例如, A=357,B=2.AB=6)=6.BA=21357)=61014 AB≠BA (ii)矩阵乘法不满足消去律:一般说来,由AB=AC 不能推出B=C 例如 8 B 3-6 0/~p 00 AC B≠C 00 00 哈工大数学系代数与几何教研室
1)矩阵乘法有零因子,即存在非零矩阵A,B,使 得AB=0.因此,在一般情况下,不能由AB=0断定A0或 B=0. 例如 24 24 48 B 3-6 00 00 AB AC A≠0.B≠0.C≠0 00 00 哈工大数学系代数与几何教研室
2.2.4方阵的幂 定义2.5设A是n阶方阵,m是正整数,m个A相乘 称为矩阵A的m次幂,记作A,即 Am=AA…4.并规定A=En 运算性质:设A是n阶方阵,k,1是正整数,贝 (1)A4A=A4;(2)(4) 注:根据矩阵的乘法不满足交换律的自然结果 般说来(AB)≠AB 哈工大数学系代数与几何教研室
0 ,6已知A=x 求方阵A的幂Am 1010 10 11八21)(221 10/10 10 A3=A2A 221人x1)(32\1 可用归纳法证明 O 772 (m-1)1八1 力21 哈工大数学系代数与几何教研室
定义(矩阵多项式) 设∫(x)=ax”+a1xm1+…+an-1x+an是x的n次多项式A 是方阵E是与A同阶的单位阵,则称 f(a)=aoA"+aA+.+an-A+a,E 为由多项式f(x)=a0x+ax”+…+an1x+an形成的矩 阵A的多项式,记作f(4) 例7 f(x)=2x3-x2+2x+3,A f(A)=2A-A2+2A+3E 66 哈工大数学系代数与几何教研室
定义( 矩阵多项式 ) 设 n n n n f x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( ) 是x的n次多项式,A 是方阵,E 是与 A同阶的单位阵, 则称 f A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) 为由多项式 n n n n f x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( ) 形成的矩 阵 A的多项式, 记作 f (A) . 例 7 = = − + + = − + + = 0 6 6 6 ( ) 2 2 3 0 1 1 1 ( ) 2 2 3, 3 2 3 2 A A A A E A f f x x x x