图73产值散点图 从直观上看,与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线,而畜牧业总产值曲线和 林果业总产值与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然 是以种植业为主的农业,畜牧业和林果业还不够发达。 一、灰色关联因素和关联算子集 进行系统分析,选准系统行为特征的映射量后,还需进一步明确影响系统行为的有效 因素。如要作量化研究分析,则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理,通过算 子作用,使之化为数量级大体相近的无量纲数据,并将负相关因素转化为正相关因素。 定义311设X=(x(1)x(2)…,x(n)为因素X的行为序列,D为序 列算子,且 XD1=(x(1)d12x,(2)a1……,x(n)d1)(7.56) 其中 A,(h)d,=x(h) x(1)≠O;k=1,2…n (7.57) x(1) 则称D为初值化算子。XD为X在初值化算子D的象,简称初值象 定义32设X1=(x(1)2x(2),…,x(H))为因素X的行为序列,D2为序 列算子,且 XD2=(x,(1)a2,x(2)dl2,…,x,(n)c2)(758) 其中 x (k)d x1(k) k=1,2n(7.59) (k) 则称D2为均值化算子。XD3为X,在均值化算子D2的象,简称均值象。 定义33设X=(x(1)x(2)…,x(n))为因素x的行为序列,D为序 列算子,且 X,D3=(x(1)dl3,x,(2)al3,……,x(n)d3)(760) 其中 x (k)-min x, (k) x (r)d ;k=1,2…n(7.61) max x (k)-min x ()
186 图 7.3 产值散点图 从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和 林果业总产值与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然 是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。 一、灰色关联因素和关联算子集 进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统行为的有效 因素。如要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理，通过算 子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。 定义 3.1.1 设 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = 为因素 Xi 的行为序列， D1 为序 列算子，且 1 1 1 1 ( (1) , (2) , , ( ) ) X D x d x d x n d i i i i = （7.56） 其中 1 ( ) ( ) (1) 0; 1,2 (1) i i i i x k x k d x k n x = = （7.57） 则称 D1 为初值化算子。 XDi 1 为 Xi 在初值化算子 D1 的象，简称初值象。 定义 3.1.2 设 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = 为因素 Xi 的行为序列， D2 为序 列算子，且 2 2 2 2 ( (1) , (2) , , ( ) ) X D x d x d x n d i i i i = （7.58） 其中 2 1 ( ) ( ) ; 1,2 1 ( ) i i n i k x k x k d k n x k n = = = （7.59） 则称 D2 为均值化算子。 XDi 2 为 Xi 在均值化算子 D2 的象，简称均值象。 定义 3.1.3 设 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = 为因素 Xi 的行为序列， D3 为序 列算子，且 3 3 3 3 ( (1) , (2) , , ( ) ) X D x d x d x n d i i i i = （7.60） 其中 3 ( ) min ( ) ( ) ; 1,2 max ( ) min ( ) i i k i i i k k x k x k x k d k n x k x k − = = − （7.61）
则称D为区间化算子。xD3为X在区间化算子D3的象,简称区间值象 初值化算子、均值化算子和区间值化算子皆可以使系统行为序列无量纲化,且在数量上 定义3.4设X1=(x(1)2x(2),……,x(H)),x(k)∈[0,1为因素X1的行为 序列,D4为序列算子,且 XD4=(x(1)d4x(2)d42……,x(n)d4)(762) 其中 x(k)d4=1-x(k) k=1.2 (763) 则称D为逆化算子。XD4为x在逆化算子D的象,简称逆化象。 定义35设X=(x(1),x(2)…,x(n)),x(k)∈0,1为因素x的行为 序列,D3为序列算子,且 XD5=(x,(1)ds,x(2)d52…,x(n)d5)(764) 其中 x (k)ds (k)≠O k=1,2 则称D3为倒数算子。XD3为x在倒数化算子D的象,简称倒数化象 若系统因素X=(x(1)2x(2)…x(n)与系统主行为呈负相关关系,则 X2=(x,(1),x(2)2……,x(H))的逆化算子作用像和倒数化作用像与X0具有正相 关关系。 定义3.1.6称D={D|i=123,4,5}为灰色关联算子集(以上五个)。 定义3.1.7设Ⅹ为系统因素集合,D为灰色关联算子集,称(XD)为灰色关联因子空 灰色关联公理与灰色关联度 灰色系统理论提出了一种新的分析方法一关联度分析方法,即根据因素之间发展态势的相 似或相异程度来衡量因素间关联的程度,它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展 态势为立足点,因此对样本量的多少没有过分的要求,也不需要典型的分布规律,计算量少
187 则称 D3 为区间化算子。 XDi 3 为 Xi 在区间化算子 D3 的象，简称区间值象。 初值化算子、均值化算子和区间值化算子皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上 规一。 定义 3.1.4 设 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = ，x k( ) [0,1] 为因素 Xi 的行为 序列， D4 为序列算子，且 4 4 4 4 ( (1) , (2) , , ( ) ) X D x d x d x n d i i i i = （7.62） 其中 4 x k d x k k n i i ( ) 1 ( ) ; 1,2 = − = （7.63） 则称 D4 为逆化算子。 XDi 4 为 Xi 在逆化算子 D4 的象，简称逆化象。 定义 3.1.5 设 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = ，x k( ) [0,1] 为因素 Xi 的行为 序列， D5 为序列算子，且 5 5 5 5 ( (1) , (2) , , ( ) ) X D x d x d x n d i i i i = （7.64） 其中 5 1 ( ) ( ) 0 ; 1,2 ( ) i i i x k d x k k n x k = = （7.65） 则称 D5 为倒数算子。 XDi 5 为 Xi 在倒数化算子 D5 的象，简称倒数化象。 若系统因素 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = 与系统主行为呈负相关关系，则 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = 的逆化算子作用像和倒数化作用像与 X0 具有正相 关关系。 定义 3.1.6 称 { | 1,2,3,4,5} D D i = = i 为灰色关联算子集（以上五个）。 定义 3.1.7 设 X 为系统因素集合，D 为灰色关联算子集，称（X,D）为灰色关联因子空 间。 二、灰色关联公理与灰色关联度 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相 似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展 态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少
到甚至可用手算,且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用 到农业经济、水利、宏观经济等各方面,都取得了较好的效果。 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据,充分开发并利用不 多的数据中的显信息和隐信息,寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散 模型,建立一个按时间作逐段分析的模型。但是,离散模型只能对客观系统的发展做短期分 析,适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型 对许多工程应用来讲是有用的,但在某些研究领域中,人们却常常希望使用微分方程模型 事实上,微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质, 大千世界里的客观事物往往现象复杂,因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析 这些因素中哪些对系统来讲是主要的,哪些是次要的,哪些需要发展,哪些需要抑制,哪些 是潜在的,哪些是明显的。一般来讲,这些都是我们极为关心的问题。事实上,因素间关联 性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点 灰色关联度分析方法,是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度,即“灰色关联度”作 为衡量因素之间关联程度的一种方法。灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析 的概念,意图透过一定方法,去寻求系统各子系统(或因素)之间数值的关系。因此,灰色 关联度分析对于一个系统的发展变化态势提供了量化的度量,非常适合动态历程分析。 关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。所谓发展态势比较,也就是系统 各时期有关统计数据的几何关系的比较。例如,某地区1977~1983年总收入与养猪、养兔 收入资料见表7.5 表7.5原始数据表 1977 1978 1979 1980 1982 1983 总收入 养猪 10 15 38 养兔 12 图74数据变化折线图 定义3.2.1(灰色关联公理)设X0=(x(1)x0(2),…,X0(H)为系统特 征序列,且 2 (766)
188 到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用 到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不 多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散 模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分 析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型 对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。 事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。 大千世界里的客观事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析， 这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些 是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联 性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。 灰色关联度分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，即“灰色关联度”作 为衡量因素之间关联程度的一种方法。灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析 的概念，意图透过一定方法，去寻求系统各子系统（或因素）之间数值的关系。因此，灰色 关联度分析对于一个系统的发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。 关联分析实际上是动态过程发展态势的量化比较分析。所谓发展态势比较，也就是系统 各时期有关统计数据的几何关系的比较。例如，某地区 1977～1983 年总收入与养猪、养兔 收入资料见表 7.5。 表 7.5 原始数据表 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 总收入 18 20 22 40 44 48 60 养猪 10 15 16 24 38 40 50 养兔 3 2 12 10 22 18 20 图 7.4 数据变化折线图 定义 3.2.1（灰色关联公理）设 0 0 0 0 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) 为系统特 征序列，且 1 1 1 1 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) （7.66）
x(1)2x(2)2……·,x(n) (767) (xm(1,xm(2)2…,xm(n) 为相关因素序列,给定实数r(x0(k,x(k),若实数 )=∑r(x()2x(k) 满足 规范 0<r(X0,X)≤1,r(X0,X1)=1∈X0=X(7.70) 整体性:对于X,X,∈x={Xss=0,1,…,mm≥2}有 r(x,x,)≠r(X,X)i≠j (7.71) 偶对对称性:X,X,∈X,有 r(X,x)=r(X,X)分X={X,X}(7.72) 接近性:|x0(k)-x(k)越小,r(x(k),x(k)越大。 则称 r(0,X1)=∑r(x(k,x(k) 为X,x∈X的灰色关联度,其中r(x(k,x(k)为x和X在k点的关联系数,并称条件 为灰色关联四公理。 在灰色关联公理中,规范性0<r(X0,X)≤1表明系统中任何两个行为序列都不可能严 格无关联。 整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响,环境不同,灰色关联度也随之变化,因此 对称性不一定满足 偶对对称性表明,当灰色关联因子集中只有两个序列时,满足对称性 接近性是对关联量化的约束 定义322设系统行为序列 (1)2x(2) (7 =(x1(1)2x1(2)…,x1(n))
189 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = （7.67） X x x x n m m m m = ( (1), (2), , ( )) （7.68） 为相关因素序列，给定实数 0 ( ( ), ( )) i r x k x k ，若实数 0 0 1 1 ( , ) ( ( ), ( )) n i i k r X X r x k x k n = = （7.69） 满足 规范性： 0 0 0 0 ( , ) 1, ( , ) 1 i i i = = r X X r X X X X （7.70） 整体性：对于 X X X X s m m i j S , | 0,1, , ; 2 = = 有 ( , ) ( , ) i j j i r X X r X X i j （7.71） 偶对对称性： , X X X i j ，有 ( , ) ( , ) { , } i j j i i j r X X r X X X X X = = （7.72） 接近性： 0 | ( ) ( ) | i x k x k − 越小， 0 ( ( ), ( )) i r x k x k 越大。 则称 0 0 1 1 ( , ) ( ( ), ( )) n i i k r X X r x k x k n = = （7.73） 为 , X X X i j 的灰色关联度，其中 0 ( ( ), ( )) i r x k x k 为 X X i j 和 在 k 点的关联系数，并称条件 为灰色关联四公理。 在灰色关联公理中，规范性 0 0 ( , ) 1 i r X X 表明系统中任何两个行为序列都不可能严 格无关联。 整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也随之变化，因此 对称性不一定满足。 偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，满足对称性。 接近性是对关联量化的约束。 定义 3.2.2 设系统行为序列 0 0 0 0 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) （7.74） 1 1 1 1 X x x x n = ( (1), (2), , ( )) （7.75）
=(x(1),x(2),…,x(H)) (776) Xm=(xm(1)2xm(2),…,xm2(H))(7.77) 对于5∈(0,1)令 min min/xo(k)-x (k)+5 max max*o(k)-x (k) r(x0(k),x(k)= xo(k), (k)+5. max max ro(k)-x(k) (7.78) 记r(x(k,x(k)为(k),r(x0,X)=∑r(x(k)x(k)=∑(k),则 r(X0,X)=∑(x(k),x(k)满足灰色关联公理,其中5称为分辨系数。r(X0,x)称为 x0,X的灰色关联度,记为lo。 根据关联度的定义,可得关联度的计算步骤如下: (1)根据评价目的确定评价指标体系,收集评价数据。 设m个数据序列形成如下矩阵: x0(1)x1(1)…xn( (x,x…,x)=x(2)x() (779) x,(n 其中n为指标的个数 x1 x(n (7.80) m是比较数列,n是数据指标,X是参考数据列 (2)确定参考数据列X0。 参考数据列应该是一个理想的比较标准,可以以各指标的最优值(或最劣值)构成参 考数据列,也可根据评价目的选择其它参照值。记作 X Xo Xo ln (781) (3)对指标数据序列用关联算子进行无量纲化。目的是消除数量级大小不同的影响,以 便于进行计算和比较分析,无量纲化后的数据序列形成如下矩阵
190 ( (1), (2), , ( )) X x x x n i i i i = （7.76） X x x x n m m m m = ( (1), (2), , ( )) （7.77） 对于 (0,1) 令 0 0 0 0 0 min min ( ) ( ) max max ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) max max ( ) ( ) i i i k i k i i i i k x k x k x k x k r x k x k x k x k x k x k − + − = − + − （7.78） 记 0 ( ( ), ( )) i r x k x k 为 0 ( ) i r k ， 0 0 0 1 1 1 1 ( , ) ( ( ), ( )) ( ) n n i i i k k r X X r x k x k r k n n = = = = ， 则 0 0 1 1 ( , ) ( ( ), ( )) n i i k r X X r x k x k n = = 满足灰色关联公理，其中 称为分辨系数。 0 ( , )i r X X 称为 0 , X Xi 的灰色关联度，记为 0i r 。 根据关联度的定义，可得关联度的计算步骤如下： （1）根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。 设 m 个数据序列形成如下矩阵： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 , , m m m m x x x x x x X X X x n x n x n = （7.79） 其中 n 为指标的个数， ( (1 , 2 , , , 1, 2 , , ) ( ) ( ) ) T X x x x n i m i i i i = = （7.80） m 是比较数列，n 是数据指标, X0 是参考数据列 （2）确定参考数据列 X0 。 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参 考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值。记作 X x x x m 0 0 0 0 = ( (1) , 2 , , ( ) ( ) ) （7.81） （3）对指标数据序列用关联算子进行无量纲化。目的是消除数量级大小不同的影响，以 便于进行计算和比较分析，无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：