对点练习 如图7-3-3,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是 AB和AA1的中点,求证: BI D C 图7-3-3 )E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点
[对点练习] 如图 7-3-3，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，求证： 图 7-3-3 (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
【证明】(1)如图,连结CD1,EF,A1B, 2元C1 D E,F分别是AB和AA1的中点, EF∥A1B且EF=A1B 又∵A1D1練BC, ∴四边形A1BCD1是平行四边形
【证明】 (1)如图，连结 CD1，E F，A1B， ∵E，F 分别是 A B 和 AA1 的中点， ∴E F∥A1B 且 E F＝ 1 2 A1B. 又∵A1D1 綊 B C， ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
A1B∥CD1,∴EFM∥CD1, EF与CD1确定一个平面,设为平面a E,C,D1,F∈a,即E,C,D1,F四点共面
∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面，设为平面 α. ∴E，C，D1，F∈α，即 E，C，D1，F 四点共面．
(2)由(1)知,EF∥CD1,且EF=CD1, 四边形CDFE是梯形 ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 如图所示, 则P∈CEc平面ABCD, 且P∈D1FC平面A1ADD1, P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1=AD, P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点
(2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝ 1 2 CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形． ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 如图所示， 则 P∈CE⊂平面 ABCD， 且 P∈D1F⊂平面 A1ADD1， ∴P∈平面 ABCD 且 P∈平面 A1ADD1. 又∵平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD， ∴P∈AD，∴CE，D1F，DA 三线共点．