向量与数的乘法 设是一个数,向量与的乘积M规定为 (1)4>0,M与同向,|An=九|a (2)=0,M=0 (3)<0,M与反向,|M=4||a 2
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | = (2) = 0, 0 a = (3) 0, a 与a 反向，| a | | | | a | = a a 2 a 2 1 − 三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律:4(Ad=(a)=(4)a (2)分配律:(x+)G=+Hd (+b)=+1b 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那末向量b平行于a的充 分必要条件是:存在唯的实数A,使b=An
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a) = a = () （2）分配律： a a a ( + ) = + a b a b ( + ) = + . 0 b a a b a = 分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那末向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系
证充分性显然; 必要性设da取x 当b与a同向时元取正值, 当b与a反向时元取负值,即有b=An 此时b与G同向且l= λ的唯一性.设b=An,又设b=p, 两式相减,得(4-1)l=0,即-山a=0 l≠0,故-=0,即=p
证 充分性显然； 必要性 a b ‖ 设 , a b 取 = 当b 与a同向时 取正值， 当b 与a 反向时 取负值， b a. 即有 = 此时b 与 a同向. a a 且 = a a b = b . = 的唯一性. 设 b a， = 又设b a， = 两式相减，得 ( ) 0， − a = 即 − a = 0， a 0， 故 − = 0， 即 =
设表示与非零向量a同方向的单位向量, 按照向量与数的乘积的规定 d=alack 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 个与原向量同方向的单位向量
设a 表示与非零向量 a同方向的单位向量， 0 按照向量与数的乘积的规定， 0 a | a | a = . | | 0 a a a = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量
例1化简a-b+5-b+b-3 5 1b-3t 解a-b+5-b+ 5 51 =(1-3)+-1-+·5|b 25 2d--b
例1 化简 − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b 解 − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b a b = − + − − + 5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b = − −