到 a=46,-c+1ed ,=川4-c+fe油 即 1-a,+是：=f (2.2-16) 号+0+Ac=[fe)d …-27-
式(2.2-16)的系数行列式 1-3 D()= 4- = 1+ 当且仅当λ≠土2时，式(2,216)有惟一解，从式(2.2-16)解出c1,c2,代入式(2.2-15) 就得积分方程(2.2-12)的惟-解：当A=2时，式(2.2-16)化为 (2.2-17) -+3:=jfe 当A=-2时，式(2.2-16)化为 (2.2-18) 当=2时，如果fed=fed,即 -/@t=0 (2.2-19) 时，式(2.2-17)中的两个方程同解，因此01=3：-f)d,由式(2.2-15)，x)= A(1-x)-2。f)d+f(x),其中A=6c:为任意常数：如果式(2.219)不成立，则式 (2.212)无解。当A=-2时如果∫fd=Jfd,期 心4-34)fed=0 (2.2-20) 时，类似地可得9a)=BC1-3）-号：油+fx),其中B=-2:为任意常数1如果 式(2.2-20)不成立，则式(2.2-12)无解。 特别是，当f(x)=0时，如果A≠士2，则式(2.2-12)有惟一解以x)一0：如果入=2，由 式(2.2-17)，c1=3c2,再由式(2.2-15)，g(x)=A3c2(1x),于是与λ=2对应的特性函数 为1一x；同样可求出A=-2所对应的特征函数为1一3x。 非齐次方程(2.2-12)的解(2.2~15)可表示为 x)=A1(]一x)+A2(1一3x)+f(x） 其中A,=3C,),A,=λ(3，)，即解可表示为f(x)与特征函数线性组合之和，这个结 2 2 论对一般类型的第二类Fredholm方程也是成立的。 例2.2.3解以x)-Ar+)g)d证=fx). 解上述方程是方程(2.2-1)中，a1(x)=x,b1(t)=1,a2(x)=1,b2(t)=1,n2的特 殊情况，可设解 p(x)=f(x)+A(cx十3) (2.2-21) -28—
由式(2.2-5)，c1,c2应满足 (2.2-22) 其中=d,=f,a=，a=1,a-aa= 此时 一入 D=- 1- -1 D(x,t;A)= 11- 2 -1-含 =-受-台++x+2 D()=0的根为入=一6十4√3,2=-6-4√3，当≠且A≠时，积分方程有椎一解 )=f)+A小12士第+2-12u士fet A2+12A-12 当A=X=一6+4√3时，式(2.2-21)化为 4-2W3+(6-4c:=fed (2-号3+(4-2c=f 即 4-2V3)4+(6-4√3j=f)t (2.2-23) (4-23)4+(6-4√3c=-√3∫fd (2.2-24) | 当d=-√3fd,即 心1+3fea=0 (2.2-25) 时，由式(2.2-23)，有 (4-2√3)a:=(4W-6}c+∫)f)d 于是 =5:+2生re油 再由式(2.2-21)， 以r=AW3x+1+fx)+xW√3f)d -29-