例3计算曲线积分(x2+y2+2)d,其中为螺旋线 x=ac0st,y= asin t,z=kt(0≤t≤2x)的一段弧
例 3 . 计算曲线积分 的一段弧 . 其中 为螺旋线
例3计算曲线积分(x2+y2+2)d其中为螺旋线 x=ac0st,y= asin t,z=kt(0≤t≤2x)的一段弧 2丌 解原式 [(acost)-+(asin )+(kt)] Gasint)+(acost)+k dt 2丌, +k la +kt dt k +k at+t 372x 3 2丌 a2+k2(3a2+42k2)
例 3 . 计算曲线积分 的一段弧 . 其中 为螺旋线 a k [a k t ]d t 20 2 2 2 2 2 = + + (3 4 ) 32 2 2 2 2 2 a k a k = + + 解 原式
例4求I=[x2ds, 其中r为圆周 r ty+z=a, x+y+乙=0. 解由对称性,知x2d=y2=z2 故I=「(x2+y2+2)ds 3 2Ta (2πa=「ds,球面大圆周长) 3
例4 + + = + + = = 0. , , 2 2 2 2 2 x y z x y z a I x ds 其中 为圆周 求 解 由对称性, 知 . 2 2 2 x ds = y ds = z ds I = (x + y + z )ds 3 故 1 2 2 2 = ds a 3 2 . 3 2 3 a = (2 ,球面大圆周长) a = ds
四、几何与物理意义 (1)当p(x,y)表示L的线密度时, M=p(x,y)ds (2)当f(x,y)=时,长=4; z=f(x,y) 3)当∫(x,y)表示立于L上的 柱面在点(x,y)处的高时, 柱面面积 f(x, y)ds. L
四、几何与物理意义 (1) 当(x, y)表示L的线密度时, ( , ) ; = L M x y ds (2) ( , ) 1 , ; = L f x y L ds 当 时 弧长 ( , ) , (3) ( , ) 柱面在点 处的高时 当 表示立于 上的 x y f x y L ( , ) . = L S柱面面积 f x y ds s L z = f (x, y)
(4)曲线弧对x轴及y轴的转动惯量, I=xpds I,=ly'pds L (5)曲线弧的重心坐标 ypas J
(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量 , , . 2 2 = = L y L I x x ds I y ds (5) 曲线弧的重心坐标 , . = = L L L L ds y ds y ds x ds x