2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分/f(xyh存 3推广 函数f(x,y,z在空间曲线弧r上对弧长的 曲线积分为 「f(x,ya)d=Im∑/(5,m,),△s
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意: 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) (x)d=(xy)+/(x) 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为∮(xy)ds
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds 2. ( , ) ( , ) . L f x y L f x y ds 函数 在闭曲线 上对弧长的 曲线积分记为
4性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,g(x,y)ds (2)0(x,y.k=4Jf(xy)d(k为常数 (3),∫(x,y)ds=.∫(x,y)ds+,f(x,y)dks L=L1+L2)
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 (a≤t≤B)其中 y=yo 0(t),v(t)在,B上具有一阶连续导数,则 (x,y=m9y°()+y(0 (<B)
三、对弧长曲线积分的计算 1、定理 2 2 ( , ) , ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) L t t d f x y L x t L t y t t t f x y ds f t t t = = = + 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数方程为 其中 在 上具有一阶连续导数 则
注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限B 2.f(x,y)中x,y不彼此独立而是相互有关的
注意: 1. ; 定积分的下限 一定要小于上限 2. ( , ) , , . f x y x y 中 不彼此独立 而是相互有关的