基于球化机理的TA15钛合金热变形统一本构模型

第36卷第7期 北京科技大学学报 Vol.36 No.7 2014年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2014 基于球化机理的TA15钛合金热变形统一本构模型 赵慧俊”，王宝雨”，刘钢区，杨 雷) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)哈尔滨工业大学材料科学与工程学院，哈尔滨150001 ☒通信作者，E-mail:iu@hit.edu.cm 摘要应用晶界分离模型解释了片层α相的球化现象，阐述了TA15钛合金转变组织中次生片层α相的球化是其主要的流 动软化机制.基于钛合金球化软化机理，建立了TA15钛合金的统一黏塑性本构模型.本构模型综合考虑了次生α相的球化、 正则位错密度、等向硬化、塑性成形产生的温升、成形过程中的相变等物理变量.利用遗传算法确定了本构模型中的材料常 数.本构模型能够较好地描述TA15钛合金热变形下的流动应力变化. 关键词钛合金：球化：本构模型：遗传算法：材料常数 分类号TG146.23 Unified constitutive model of TA15 titanium alloy in hot deformation based on the globularization mechanism ZHAO Hui-jun",WANG Bao-yu,LIU Gang,YANG Lei 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Materials Science and Engineering,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China Corresponding author,E-mail:gliu@hit.edu.cn ABSTRACT Globularization of lamellar a phase was stated by the grain boundary separating model.It was elucidated that globu- larization of secondary (lamellar)o phase in the transformed microstructure is the main flow softening mechanism of TAl5 titanium al- loy.A unified viscoplastic constitutive equation of TAl5 titanium alloy was developed based on the globularization mechanism.Some physical variables including globularization of secondary (lamellar)a phase,normalized dislocation density,isotropic hardening,plas- tic deformation induced temperature rise,and phase transformation during deformation were comprehensively considered in the constitu- tive model.Material constants in the constitutive model were determined and optimized by a genetic algorithm.The constitutive model can accurately predict the flow stress of TAl5 titanium alloy in hot deformation. KEY WORDS titanium alloys:globularization:constitutive models;genetic algorithms:material constants TA15(Ti6A1-2Zr-1Mo-1V)合金是一种高Al ner-Hollomon参数的双曲正弦函数描述了TA15合 当量的近α型钛合金，主要强化机制是通过α《稳定 金的流变应力行为.沈昌武等回基于BP神经网络 元素A!的固溶强化.该合金既具有α《型钛合金良 建立了TA15合金的本构模型.fan等建立了能 好的热强性和可焊性，又具有接近于α+B型钛合 够预测微观组织演变的TA15合金本构模型.可以 金的工艺塑性，是一种综合性能优良的钛合金四， 发现，目前对TA15合金本构模型的研究，大部分都 在航空领域得到广泛的应用，如飞机隔框和机匣. 是基于经验公式，或者只是考虑了变形热效应、结构 目前，有许多学者P-1对TA15钛合金的热变 变化和微观组织形态对材料流动软化的影响.然 形本构模型进行了研究.其中纪仁峰等回采用Ze- 而，在钛合金热加工中，转变组织的分解对于等轴组 收稿日期：2013-11-20 基金项目：现代交通金属材料与加工技术北京实验室资助项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20120006110017) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.07.011:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 7 期 2014 年 7 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 7 Jul． 2014 基于球化机理的 TA15 钛合金热变形统一本构模型 赵慧俊1) ，王宝雨1) ，刘 钢2) ，杨 雷1) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 哈尔滨工业大学材料科学与工程学院，哈尔滨 150001  通信作者，E-mail: gliu@ hit． edu． cn 摘 要 应用晶界分离模型解释了片层 α 相的球化现象，阐述了 TA15 钛合金转变组织中次生片层 α 相的球化是其主要的流 动软化机制． 基于钛合金球化软化机理，建立了 TA15 钛合金的统一黏塑性本构模型． 本构模型综合考虑了次生 α 相的球化、 正则位错密度、等向硬化、塑性成形产生的温升、成形过程中的相变等物理变量． 利用遗传算法确定了本构模型中的材料常 数． 本构模型能够较好地描述 TA15 钛合金热变形下的流动应力变化． 关键词 钛合金; 球化; 本构模型; 遗传算法; 材料常数 分类号 TG 146. 2 + 3 Unified constitutive model of TA15 titanium alloy in hot deformation based on the globularization mechanism ZHAO Hui-jun1) ，WANG Bao-yu1) ，LIU Gang2)  ，YANG Lei1) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Materials Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China  Corresponding author，E-mail: gliu@ hit． edu． cn ABSTＲACT Globularization of lamellar α phase was stated by the grain boundary separating model． It was elucidated that globu￾larization of secondary ( lamellar) α phase in the transformed microstructure is the main flow softening mechanism of TA15 titanium al￾loy． A unified viscoplastic constitutive equation of TA15 titanium alloy was developed based on the globularization mechanism． Some physical variables including globularization of secondary ( lamellar) α phase，normalized dislocation density，isotropic hardening，plas￾tic deformation induced temperature rise，and phase transformation during deformation were comprehensively considered in the constitu￾tive model． Material constants in the constitutive model were determined and optimized by a genetic algorithm． The constitutive model can accurately predict the flow stress of TA15 titanium alloy in hot deformation． KEY WOＲDS titanium alloys; globularization; constitutive models; genetic algorithms; material constants 收稿日期: 2013--11--20 基金项目: 现代交通金属材料与加工技术北京实验室资助项目; 高等学校博士学科点专项科研基金资助项目( 20120006110017) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 07． 011; http: / /journals． ustb． edu． cn TA15( Ti--6A1--2Zr--1Mo--1V) 合金是一种高 Al 当量的近 α 型钛合金，主要强化机制是通过 α 稳定 元素 Al 的固溶强化． 该合金既具有 α 型钛合金良 好的热强性和可焊性，又具有接近于 α + β 型钛合 金的工艺塑性，是一种综合性能优良的钛合金［1］， 在航空领域得到广泛的应用，如飞机隔框和机匣． 目前，有许多学者［2 － 5］对 TA15 钛合金的热变 形本构模型进行了研究． 其中纪仁峰等［2］采用 Ze￾ner--Hollomon 参数的双曲正弦函数描述了 TA15 合 金的流变应力行为． 沈昌武等［4］基于 BP 神经网络 建立了 TA15 合金的本构模型． Fan 等［5］建立了能 够预测微观组织演变的 TA15 合金本构模型． 可以 发现，目前对 TA15 合金本构模型的研究，大部分都 是基于经验公式，或者只是考虑了变形热效应、结构 变化和微观组织形态对材料流动软化的影响． 然 而，在钛合金热加工中，转变组织的分解对于等轴组

·926 北京科技大学学报 第36卷 织的发展起到了关键性的作用，从而可以引起材 料明显的流动软化.因此对于含有转变组织的钛 (a亚结构 合金，次生片层α相的球化是其主要的流动软化 机制6-刀 ()局部剪切 本文基于钛合金的球化软化机理，综合考虑应 变、应变速率、温度等因素，从位错密度、相变、球化 率等内变量角度，建立了能描述TA15合金流动特 性的统一黏塑性本构模型，并利用遗传算法计算模 型中的材料常数 l/dx=m=tane 1TA15球化软化机理 图1品界分离模型 通过对钛合金加工过程中的球化现象的研究， Fig.I Boundary separation model 1980年Margolin和Cohen提出了晶界分离模型， 生 认为热变形条件下B相的扩散相变促使片状的α 片层a 初生0 球化 初生 相发生球化，后来Stefansson、Weiss和Welsch 片层B 等-W又对该模型进行了补充及完善.图1为晶界 B阵列 阵列 分离模型的示意图.该理论认为，经冷或热加工达 初生 初生( 初生位 到一定变形量后，在原始α相片层组织中会形成亚 晶界（图1(a)),由于剪应力的作用，部分晶界发生 滑移（图1(b)).该亚晶界形成的界面，其二面角为 图2TA15中次生：相球化的原理图 Fig.2 Schematic drawing of globularisation of secondary a phase in 90°很不稳定，为了降低表面张力，该角度会逐渐减 TA15 小（图1(c)).在驱动力的推动下部分B相移动到 α/B相界内，即所谓的B相楔入α相片层，同时c/ 定律：非弹性部分可以考虑塑性、蠕变、循环塑性、黏 B相界向相反的方向转动，最终片层组织将转化为 性等任意一种经典塑性理论中的非弹性效应，也可 球状组织，达到球化的目的（图1(d))☒ 以是它们的任意耦合.本模型考虑经典的黏塑性效 综上所述，片状α相的球化可以分为两个过 应，并依此构建统一黏塑性本构模型的框架 程：α相与α相边界之间高低角度的形成或者是横 (1)材料流动模型.在金属成形过程中，总应变 穿过片状α相的切变带形成亚晶界；然后是B相的 包括弹性应变E。和塑性应变E。·根据胡克定律，流 渗透导致完全的分离.这种现象在热成形和之后的 动应力可表示为 热处理过程中均会发生 0=E(E,-Ep） (1) 高温下TA15钛合金发生相变，B相以初始组 式中，8：为总应变，E。为塑性应变，E为弹性模量. 织中的B相为基础长大，亚稳β相逐渐增多，其中 在高温状态下，流动应力σ为应变和应变率的 片状的次生α相与B相相间排列成有序的B相阵 函数： 列.相比更硬的初生α相晶粒，此时变形更易发生 G-Kspo (2) 在较软的B相阵列中.在B相阵列中，α相比B相 式中，。为塑性应变率，N为应变强化指数，M为应 变形要困难，在α相附近较软的B相中产生应变集 变率强化指数，K为材料常数 中，从而形成尺寸更小且方向无序的亚晶粒.随着 由式(2)可以得到黏塑性流动法则为 1/ 变形的进行，α相中的亚晶界不断发展，最终β相沿 -(急 (3) 着α/α之间的亚晶界渗透而入，片状的次生α相球 化，从而引起材料的流动软化.其原理如图2所示. 材料具有一个初始动态屈服极限k,在热变形 过程中，位错变化引发的应力增加为H,则流动应力 2本构模型的建立 可以表示为σ-H-k,根据流动应力的物理意 2.1基于钛合金球化机理的统一黏塑性本构方程 义，其值必须非负。把应变硬化项ε。归入材料常 统一本构理论假设材料内任意一点的应变可以 数K中，重新整理式(3)得到 分解为弹性应变和非弹性应变.弹性部分符合胡克 (4)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 织的发展起到了关键性的作用，从而可以引起材 料明显的流动软化． 因此对于含有转变组织的钛 合金，次生片层 α 相的球化是其主要的流动软化 机制［6 － 7］． 本文基于钛合金的球化软化机理，综合考虑应 变、应变速率、温度等因素，从位错密度、相变、球化 率等内变量角度，建立了能描述 TA15 合金流动特 性的统一黏塑性本构模型，并利用遗传算法计算模 型中的材料常数． 1 TA15 球化软化机理 通过对钛合金加工过程中的球化现象的研究， 1980 年 Margolin 和 Cohen［8］提出了晶界分离模型， 认为热变形条件下 β 相的扩散相变促使片状的 α 相 发 生 球 化，后 来 Stefansson、Weiss 和 Welsch 等［9 － 11］又对该模型进行了补充及完善． 图 1 为晶界 分离模型的示意图． 该理论认为，经冷或热加工达 到一定变形量后，在原始 α 相片层组织中会形成亚 晶界( 图 1( a) ) ，由于剪应力的作用，部分晶界发生 滑移( 图 1( b) ) ． 该亚晶界形成的界面，其二面角为 90°很不稳定，为了降低表面张力，该角度会逐渐减 小( 图 1( c) ) ． 在驱动力的推动下部分 β 相移动到 α /β 相界内，即所谓的 β 相楔入 α 相片层，同时 α / β 相界向相反的方向转动，最终片层组织将转化为 球状组织，达到球化的目的( 图 1( d) ) ［12］． 综上所述，片状 α 相的球化可以分为两个过 程: α 相与 α 相边界之间高低角度的形成或者是横 穿过片状 α 相的切变带形成亚晶界; 然后是 β 相的 渗透导致完全的分离． 这种现象在热成形和之后的 热处理过程中均会发生． 高温下 TA15 钛合金发生相变，β 相以初始组 织中的 β 相为基础长大，亚稳 β 相逐渐增多，其中 片状的次生 α 相与 β 相相间排列成有序的 β 相阵 列． 相比更硬的初生 α 相晶粒，此时变形更易发生 在较软的 β 相阵列中． 在 β 相阵列中，α 相比 β 相 变形要困难，在 α 相附近较软的 β 相中产生应变集 中，从而形成尺寸更小且方向无序的亚晶粒． 随着 变形的进行，α 相中的亚晶界不断发展，最终 β 相沿 着 α /α 之间的亚晶界渗透而入，片状的次生 α 相球 化，从而引起材料的流动软化． 其原理如图 2 所示． 2 本构模型的建立 2. 1 基于钛合金球化机理的统一黏塑性本构方程 统一本构理论假设材料内任意一点的应变可以 分解为弹性应变和非弹性应变． 弹性部分符合胡克 图 1 晶界分离模型 Fig． 1 Boundary separation model 图 2 TA15 中次生 α 相球化的原理图 Fig． 2 Schematic drawing of globularisation of secondary α phase in TA15 定律; 非弹性部分可以考虑塑性、蠕变、循环塑性、黏 性等任意一种经典塑性理论中的非弹性效应，也可 以是它们的任意耦合． 本模型考虑经典的黏塑性效 应，并依此构建统一黏塑性本构模型的框架． ( 1) 材料流动模型． 在金属成形过程中，总应变 包括弹性应变 εe 和塑性应变 εp ． 根据胡克定律，流 动应力可表示为 σ = E( εt － εp ) ． ( 1) 式中，εt 为总应变，εp 为塑性应变，E 为弹性模量． 在高温状态下，流动应力 σ 为应变和应变率的 函数［13］: σ = KεN p ε ·M p ． ( 2) 式中，ε · p 为塑性应变率，N 为应变强化指数，M 为应 变率强化指数，K 为材料常数． 由式( 2) 可以得到黏塑性流动法则为 ε · p = ( σ KεN ) p 1 /M ． ( 3) 材料具有一个初始动态屈服极限 k，在热变形 过程中，位错变化引发的应力增加为 H，则流动应力 可以表示为 σ － H － k ［14］，根据流动应力的物理意 义，其值必须非负． 把应变硬化项 ε － N p 归入材料常 数 K 中，重新整理式( 3) 得到 ε · p = ( σ － H － k ) K n ． ( 4) · 629 ·

第7期 赵慧俊等：基于球化机理的TA15钛合金热变形统一本构模型 ·927· 式中，n为黏性指数，反映材料黏性的强弱. 式中，C。为材料常数. 式(4)中硬化产生的应力H是由于位错与其他 故而，β相塑性应变率与球化率ù相关，式(8) 位错、晶界、沉积相和障碍物作用而引起的，它反映 改写为 了塑性变形过程中加工硬化现象.一般认为材料变 形的硬化应力是位错密度的函数，关系式如下 (10) 所示： (4)位错密度模型.对于一种材料，位错密度的 H=Bps. (5) 实际值很难测量，一般情况下，通常定义一个正则化 式中，B为材料常数，p为位错密度 位错密度p来衡量其大小0，可表示为 (2)两相变形模型.对于包含两相的TA15钛 p=1-p:/p. (11) 合金，其性能受多种因素影响，包括组成相的体积分 式中，P:为材料初始位错密度，p为变形过程中材料 数和形态，相的各向异性和择优取向的程度 的位错密度.在变形前，p为0，位错密度达到饱和 等5-.若两相均作为各向同性的弹塑性固体，相 状态时，p趋向于1. 的体积分数对材料性能的影响可以通过两个简单假 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 设及两者的配合来预测：第一个假设是两相的应力 的动态回复和静态回复有关回，其表达式为 是相同的（等应力），即Reuss估计；第二个假设是两 p=A(1-p)151-Cp (12) 相中的应变是相同的（等应变），即Voigt估计a 式中，A、C和8为材料常数.式(12)右边第一项为 由于α相更硬且在B阵列中是分散的，所以α相和 塑性应变与动态回复对位错密度的影响，第二项为 B相中的变形量是不同的.利用等应力准则总应变 静态回复对位错密度的影响. 率可以描述为 (5)塑性变形温升模型.Dig等刀认为绝热条 Ep=5p.a(1-f8)+Ep.e/e (6) 件下塑性变形增加了试件的实际温度，同时也增加 式中，epa为a相塑性应变率，pB为B相塑性应变 了软化的B相比例.本文在假设90%的塑性功转 率，f为B相体积分数 化成热的基础上阁，考虑塑性变形对温升的影响， 由于α相比B相要硬，两相之间的塑性应变是 将其写入到统一本构方程中.绝热条件下塑性变形 不同的.因此，α相的应变率和B相的应变率必须 产生的热软化引起了温度的增量的变化，如 要分开建模.在前面己确定的黏塑性材料的流动法 下式9-20： 则基础上，两者可以描述为 AT="a(e)der. (-H-ka AdJ。 (13) (7) K. 式中，n为塑性变形引起的散热分数，入为比热容，d 为质量密度、 (8) 因此，塑性应变引起的温度变化率为 式中，k。和k分别为α相与B相的初始屈服应力， K.和Kg分别为相与B相的材料常数.参照TC4 立.=n0,l (14) 钛合金高温压痕试验得出的结果k=0.8k.,可以认 (6)B相体积分数模型.TA15钛合金热成形 为性能相近的TA15钛合金两相初始屈服应力的关 时，相的体积分数随温度变化而变化.由于B相要 系与其类似，即k。=0.8k.;由于α相和B相中的主 比α相软，从而B相的比例对材料流动特征的影响 要元素都是钛，两相的材料常数是相近的，所以假设 较大.因此，建立B相随温度变化的转变模型很 K8 =0.9K 重要 (3)球化软化模型.基于钛合金的球化软化机 B相体积分数变化率与温度变化率之间的关系 制，建立了球化软化模型.在本构方程中用一个状 可以描述为) 态变量ω来描述TA15在热加工中的软化机制.次 方。=x(品)广-吃 (15) 生片层α相的球化与B相的塑性应变密切相关，次 生片层α相球化的程度随着B相变形的增长而增 式中：X、P和y为材料常数；T,为当前温度变化率， 长).因此，B相塑性应变控制的球化率。可以描 在等温成形条件下，热传递可以忽略不计，此时 述为 Tt=Te 0=Cn(1-w）Ep-B (9) (7)基于钛合金球化机理的统一黏塑性本构模

第 7 期 赵慧俊等: 基于球化机理的 TA15 钛合金热变形统一本构模型 式中，n 为黏性指数，反映材料黏性的强弱． 式( 4) 中硬化产生的应力 H 是由于位错与其他 位错、晶界、沉积相和障碍物作用而引起的，它反映 了塑性变形过程中加工硬化现象． 一般认为材料变 形的硬化应力是位错密度的函数［14］，关系式如下 所示: H = Bρ 0. 5 ． ( 5) 式中，B 为材料常数，ρ 为位错密度． ( 2) 两相变形模型． 对于包含两相的 TA15 钛 合金，其性能受多种因素影响，包括组成相的体积分 数 和 形 态，相的各向异性和择优取向的程度 等［15 － 16］． 若两相均作为各向同性的弹塑性固体，相 的体积分数对材料性能的影响可以通过两个简单假 设及两者的配合来预测: 第一个假设是两相的应力 是相同的( 等应力) ，即 Ｒeuss 估计; 第二个假设是两 相中的应变是相同的( 等应变) ，即 Voigt 估计［16］． 由于 α 相更硬且在 β 阵列中是分散的，所以 α 相和 β 相中的变形量是不同的． 利用等应力准则总应变 率可以描述为 ε · p = ε · p，α ( 1 － fβ ) + ε · p，β fβ ． ( 6) 式中，ε · p，α为 α 相塑性应变率，ε · p，β为 β 相塑性应变 率，fβ 为 β 相体积分数． 由于 α 相比 β 相要硬，两相之间的塑性应变是 不同的． 因此，α 相的应变率和 β 相的应变率必须 要分开建模． 在前面已确定的黏塑性材料的流动法 则基础上，两者可以描述为 ε · p，α = ( σ － H － kα K ) α n ， ( 7) ε · p，β = ( σ － H － kβ K ) β n ． ( 8) 式中，kα 和 kβ 分别为 α 相与 β 相的初始屈服应力， Kα 和 Kβ 分别为 α 相与 β 相的材料常数． 参照 TC4 钛合金高温压痕试验得出的结果 kβ = 0. 8kα，可以认 为性能相近的 TA15 钛合金两相初始屈服应力的关 系与其类似，即 kβ = 0. 8kα ; 由于 α 相和 β 相中的主 要元素都是钛，两相的材料常数是相近的，所以假设 Kβ = 0. 9Kα ［7］． ( 3) 球化软化模型． 基于钛合金的球化软化机 制，建立了球化软化模型． 在本构方程中用一个状 态变量 ω 来描述 TA15 在热加工中的软化机制． 次 生片层 α 相的球化与 β 相的塑性应变密切相关，次 生片层 α 相球化的程度随着 β 相变形的增长而增 长［7］． 因此，β 相塑性应变控制的球化率 ω · 可以描 述为 ω · = Cω( 1 － ω) ε · p，β ． ( 9) 式中，Cω 为材料常数． 故而，β 相塑性应变率与球化率 ω · 相关，式( 8) 改写为 ε · p，β = [ σ － H － kβ Kβ ( 1 － ω ] ) n ． ( 10) ( 4) 位错密度模型． 对于一种材料，位错密度的 实际值很难测量，一般情况下，通常定义一个正则化 位错密度 ρ 来衡量其大小［14］，可表示为 ρ = 1 － ρi /ρ． ( 11) 式中，ρi 为材料初始位错密度，ρ 为变形过程中材料 的位错密度． 在变形前，ρ 为 0，位错密度达到饱和 状态时，ρ 趋向于 1． 在高温变形条件下，位错密度的变化率与材料 的动态回复和静态回复有关［13］，其表达式为 ρ · = A( 1 － ρ) | ε · p | － C ρδ ． ( 12) 式中，A、C 和 δ 为材料常数． 式( 12) 右边第一项为 塑性应变与动态回复对位错密度的影响，第二项为 静态回复对位错密度的影响． ( 5) 塑性变形温升模型． Ding 等［17］认为绝热条 件下塑性变形增加了试件的实际温度，同时也增加 了软化的 β 相比例． 本文在假设 90% 的塑性功转 化成热的基础上［18］，考虑塑性变形对温升的影响， 将其写入到统一本构方程中． 绝热条件下塑性变形 产生的热软化引起了温度的增量的变化，如 下式［19 － 20］: ΔT = η λd ∫ εp 0 σ( εp ) dεp ． ( 13) 式中，η 为塑性变形引起的散热分数，λ 为比热容，d 为质量密度． 因此，塑性应变引起的温度变化率为 T · ε = η σ λd | ε · p | ． ( 14) ( 6) β 相体积分数模型． TA15 钛合金热成形 时，相的体积分数随温度变化而变化． 由于 β 相要 比 α 相软，从而 β 相的比例对材料流动特征的影响 较大． 因此，建立 β 相随温度变化的转变模型很 重要． β 相体积分数变化率与温度变化率之间的关系 可以描述为［7］ f · β = X ( fβ ) 0. 5 φ ( 1 － fβ ) γ T · T ． ( 15) 式中: X、φ 和 γ 为材料常数; T · T 为当前温度变化率， 在等温成形条件下，热传递可以忽略不计，此 时 T · T = T · ε ． ( 7) 基于钛合金球化机理的统一黏塑性本构模 · 729 ·

·928· 北京科技大学学报 第36卷 型.综合考虑位错密度的演变、位错硬化和塑性变 基于上述优点，本文通过遗传算法来确定本构 形引起的温度升高，相变和B相应变控制的球化等 方程中的材料常数，通过MATLAB软件中的遗传算 因素，建立了一套统一的黏塑性本构方程如下： 法工具箱来实现该过程.其中常微分方程组的求解 采用欧拉法，以固定步长求出微分方程组的近似解， 再利用目标函数去评价微分方程组的近似解与材料 6a-是-a 试验获取的应力一应变曲线之间的差异，从而评判 这组材料常数的优劣，最后由遗传算法完成材料常 6p =6p.a(1-f8)+6pele 数的“优胜劣汰”，获取最优解 p=A(1-p)15p1-Cp, 目标函数在优化过程中至关重要，它引导着优 化算法找到试验数据的最优拟合.理想的目标函数 H=Bps, (16) 具备以下特点：(1)对于单条曲线上所有试验数据 立.=n是， 点都要参与优化过程且被优化的概率平等；(2)对 于多条曲线，无论每条曲线的试验数据点多少，所有 =x() (1-fe)T 曲线被优化的概率平等；(3)每个试验数据点的权 a=C.(1-w）ep-B 重是自动计算的，而不是由人工选择.根据文献 =E(ET-8p). 25]中所介绍的“权重距离”概念，目标函数可表 在上述模型中，引入Arrhenius方程来描述温 达为 度对模型的影响，故与温度相关的材料常数表达 (18) 如下： k=koexp (Q/RT), 式中，Y为待确定的材料常数向量，M为材料试验所 K。=Koexp(Qx/RT), 获得应力一应变曲线条数，N为第j条应力一应变曲 C=Coexp (-Qc/RT), 线上所取的试验数据点数，为权重距离.值用下 (17) 式计算： B=Boexp (Qg/RT), C.=cexp (-Q/RT), ri-0n In s9(8ei/eNy）12 E=Eoexp (Qg/RT). 式中，R为摩尔气体常数，Q为对应材料常数的激活 2g In (19) 能，T为热力学温度. Ga 其余材料常数与温度无关.上述两式(16)和 式中，考虑了应变ε和应力σ综合差距，在应力与 (17)构成了基于钛合金球化机理的统一黏塑性本 应变两个方向上“拉近”试验值（上标t)与模型计算 构方程，它能够合理地说明内部物理变量的相互关 值（上标q)的距离.式子中的权重ω：具体计算表达 系和对材料塑性流动的影响. 式如下： 2.2本构模型中材料常数确定 本文建立的基于TA15钛合金球化机理的统一 黏塑性本构方程是非线性且高度耦合的，目前还没 有确定的解析方法来求解方程的材料常数.对于这 =（ (20) 种非线性问题，一般需要根据试验数据对模型的材 待求解的材料参数为Y=o,Qa,Ko,Qx,n, 料常数进行优化从而求解，但是普通的优化技术只 A,C0Qc,δ，B,Qg,X,p,y,c0Q,Eo,Qe],其具 能求出局部最优解. 体求解方法通过以下步骤进行 遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗 (1)选取试验数据点.模型求解所用试验数据 传机制的随机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是 来源于文献26]中热压缩试验，选取三组应变速率 通过模拟自然进化过程来搜索最优解，可随机给定 0.001、0.01和0.1s-1,三个温度750、800和850℃， 变量的初始值，具有群体搜索特性，对目标函数没有 在每条应力一应变曲线上取30个数据点，数据点尽 连续、可导和单峰的要求，且具有全局优化能力，特 量分布均匀. 别适合于求解多值优化问题1-2习 (2)确定本构模型中的材料常数向量Y.本模

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 型． 综合考虑位错密度的演变、位错硬化和塑性变 形引起的温度升高，相变和 β 相应变控制的球化等 因素，建立了一套统一的黏塑性本构方程如下: ε · p，α = ( σ － H － kα K ) α n ， ε · p，β = [ σ － H － kβ Kβ ( 1 － ω ] ) n ， ε · p = ε · p，α ( 1 － fβ ) + ε · p，β fβ， ρ · = A( 1 － ρ) | ε · p | － C ρδ ， H = B ρ 0. 5， T · ε = η σ λd | ε · p |， f · β = X ( fβ ) 0. 5 φ ( 1 － fβ ) γ T · T， ω · = Cω( 1 － ω) ε · p，β， σ = E( εT － εp )                      ． ( 16) 在上述模型中，引入 Arrhenius 方程来描述温 度对模型的影响，故与温度相关的材料常数表达 如下: kα = kα0 exp ( Qk /ＲT) ， Kα = Kα0 exp ( QK /ＲT) ， C = C0 exp ( － QC /ＲT) ， B = B0 exp ( QB /ＲT) ， Cω = cω0 exp ( － Qω /ＲT) ， E = E0 exp ( QE /ＲT)          ． ( 17) 式中，Ｒ 为摩尔气体常数，Q 为对应材料常数的激活 能，T 为热力学温度． 其余材料常数与温度无关． 上述两式( 16) 和 ( 17) 构成了基于钛合金球化机理的统一黏塑性本 构方程，它能够合理地说明内部物理变量的相互关 系和对材料塑性流动的影响． 2. 2 本构模型中材料常数确定 本文建立的基于 TA15 钛合金球化机理的统一 黏塑性本构方程是非线性且高度耦合的，目前还没 有确定的解析方法来求解方程的材料常数． 对于这 种非线性问题，一般需要根据试验数据对模型的材 料常数进行优化从而求解，但是普通的优化技术只 能求出局部最优解． 遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和自然遗 传机制的随机搜索算法，它不依赖于梯度信息，而是 通过模拟自然进化过程来搜索最优解，可随机给定 变量的初始值，具有群体搜索特性，对目标函数没有 连续、可导和单峰的要求，且具有全局优化能力，特 别适合于求解多值优化问题［21 － 23］． 基于上述优点，本文通过遗传算法来确定本构 方程中的材料常数，通过 MATLAB 软件中的遗传算 法工具箱来实现该过程． 其中常微分方程组的求解 采用欧拉法，以固定步长求出微分方程组的近似解， 再利用目标函数去评价微分方程组的近似解与材料 试验获取的应力--应变曲线之间的差异，从而评判 这组材料常数的优劣，最后由遗传算法完成材料常 数的“优胜劣汰”，获取最优解． 目标函数在优化过程中至关重要，它引导着优 化算法找到试验数据的最优拟合． 理想的目标函数 具备以下特点: ( 1) 对于单条曲线上所有试验数据 点都要参与优化过程且被优化的概率平等; ( 2) 对 于多条曲线，无论每条曲线的试验数据点多少，所有 曲线被优化的概率平等; ( 3) 每个试验数据点的权 重是自动计算的，而不是由人工选择［24］． 根据文献 ［25］中所介绍的“权重距离”概念，目标函数可表 达为 f( Y) = 1 M ∑ M j = ( 1 1 Nj ∑ Nj i = 1 r 2 ij ) ． ( 18) 式中，Y 为待确定的材料常数向量，M 为材料试验所 获得应力--应变曲线条数，Nj 为第 j 条应力--应变曲 线上所取的试验数据点数，r 2 ij为权重距离． r2 ij值用下 式计算: r 2 ij = ω1ij [ ln εq ( εq Nj jεt ij /εt Nj j ) εt ] ij 2 + ω2ij [ ln σq ( σq Nj jσt ij /σt Nj j ) σt ] ij 2 ． ( 19) 式中，考虑了应变 ε 和应力 σ 综合差距，在应力与 应变两个方向上“拉近”试验值( 上标 t) 与模型计算 值( 上标 q) 的距离． 式子中的权重 ωij具体计算表达 式如下［25］: ω1ij = ( ∑ M j = 1 Nj ) εt ij ( ∑ M j = 1 ∑ Nj i = 1 εt ij ) ， ω2ij = ( ∑ M j = 1 Nj ) σt ij ( ∑ M j = 1 ∑ Nj i = 1 σt ij ) ． ( 20) 待求解的材料参数为 Y =［kα0，Qk，Kα0，QK，n， A，C0，QC，δ，B0，QB，η，X，φ，γ，cω0，Qω，E0，QE］，其具 体求解方法通过以下步骤进行． ( 1) 选取试验数据点． 模型求解所用试验数据 来源于文献［26］中热压缩试验，选取三组应变速率 0. 001、0. 01 和0. 1 s － 1，三个温度750、800 和850 ℃， 在每条应力--应变曲线上取 30 个数据点，数据点尽 量分布均匀． ( 2) 确定本构模型中的材料常数向量 Y． 本模 · 829 ·

第7期 赵慧俊等：基于球化机理的TA15钛合金热变形统一本构模型 ·929· 型中共有19个材料常数需要被求解优化.在遗传 1,5.5×105,150000,1,0.5,30000,0.5,0.005, 算法中设置求解变量个数为19，求解精度为10-6， 1,1,100,30000,30000,500],上限为Y== 种群大小为100，交叉概率为0.8，变异概率为0.01. 0.01,150000,0.1,150000,10,20,1×1016, 其中初始种群范围设置可以有效地提高优化效率， 300000,10,5,150000,5,0.05,10,10,1500, 对遗传算法优化效果影响很大，本次优化设置的初 150000,150000,3000]. 始种群是在文献]所得最优种群的基础上，同时 通过以上两个步骤，得到基于球化软化机理的 兼顾具有物理意义的材料参数的取值范围而设定， TA15钛合金统一黏塑性本构模型的所有材料常数 其下限为Y=[0.001,30000,0.01,30000,1, 如表1所示. 表1TA15基于球化机理的统一黏塑性本构模型材料常数 Table 1 Material constants in the viscoplastic constitutive model of TAl5 titanium alloy based on the globularisation mechanism 材料常数 数值 材料常数 数值 材料常数 数值 /MPa 0.270557 Qc/(J-mol-1) 332590 y 2.80 Q/(J-mol-1) 32433 8 2.5 c. 14.5440 Koo/MPa 0.060436 Bo/MPa 6.884782 Q/(Jmol-1) 26551 Qx/(J-mol-1) 81556 Qg/(Jmol-1) 24839 Eo /MPa 2018.37 n 3.2 力 0.13 0g/(J.mol-1) 12297.26 164.5 X/℃ 0.00019 Co 1.5811×1036 2.3 2.3本构模型的验证 到，所建立的基于球化软化机理的TA15钛合金统 通过遗传算法寻优得到的材料常数值，代入本 一黏塑性本构模型理论计算值与试验值吻合较好， 构方程组中，得到模型计算值与试验值进行对比 能描述TA15钛合金的高温流变行为. 不同温度与应变速率下的结果如图3所示.可以看 400r( 300rb 300 -750C 250** 0.1s- 军来来华非来中米 州票拳米带带参来带幸幸年华都步800⊙C 200 缘迷迷举米米水米米米条水米 200 ,850C 100 4+***000和 0 -0.0181 100 ◆试验值 事试验值 一计算值 一计算值 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.810 真应变 真应变 图3TA15钛合金在0.01s1不同温度下(a)和850℃不同应变速率下(b)的模型计算值与试验值对比 Fig.3 Comparison between calculated and experimental values of TAl5:(a)0.01sat different temperatures:(b)850C in different strain rates (3)利用遗传算法确定并优化本构模型中的材 3 结论 料常数，所得材料常数确定的本构模型能够较好地 (1)应用晶品界分离模型解释了片层α相的球 描述TA15钛合金热变形下的流动应力. 化现象，考虑片层《相明显的球化软化作用，阐述 了TA15钛合金转变组织中次生的片层a相的球化 参考文献 是其主要的流动软化机制. (2)基于钛合金的球化软化机理，综合考虑应 [China Aeronautical Material Handbook.2nd Ed.Beijing:China Standard Press,2001:74 变、应变速率、温度等因素，从位错密度、相变、球化 (中国航空材料手册.2版.北京：中国标准出版社，2001： 率等内变量的角度，建立了能描述TA15钛合金流 74) 动特性的统一黏塑性本构模型. Ji R F,Min X H.Hu H J,et al.Study on flow stress behavior of

第 7 期 赵慧俊等: 基于球化机理的 TA15 钛合金热变形统一本构模型 型中共有 19 个材料常数需要被求解优化． 在遗传 算法中设置求解变量个数为 19，求解精度为 10 － 6， 种群大小为100，交叉概率为0. 8，变异概率为0. 01． 其中初始种群范围设置可以有效地提高优化效率， 对遗传算法优化效果影响很大，本次优化设置的初 始种群是在文献［7］所得最优种群的基础上，同时 兼顾具有物理意义的材料参数的取值范围而设定， 其下限为 Ylower =［0. 001，30000，0. 01，30000，1， 1，5. 5 × 1015，150000，1，0. 5，30000，0. 5，0. 005， 1，1，100，30000，30000，500］，上限 为 Yupper = ［0. 01，150000，0. 1，150000，10，20，1 × 1016， 300000，10，5，150000，5，0. 05，10，10，1500， 150000，150000，3000］． 通过以上两个步骤，得到基于球化软化机理的 TA15 钛合金统一黏塑性本构模型的所有材料常数 如表 1 所示． 表 1 TA15 基于球化机理的统一黏塑性本构模型材料常数 Table 1 Material constants in the viscoplastic constitutive model of TA15 titanium alloy based on the globularisation mechanism 材料常数 数值 材料常数 数值 材料常数 数值 kα0 /MPa 0. 270557 QC /( J·mol － 1 ) 332590 γ 2. 80 Qk /( J·mol － 1 ) 32433 δ 2. 5 cω0 14. 5440 Kα0 /MPa 0. 060436 B0 /MPa 6. 884782 Qω /( J·mol － 1 ) 26551 QK /( J·mol － 1 ) 81556 QB /( J·mol － 1 ) 24839 E0 /MPa 2018. 37 n 3. 2 η 0. 13 QE /( J·mol － 1 ) 12297. 26 A 164. 5 X/℃ 0. 00019 C0 1. 5811 × 1016 α 2. 3 2. 3 本构模型的验证 通过遗传算法寻优得到的材料常数值，代入本 构方程组中，得到模型计算值与试验值进行对比． 不同温度与应变速率下的结果如图 3 所示． 可以看 到，所建立的基于球化软化机理的 TA15 钛合金统 一黏塑性本构模型理论计算值与试验值吻合较好， 能描述 TA15 钛合金的高温流变行为． 图 3 TA15 钛合金在 0. 01 s － 1不同温度下( a) 和 850 ℃不同应变速率下( b) 的模型计算值与试验值对比 Fig． 3 Comparison between calculated and experimental values of TA15: ( a) 0. 01 s － 1 at different temperatures; ( b) 850 ℃ in different strain rates 3 结论 ( 1) 应用晶界分离模型解释了片层 α 相的球 化现象，考虑片层 α 相明显的球化软化作用，阐述 了 TA15 钛合金转变组织中次生的片层 α 相的球化 是其主要的流动软化机制． ( 2) 基于钛合金的球化软化机理，综合考虑应 变、应变速率、温度等因素，从位错密度、相变、球化 率等内变量的角度，建立了能描述 TA15 钛合金流 动特性的统一黏塑性本构模型． ( 3) 利用遗传算法确定并优化本构模型中的材 料常数，所得材料常数确定的本构模型能够较好地 描述 TA15 钛合金热变形下的流动应力． 参 考 文 献 ［1］ China Aeronautical Material Handbook． 2nd Ed． Beijing: China Standard Press，2001: 74 ( 中国航空材料手册． 2 版． 北京: 中国标准出版社，2001: 74) ［2］ Ji Ｒ F，Min X H，Hu H J，et al． Study on flow stress behavior of · 929 ·