[/ (R(x, y,(z2(x, y) - R(x, y,zi(x, y)dxdyD(xy)R(x, y,(z2 (x, y)dxdyD(xy)JJ R(x, y,(z,(x, y)dxdyD(xy)[[ R(x, y,z)dxdy - [[ R(x, y,z)dxdyS2Si[[ R(x, y,z)dxdy + [] R(x, y,z)dxdy ,S2St其中 S,S,都取上侧.又由于 S,在xy平面上投影面前页后页返回
前页 后页 返回 ( ) 2 ( , ,( ( , ))d d D xy = R x y z x y x y = − 2 1 ( , , )d d ( , , )d d S S R x y z x y R x y z x y 1 2 S S, 其中 都取上侧. 又由于 S xy 3 在 平面上投影面 2 1 ( , , )d d ( , , )d d , S S R x y z x y R x y z x y − = + ( ) 2 1 ( ( , ,( ( , )) ( , , ( , )))d d D xy = − R x y z x y R x y z x y x y ( ) 1 ( , ,( ( , ))d d D xy − R x y z x y x y
[( R(x, y,z)dxdy = 0 .积为零，所以S3从而得到aRRdxdy +Rdxdy+Rdxdy.dxdyd1OzLS2S3S-$f Rdxdy.s对于不是xy型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论，后页返回前页
前页 后页 返回 从而得到 2 3 1 d d d d d d d d d V S S S R x y z R x y R x y R x y z − = + + 对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 = 3 ( , , )d d 0 . S 积为零, 所以 R x y z x y 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论. d d . S = R x y
例1计算I = $f y(x - z)dydz +x'dzdx +(y" + x)dxdy,s其中S是边长为α的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式aC(y(x-z)dxdydz=xz)[aydzJ (y + x)dxdydz=I"dy/(y+x)dxdzay+jady=a.前页后页返回
前页 后页 返回 例1 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S I y x z y z x z x y zx x y = − + + + 其中 S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧. ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) d d d V I y x z x y xz x y z x y z = − + + + 解 应用高斯公式, 2 4 0 1 d . 2 a a ay a y a = + = 0 0 0 ( )d d d = d d ( + )d a a a V = +y x x y z z y y x x
注若在高斯公式中 P=x,Q=,R=z,则有ff xdydz + ydzdx + zdxdy = Jf[(1 +1 +1)dxdydz.SV于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体I++ xdyd + ydzdx + zdxdy.积的公式：△V=-35Si例2 计算 JJ y(x - z)dydz + x'dzdx + (y2 + xz)dxdy,s其中 S为曲面z=5-x2-y2上 z≥1的部分,并取上侧.后页返回前页
前页 后页 返回 注 若在高斯公式中 P x Q y R z = = = , , , 则有 d d d d d d (1 1 1)d d d . S V x y z y z x z x y x y z + + = + + 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体 积的公式: 1 1 d d d d d d . 3 S V x y z y z x z x y = + + 例2 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S y x z y z x z x y xz x y − + + + S 2 2 其中 为曲面 z x y = − − 5 上 z 1 的部分, 并取 上侧
解由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算，可补充一块平面S,:x2+y2≤4,z=1,并取下侧,则SU S,构成一封闭曲面.于是$f y(x -z)dydz + x'dzdx +(y + xz)dxdySUSI= (l/ (x + y)dxdydzV5-r2?2元-dedr(rcosθ +rsin)rdz = 0(00后页返回前页
前页 后页 返回 解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 2 2 1 S x y z : 4, 1, + = 并取下侧 S S 1 , 则 构成一封 闭曲面.于是 1 2 2 ( )d d d d ( )d d S S y x z y z x z x y xz x y − + + + ( )d d d V = + x y x y z 2 2 2 5 0 0 1 d d ( cos sin ) d 0. r r r r r z − = + =