轧制过程宽展问题的有限单元法分析

D0I:10.13374/j.issnl001-053x.1983.01.016 北京钢铁学院学报 1983年第1期 轧制过程宽展问题的有限 单元法分析 力学教研室乔瑞林榈 摘 要 本文根据刚塑性有限单元法，采用20节点曲六面体等参单元对平辊轧制过程 进行了分析。求得金属三维流动的速度场，以及在稳态轧制时轧件的外轮廓形状 等，并与实验结果进行了比较。 一、前 言 轧制是一种重要的金属加工成形过程。平辊轧制过程宽展的预测对于厚板、方钢的轧 制是十分重要的。· 在板带轧制过程中，如果宽高比大于10时，通常忽略轧件在宽度方向的宽展。这样的轧 制过程可以认为是平面应变问题。现有的多数轧制理论主要是关于平面应变条件下轧制压 力，轧制力矩等的计算。至于轧制过程的三维变形问题，由于其边界条件和变形的复杂 性，长期来未能在理论上得到很好的解决。主要是停留在实验方面的观察。曾提出了一些 轧制过程关于宽展计算的经验公式C~)。Chitkara等C6进行了铅条的轧制实验，并将其 实验结果与经验公式进行了比较。 五弓5)在假设作用于轧制辊缝中切片单元上的应力均匀分布和轧件宽展形状为抛物 线的条件下，给出了宽展的表达式。Alexander等C1也给出了宽展轮廊的数学表达式。 Hilc7导出了分析金属加工过程的一般近似方法，并应用其预测轧制过程的宽展。Lahoti 等8)在忽略轧辊与轧件间摩擦的条件下，完成了宽展的计算。 1975年Oh等C9根据刚塑性体的极值原理（上界法)分析了轧制过程的三维变形。根 据同样的原理，加藤等(10进一步考虑了轧件侧面的鼓形和横断面的翘曲，改进了Oh等的 结果。 本文根据刚塑性有限单元法，采用20节点曲六面体等参单元对平辊轧制过程进行分析 求得金属三维流动的速度场，以及稳态轧制时轧件的外轮廓形状等。并与实验结果进行比 较。本文还讨论了用刚塑性有限单元法处理这类稳态流动问题的方法。 ·本文曾在北京钢快学院建校30周年科学研究报告会上宜读(1982年4月)。 182

北 京 栩 铁 举 眺 学 报 年 如 翔 轧制过程宽展问题 的有限 单元法分析 力 学教研 室 乔 端 林 相 摘 要 ‘ 本文根据刚塑 性有限单元法 ， 采用 节点曲六面体等参单元对平辊 轧制过 程 进行了分析 。 求得金 属三维流动的速度场 ， 以及在稳态 轧制 时轧件 的外轮廓形状 等 ， 并与实验结果进行了 比较 。 一 、 前 言 轧制是一 种重要的金 属加工成形过程 。 平辊轧制过 程宽展的预测对于厚板 、 方钢的轧 制 是十 分重要的 。 在板带轧制过 程 中 ， 如果宽高比大于 时 ，通常忽略轧件在 宽度方向的宽展 。 这样的 轧 制 过程可 以认为是平面应变问题 。 现有的 多数轧制理论 主要是关于平面 应变条件下 轧制压 力 ， 轧制力矩等的计算 。 至于轧制 过 程的三维变形问题 ， 由于其边界条件和 变 形 的 复 杂 性 ， 长期来未能在理论上得到很好的解决 。 主要是停 留在实验方面的观察 。 曾提 出了一些 轧制过程关于宽展计算的经验公式 〔 ’ 一 〕 。 等〔 们进 行了铅条的轧制实验 ， 并将其 实验结果与经验公 式进行了 比较 。 五 弓〔 幻在假设作用于轧制辊缝 中切片单元上的应力均匀分布和轧 件宽展形状 为 抛物 线的条件下 ， 给 出了宽展的表 达 式 。 等〔 ” 也给 出了宽展轮廓的 数学表 达 式 。 〔 〕导 出了分析金属加工过程的 一般近 似方法 ， 并应用其预测轧制过程的宽展 。 等〔 的在忽略轧辊与轧件间摩擦的 条件下 ， 完成 了宽展的 计算 。 年 等 〔 ” 根据刚塑性体的 极值原 理 上界 法 分析了轧制过程的三维变形 。 根 据同样的原理 ， 加藤 等〔 〕进一步考虑了轧 件 侧面 的鼓形和 横断面 的翘曲 ， 改 进了 等的 结果 。 本文 根据刚塑性有限单元法 ， 采 用 节点 曲六面体等参单元对平辊轧制过程进 行分析 求得 金 属三维流动的速度场 ， 以及稳态轧制时轧件的外轮廓形状等 。 并与实验结果进 行比 较 。 本文还讨论了 用 刚塑 性有限单元法 处理这类稳态 流动问题 的方法 。 本 文 曾在北 京俐 铁学 院 建校 。 周 年科 学 研 究报 告 会上 宜 读 年 月 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1983．01．016

二、基本原理和计算方法 关于刚塑性有限单元法的基本原理以及20节点曲六面体等参单元的详细说明可参阅文 献〔11-15)。现简要叙述如下： 根据刚塑性体的广义变分原理，速度场的正确解使得泛函 Φ=Vadv-Js,TUds+∫vA&rCdv (1) 取得驻值。式中σ和6分别为等效应力和等效应变速率，T为物体表面S,上给定的外力列 阵，和U分别为应变速率列阵和速度列阵，C为矩阵。体积不可压缩条件为TC=0。对于 空间问题C=(111000)T。入为Lagrange乘子。 将连续体离散化成具有N个自由度的M个单元。则第m个单元的泛函为 -小，（号uk知）产d+λQ-F (2) 太，K=gg,Q= BTCdV; NTTdS BIN分别为单元的应变矩阵和形状函数。 可由泛函的极值条件得到关于u和入的非线性方程组。用摄动法求解。，设第·次计算的 速度场u,是由第-1次计算的速度场u。-1与微小增量△u.之和 u。=u。-1+△u. 则得到矩阵方程为 YP.-1 QT 8- (3) 其中各单元的P。-1,H-1由下式计算 3e21 H. 2 _1_b.-:dV a) e。-1 b-1=ku。-l Y为单向拉伸时的屈服应力。对于硬化材料它是ε的函数。 给定运动许可速度场的初值u。利用(3)式重复迭代计算，直至收敛，这时的速度场 即认为是正确解。 20节点曲六面体等参单元有60个自由度。在局部坐标(，门，)下，中心在原点，边 长为2的立方体单元，取其顶点及12条棱边中点为节点（图1）。 183

兰 、 基本原理和计算方法 关于刚塑性有限单元法的 基本原理 以及 节点 曲六面体等 参单元灼详细说明可参阅文 献〔 一 〕 。 现简要叙 述如 下 根据 刚塑 性体的广 义变分原 理 ， 速度场的 正 确解使得 泛函 ， 一 、 万 。 一 ’ ‘ ， “ · ‘ · 取得驻值 。 式 中 和 ‘ 分别 为等效应力和等效 应变速率 ， 为物体表面 ， 上给定 的外力 列 阵， 云和 分别 为应变速率 列阵和速度 列阵， 为矩阵 。 体积不可压缩条件 为云， 二 。 。 对 于 空 间 问 题 。 入为 乘子 。 将 连续体离 散化成具有 个 自由度 的 个单元 。 则 第 个单元 的泛 函 为 甲 《 二 ， 百 粤 · 、奋 入 · 一 ‘ ” 。 式 中 ， · 。 · ， ’ ’ ， ， ， 和 分 别 为单元 的 应变矩阵和 形状函数 。 可 由泛 函的 极值 条件得到关于 和入的非线性方程组 。 用摄动法求解 。 设第 次计算的 速度场 。 是 由第 一 次计算的速度场 一 与微 小增 量 △ 之和 。 。 一 △ 二 则 得到矩阵 方程 为 。 一 角 一 △ 勺 一 二 一 飞 厂 几 二 一 一 一 入《 ， 少 址 一 仁 夕 佑 其中各单元的 。 一 ， 一 由下 式计 算 〔 ’ 二 ， 。 一 ‘ 了 砚。 》 不 …一不万一 一 ‘ 一 …二 ￡。 一 匕 广 “ 一 ‘ 二 了、 《 一 ， 一 子一 一 一 一 二 。 一 为单向拉伸 时的 屈服应力 。 对于硬化材料它是 。 的函数 。 给定 运 动许可速度场的初值 。 利 用 式 重复迭 代计算 ， 直 至收效 。 这时的速度 场 即认 为是正 确 解 。 节点 曲六 面体等参单元 有 个自由度 。 在局 部坐 标 乙 ， 刀， 劲 下 ， 中心 在 原 点 ， 边 长为 的立 方 体单元 ， 取其顶点及 条棱边中点 为节点 图

记节点的函数值为ui,则插值函数“， 相应的形状函数N,单元的应变速事已， ⑧ 2每 多 以及计算每一单元的Q,F,P,H的十四点 7 求积公式可参阅文献C15)中的(3-6)一(3- ① 图 13)式。 @1 当轧制处于稳态过程，位于辊缝附近 的部分材料处于塑性变形区。而刚塑性体 ⑧ ⑦ 变分原理适用于全域均发生塑性变形的情 况。因此对于轧制过程应首先估计一个包 括辊缝在内的比较大的变形区。然后应用 ④ ⑤ 刚塑性有限单元法计算这个域内各点的等 图120节点曲六面体单元 效塑性应变增量de',对于de'小于某一定 值的部分即认为是不变形的刚性区。这样通过计算近似确定塑性变形区的范围，然后再在 这个塑性变形区内应用刚塑性有限单元法进行计算。 当运动许可速度场不随时间改变时，称为稳态的运动许可速度场。如果变形区内材料 的流动速度矢量为u,物体自由边界表面外法线方向为·，则材料在稳态流动时必须满足 下列两个条件： (1)ug·n=0,在变形区自由边界上 (4) (2)divu=0,在整个变形区内 (5) 第一个条件表示在自由边界上，流动速度的方向应与边界表面相切，否则即改变了自 由边界表面的形状。 为了形象地说明这一条件的几何意义，在图2中给出当材料在xy平面内流动时的部 分自由边界。图2-(a),(b)分别表示稳态与非稳态时的自由边界（图中“。”表示单元节点）。 这时，边界上一点的坐标为x,y,于是有 改变自由表面位置 速度与表面相切 (a) (b) 图2材料在xy平面濾动时的自由边界 a=dy (6) dx 和 a=arctg us (7) 其中，《为速度矢量与x轴间的夹角，u,和“.分别表示速度矢量在x,y轴上的投影。(6)， (7)式表示速度矢量的方向与边界相切。 184

记节点的 函数值为成 ， 则插值函数 ， 相应的形状函 数 ， 单元的应变速 率 云 ， 以及计算每一单元的 ， ， ， 的 十 四点 求积公 式可参阅文献〔 〕中的 一 一 式 。 当轧制 处于稳态过程 ， 位于辊缝附近 的部分材料处于塑 性变形区 。 而 刚塑性体 变分原理适 用于全域均发生塑性变形的 情 况 。 因此对于轧制过程应首先估计一个包 括辊缝在内的比较大的 变形区 。 然后应用 刚塑性有限单元法计算这个域内各点的 等 效塑 性应变增量 。 护 ， 对于 。 ’ 小于某一定 对⑦ 专， 月 ， 沪 一 一 少 图 。 节点 曲六 面体单元 值的部分 即认 为是不变形的 刚性区 。 这样通过计算近似确定塑性变形区 的范围 ， 然后再在 这个塑性变形区 内应用 刚塑性有限单元法进行计算 。 当运动许可速度场不随 时间改 变时 ， 称 为稳态 的运动许可速度场 。 如果变形 区 内材料 的 流动速度矢蚤 为 ， 物体 自由边界表面外法线方向为 ， 则 材料在稳态 流动时必须 满 足 下列两 个条件 · 二 ， 在变形区 自由边界 上 ， 在整个变形区 内 第一个条件表示在 自由边界上 ， 流动速度的方向应与边界表面相切 ， 否则即改变了 自 由边界表面 的形状 。 为了形象地说明 这一条件的几何 意 义 ， 在图 中给 出当材料在 平面 内流动 时 的 部 分 自由边界 。 图 一 ， 分别表示稳态 与非 稳态时 的 自由边界 图 中 “ 。 ” 表示单元节点 。 这时 ， 边界 上一点的坐标 为 ， ， 于是有 速度与表面相切 图 材 料 在 平 面 流 动 时的 自由边 界 卫里 ‘ 止』二 ， 其 中 ， 。 为速度矢量与 轴间 的夹角， ， 、 和 。 二 分别表示 速度矢 量在 ， 轴上的投影 。 式表 示速度矢量的方向与边界相切

第二个条件(5)式)表示体积不可压缩条件。对于变形区内任一封闭曲面，单位时间 内流入这个域中的材料与流出的材料相等。 对于轧制过程的宽展问题，由于事先并不知道整个变形区的外轮廓，需要通过计算才 能求得。现采用将轧件逐步送入辊缝的办法进行计算。现考虑矩形断面轧件在轧制过程的 宽展问题。由于断面上下，左右对称，今取轧件的1/4进行计算（如图3所示。图中“.”为单 元节点)。轧件的宽度（红方向）在刚性区为一常量。当轧件产生塑性变形的部分，通过计算 求出边界上各点的速度，然后由此速度求得△t时刻后自由边界的形状。 图3计算的1/4部分轧件以及单元的划分 图4，改变自由边界形状具体作法的图示 图4为当材料在平面内流动时，改变自由边界形状具体作法的图示。首先求出各节点 的速度，然后求出通过这些节点的边界外法线方向。将速度矢量投影到外法线方向上，作 为这些节点的位移值。依此，直到满足(4)，（5)式为止，使认为达到稳态的流动过程， 这时通过各节点的边界便是稳态轧制时轧件的外轮廓形状。 对于三维流动过程，为了求得边界上各节点的位移值，可以通过下列步骤进行计算。 1,求边界面上的法线、 设自由流动的边界面在局部坐标系中，其方程为=1。因而在整体坐标系中，其参 数方程为 X=X(1,n,5) Y=Y(1,n,5) (8) Z=Z(1,n,5) 它在任一点处的切平面是由两个切矢量 (器，川 (9) (0器，费 dy dz 所组成。空问曲面上一点的切平面由矢量积所确定，即 i jk ax dy az (10) r:xr:= an an an ax dy dz aE agag 其中i,j,k分别表示沿x,y,z轴方向的单位矢量。于是有 r1-〔（新股-}）》+（新股-0六）》 +(器-经)门 185

第二个条件 式 表示体积不可压缩条件 。 对于变形区 内任一封闭 曲面 ， 单位时间 内流人这个域 中的材料与 流 出的材料相 等 。 对于轧制过程的宽展问题 ， 由于事先并不知道整个变形 区的外轮廓 ， 需要通 过计算才 能求得 。 现采用将轧件逐步 送人辊缝 的办法进 行计算 。 现考虑矩形断面 轧件在 轧制过程的 宽展 问 题 。 由于断面上 下 ， 左右对 称 ， 今取 轧件的 进 行计算 如 图 所示 。 图 中 “ ” 为单 元节点 。 轧件 的 宽度 方 向 在 刚性 区 为一常量 。 当轧件 产 生塑性变形的部分 ， 通过计算 求 出边界上各点的速度 ， 然后 由此速度求得 △ 时刻后 自由边界的形 状 。 图 计 算 的 部分轧 件 以 及 单元 的划 分 图 改变 自由边 界 形 状其 体作 法的 图示 图 为当材料在 平面 内流动时 ， 改 变 自由边界形状具体作法的图示 。 首先求 出各节点 的速度 ， 然 后求 出通 过 这些 节点的边 界外法线方向 。 将 速度矢 量投 影到外法线方 向 上 ， 作 为这些 节点的位移值 。 依此 ， 直到满足 ， ‘ 式 为止 ， 便认 为达到 稳态 的 流动过 程 ， 这时通过各节点的 边 界便是稳态 轧制时 轧件的外轮廓形状 。 对于三 维流动过 程 ， 为了 求得 边 界上各节点 的位移值 ， 可 以通过下 列步骤进 行计算 。 求边界面上 的法线 、 设 自由流动的 边界 面在局 部坐标 系 中 ， 其方程 为叠 。 因而在整体坐 标系 中 ， 其 参 数方程 为 二 ， ” ， 妇 二 ， ” ， 乙 一 ， ” ， 乙 它在任 一点 处 的切平面是 由两个切矢 量 、 争… 尹 了理 口刀 胜、 口刀 、尸， 一打。。 ‘ 了 一 旦兰 、 口乙 日刀 卫多 、 口乙 所组成 即 。 空 间 曲面 上一点 的切 平面 由矢 量 积所确定 ， 三区止丝 一 刁冲 刀 刁 口雪 刁二 日雪 一刀 ‘ ‘ 口一 ， 其中苗 ， ， 分别表示沿 ， ， ‘ ， 轴方 向的单位矢 量 。 于是有 〔 斋贵 一 斋斋 ’ · 斋噜普 一 贵斋 “ 斋 一器 一 贵 一 瓢 〕 一卜

=V√EG-Fi (11) 这里简记 E=()+(》+() F(新股+器+) ana能+na证 G=()+()+() 则边界表面外法线方向为 (dy dz dy dz aa证-aan rxrt az ax az dx n=- xr=VFG-F2 ama正-atam (12) dx ay ax dy lana证ta前) 2,求速度矢置u在边界表面外法线上的投影 边界表面外法线与速度矢量间夹角的余弦为 cos (u,n)= u.n (13) 于是可以求得u在n上的投影 u.=ucos (u,n).n=(u.n).n (14) 三、计算实例以及与实验结果的比较 本文计算了在辊径为101.6mm轧机上轧制断面为9.525×9.525mm2铅条的情况。 轧后铅条厚度为7.366mm,压下率为22.6%。这样的轧制过程可以模拟热轧方钢的情况。 假设轧辊与轧件间为粘着摩擦，轧件为理想刚塑性材料。根据对称条件，取轧件的1/4进 行计算。其边界条件为（见图3）： X=0面上，u,=0 Z=0面上，“，=0 |Y=0和A面上，u,常数， Y方向的合力ΣT,=0 与轧辊接触面上，u.=0,“/u,=tga, 即轧件速度与轧辊表面相切， 且有√u,2十u,2=“R (“.为轧辊表面速度) (其他为自由表面 必须指出的是，在Y=0和A面上，应认为两侧的刚性区对变形区有约束作用，所以 ,必须为一定值，但在无前后张力轧制时，应使轧制方向的合力工Ty=0。在计算时可 先给定在这两个界面上的“，值的初始设定速度场。计算出收饮的速度场厅，再求界面上 186

亿豆乙二了 这里简记 些竺、 口刀 斋 ’ 爵 口 日 口 乡 十 不 万 十 一 而 刁万 一此 刀 ﹃口 了卫兰、 口乙 口 十 吸 一万 一犷 叫 刀 、 口 与 ，一 口 不三一 、 口 刀工 丹 则边界表面外 法线方向为 、 ‘ 冲一甘 ︸一」刁 丝 口叮 尸 口一口一﹄﹄户﹄‘‘ 一 一 乡区 此此办 业助 一‘ ’ ‘ “ 一 斌一一 ’ 口叮 口心 求速度矢 在边界表面外法线上 的投影 边界表面外法线与速度矢量间 夹角的 余弦为 ， 二 回 于是可以求得 在 的投影 二 ， · · · 咬 三 、 计算实例以及与实验结果的比较 本文计算了在辊径 为飞 轧机 上 轧 制 断面 为 ，饥 条的 情 况 。 轧后铅条厚度为 ， 压下 率 为 。 这样的 轧制 过 程 可 以模拟热 轧方钢的情 况 。 假 设 轧辊与 轧件 间 为粘着摩擦 ， 轧件 为理想刚塑性材料 。 根据对称条件 ， 取轧件 的 进 行计算 。 其边 界条件为 见图 。 甘 一 矛 面上 ， 。 面 上 ， ， 和 面上 ， ， 常数 ， 方向的合力艺 ， 。 与轧辊 接触面上 ， ， ， 。 ， 即轧件速度与轧辊表面相切 ， 且有亿 ， “ ， 二 ， 为轧辊表面速度 其他 为自由表面 、 必须指出的是 ， 在 和 面上 ， 应认 为两侧的 刚性 区对变形区有约束作 用 ， 所 以 ，， 必 须 为一定 值 ， 但在 无前后张力轧制 时 ， 应使 轧制方向的合 力 。 在计 算 时可 先给定在这两个界 面上的 ” 值的初始设定速度场 。 计算 出收欺的速度场后 ， 再求 界 面 上 飞冬