基于改进CV模型的金相图像分割

工程科学学报，第39卷，第12期：1866-1873,2017年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.12:1866-1873,December 2017 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2017.12.013;http://journals..ustb.edu.cn 基于改进CV模型的金相图像分割 倪 康”，吴一全12)区，韩斌” 1)南京航空航天大学电子信息工程学院，南京2111062)北京科技大学新金属材料国家重点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:nuaaimage(@163.com 摘要对金相图像进行快速精确分割是金相晶粒评级的关键步骤，利用传统Chan-Vse(CV)模型很难将晶粒精确地提取 出来.为了更加精确地对金相图像进行分割，提出一种基于改进CV模型的金相图像分割方法.初始化水平集函数，对曲线 内外两部分分别计算其倒数坎贝拉距离，并将该距离的大小作为拟合中心的权重系数，有效抑制了噪声点对区域拟合中心准 确性的影响：引入指数熵自适应调节曲线内外能量权重，减少固定能量权重对曲线演化的影响：同时加入距离规范项以避免 水平集函数的重新初始化，加速该模型的收敛.实验结果表明，与传统CV模型、测地线活动轮廓模型、距离规范项的水平集 模型以及偏置场修正水平集模型相比，所提方法分割出的金相图像更加精确，分割效率较高且模型收敛性较好. 关键词金相图像分割：晶粒评级；Chan一Vese模型：水平集：倒数坎贝拉距离：指数熵 分类号TG115.21:TP391.41 Segmentation of metallographic images based on improved CV model VI Kang'”,WUi-uan2》a,HAN Bin》 1)College of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 211106,China 2)State Key Laboratory for Advanced Metals and Materials,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:nuaaimage@163.com ABSTRACT The segmentation of metallographic images plays a key role in grain grading,but it is difficult to extract grains accu- rately using the traditional Chan-Vese (CV)model.To segment metallographic images more accurately,a metallographic image seg- mentation method based on an improved CV model was proposed.First,the level set function was initialized,and its reciprocal Can- berra distance from inside and outside the curve was calculated.Then,these distances were used as weight coefficients of the fitting centers to restrain the influence of noise points on their accuracy.In addition,adding exponential entropy to adjust the energy inside and outside the curve reduces the influence of the fixed energy weight on the evolution of the curve.Lastly,to accelerate the conver- gence of the model,a distance-regularized term was introduced to avoid re-initialization of the level set function.The experimental re- sults show that,compared with the traditional CV model,the geodesic active contour model,the distance-regularized level set evolu- tion model,and the bias level correction level set model,the segmentation of the metallographic images based on the proposed model is more accurate and efficient,and the proposed model has better convergence. KEY WORDS segmentation of metallographic image:grain grading:CV model:level set:reciprocal Canberra distance:exponen- tial entropy 金相分析0是通过观察金属结构的微观组织结构 些结构特征对金属材料的性能评估将造成较大的影 来确定该微观组织结构与宏观性能之间关系的技术. 响.传统的金相分析技术利用人工观察金相图，通过 金相晶粒形状各异、大小不同、排列顺序错综复杂，这 经验来确定晶粒的形状、大小等结构特征，并以此判定 收稿日期：201703-02 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61573183)：新金属材料国家重点实验室开放基金资助项目(2014-Z07)

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期: 1866--1873，2017 年 12 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 12: 1866--1873，December 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 12． 013; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于改进 CV 模型的金相图像分割 倪 康1) ，吴一全1，2) ，韩 斌1) 1) 南京航空航天大学电子信息工程学院，南京 211106 2) 北京科技大学新金属材料国家重点实验室，北京 100083 通信作者，E-mail: nuaaimage@ 163． com 摘 要 对金相图像进行快速精确分割是金相晶粒评级的关键步骤，利用传统 Chan--Vese( CV) 模型很难将晶粒精确地提取 出来． 为了更加精确地对金相图像进行分割，提出一种基于改进 CV 模型的金相图像分割方法． 初始化水平集函数，对曲线 内外两部分分别计算其倒数坎贝拉距离，并将该距离的大小作为拟合中心的权重系数，有效抑制了噪声点对区域拟合中心准 确性的影响; 引入指数熵自适应调节曲线内外能量权重，减少固定能量权重对曲线演化的影响; 同时加入距离规范项以避免 水平集函数的重新初始化，加速该模型的收敛． 实验结果表明，与传统 CV 模型、测地线活动轮廓模型、距离规范项的水平集 模型以及偏置场修正水平集模型相比，所提方法分割出的金相图像更加精确，分割效率较高且模型收敛性较好． 关键词 金相图像分割; 晶粒评级; Chan--Vese 模型; 水平集; 倒数坎贝拉距离; 指数熵 分类号 TG115. 21; TP391. 41 Segmentation of metallographic images based on improved CV model NI Kang1) ，WU Yi-quan1，2)  ，HAN Bin1) 1) College of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 211106，China 2) State Key Laboratory for Advanced Metals and Materials，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: nuaaimage@ 163． com ABSTＲACT The segmentation of metallographic images plays a key role in grain grading，but it is difficult to extract grains accu￾rately using the traditional Chan--Vese ( CV) model． To segment metallographic images more accurately，a metallographic image seg￾mentation method based on an improved CV model was proposed． First，the level set function was initialized，and its reciprocal Can￾berra distance from inside and outside the curve was calculated． Then，these distances were used as weight coefficients of the fitting centers to restrain the influence of noise points on their accuracy． In addition，adding exponential entropy to adjust the energy inside and outside the curve reduces the influence of the fixed energy weight on the evolution of the curve． Lastly，to accelerate the conver￾gence of the model，a distance-regularized term was introduced to avoid re-initialization of the level set function． The experimental re￾sults show that，compared with the traditional CV model，the geodesic active contour model，the distance-regularized level set evolu￾tion model，and the bias level correction level set model，the segmentation of the metallographic images based on the proposed model is more accurate and efficient，and the proposed model has better convergence． KEY WOＲDS segmentation of metallographic image; grain grading; CV model; level set; reciprocal Canberra distance; exponen￾tial entropy 收稿日期: 2017--03--02 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61573183) ; 新金属材料国家重点实验室开放基金资助项目( 2014--Z07) 金相分析［1］是通过观察金属结构的微观组织结构 来确定该微观组织结构与宏观性能之间关系的技术． 金相晶粒形状各异、大小不同、排列顺序错综复杂，这 些结构特征对金属材料的性能评估将造成较大的影 响． 传统的金相分析技术利用人工观察金相图，通过 经验来确定晶粒的形状、大小等结构特征，并以此判定

倪康等：基于改进CV模型的金相图像分割 ·1867· 金相晶粒的等级，该技术分析效率低，工作人员劳动强 程度的提高，但该模型中计算拟合中心采用像素灰度 度大.光学和电子显微镜的出现，使得数字图像处理 值的算术平均，忽略了区域中每个像素点与拟合中心 技术在金相分析领域的应用成为了可能.数字图像处 的相关性，容易造成误分割. 理技术应用在金相分析领域不仅可以进行客观的定量 为增强区域内像素点与拟合中心的相关性，提高 分析与研究，也可以提高金相分析效率. 拟合中心的准确性，以便更加精确地进行金相图像分 对金相图像进行自动分割是进行晶粒评级的重要 割，本文提出一种利用倒数坎贝拉距离和指数熵改进 步骤四，是对显微组织结构进行分析的前提与基础. CV模型的金相图像分割方法.首先初始化水平集函 金相图像存在晶粒形状各异，灰度变化大、噪声影响严 数，对曲线内外两部分分别计算其倒数坎贝拉距离，并 重等特点，因此对金相图像进行精确分割是一项较困 将该距离的大小作为拟合中心的权重系数，有效抑制 难的工作.目前应用于金相图像分割的方法有数学形 了噪声点对区域拟合中心准确性的影响：引入指数熵 态学法田、阈值分割法田等.数学形态学金相图像分 自适应调节曲线内外能量权重，减少固定能量权重对 割方法不能够自动处理金相图像拓扑结构的变化，因 曲线演化的影响；同时加入距离规范项以避免水平集 此分割结果不精确：阈值分割金相图像分割方法具有 函数的重新初始化，加速该模型的收敛.将本文模型 计算简单、速度快等优点，但对灰度变化较大的金相图 与传统CV模型可、测地线活动轮廓模型田、距离规范 像而言，阈值的选取较为困难，故很难精确分割出金相 项水平集模型☒、偏置场修正水平集模型相比， 图像. 本文方法分割出的金相图像更加精确，分割效率较高 近年来，主动轮廓模型已广泛应用于图像分割领 且模型收敛性较好 域，并获得了较好的分割效果.2001年，在简化Mum- ford-Shh模型的基础上，Chan和Vese等B-o提出了 1CV模型原理 CV模型.该模型具有对演化曲线初始位置不敏感、能 Mumford--Shah模型的是寻找一个可以将图像分 自动处理图像拓扑结构变化等特点，但存在迭代次数 割成为不相重叠区域的最优轮廓C,其能量泛函如下： 多、需不断重新初始化水平集函数等缺点.文献6]将 能量惩罚项引入到CV模型的能量泛函中，从而避免 F(u(x,),C）=Anu(x,9）-l(x,]'ddy+ 了CV模型需要不断重新初始化的问题，提高了曲线 B le IVu(x,）Idd+wlCL. (1) 演化的速度，但该模型对噪声点的抑制效果较差.局 式中，ICI为轮廓C的长度，AB、v为调节系数，I(x, 部邻域能量的引入能够减小噪声点对曲线演化的影 y)、u(x,y)分别为定义在2上的原始图像与分割后图 响，文献b]提出了基于KL(Kullback-Leibler)距离加 像像素点的灰度，7u(x,y)为分割后图像的梯度表达 权和局部邻域信息的CV模型，引入KL距离替代目标 式，第二项可以保证“(x,y)尽可能的光滑，为分片光 与背景区域能量函数的权值，并计算曲线上各点的局 滑函数，2/C可以保证该项在边缘取较大的值.最小 部邻域能量作为模型的内部能量，该模型对噪声点的 化式(1)可得到原图像I的最优轮廓，图像u由轮廓C 抑制效果较好，但分割速度较慢.自适应地调整曲线 分割而成，且其连通区域内是平滑的.实际情况下，因 内外能量函数的权值在一定程度上能够加快曲线的演 初始轮廓的不确定性以及能量泛函的非凸性，使得最 化速度，文献⑧]提出基于图像熵的CV模型分割算 小化该能量泛函极其困难。 法，该算法通过计算曲线内外灰度熵替代目标与背景 Chan和Vese在简化Mumford-Shah模型的基础上 区域能量函数的权值，提高了算法的分割速度，但灰度 变化差异过大易造成演化曲线的局部最优，进而导致 提出了CV模型.CV模型假设图像为分片常值函数， 分割结果的不准确，为此文献P]提出一种基于熵约 以最小化区域内像素点灰度差异来分割图像.在图像 束的主动轮廓模型，以相对熵的形式构建目标与背景 空间2中，CV模型的能量泛函6-切为： 区域灰度强度的测量误差，该模型为曲线演化提供了 F(c,c2,C)=L(C)+A(C)+ 全局指导，能够较好地避免局部最优，在灰度变化较大 A1(1(x,y）-G)2dxdy+ 的图像区域也能够较精确地进行分割，且曲线演化速 A()c)'ddy (2) 度也得到了相应的提高，但该模型对图像边缘的分割 效果较差.为改善这一现象，文献山0]通过添加边缘 式中，μ、为光滑项权重系数，L(C)表示演化曲线的长 能量信息，有效克服了区域内部灰度不均的影响，提高 度：A(C)表示演化曲线包含区域的面积；入、入2分别 了模型对图像边缘信息的刻画能力：同时增加距离规 表示演化曲线内外区域能量参数：2。和2分别表示 范项以避免水平集演化过程中的重新初始化问题.该 曲线内部与外部的图像区域：c,和c,分别表示曲线内 模型对初始轮廓不敏感，曲线的演化速度得到了较大 部与外部区域的灰度均值，也可称为拟合中心.当且

倪 康等: 基于改进 CV 模型的金相图像分割 金相晶粒的等级，该技术分析效率低，工作人员劳动强 度大． 光学和电子显微镜的出现，使得数字图像处理 技术在金相分析领域的应用成为了可能． 数字图像处 理技术应用在金相分析领域不仅可以进行客观的定量 分析与研究，也可以提高金相分析效率． 对金相图像进行自动分割是进行晶粒评级的重要 步骤［2］，是对显微组织结构进行分析的前提与基础． 金相图像存在晶粒形状各异，灰度变化大、噪声影响严 重等特点，因此对金相图像进行精确分割是一项较困 难的工作． 目前应用于金相图像分割的方法有数学形 态学法［3］、阈值分割法［4］等． 数学形态学金相图像分 割方法不能够自动处理金相图像拓扑结构的变化，因 此分割结果不精确; 阈值分割金相图像分割方法具有 计算简单、速度快等优点，但对灰度变化较大的金相图 像而言，阈值的选取较为困难，故很难精确分割出金相 图像． 近年来，主动轮廓模型已广泛应用于图像分割领 域，并获得了较好的分割效果． 2001 年，在简化 Mum￾ford--Shah 模型的基础上，Chan 和 Vese 等［5--10］提出了 CV 模型． 该模型具有对演化曲线初始位置不敏感、能 自动处理图像拓扑结构变化等特点，但存在迭代次数 多、需不断重新初始化水平集函数等缺点． 文献［6］将 能量惩罚项引入到 CV 模型的能量泛函中，从而避免 了 CV 模型需要不断重新初始化的问题，提高了曲线 演化的速度，但该模型对噪声点的抑制效果较差． 局 部邻域能量的引入能够减小噪声点对曲线演化的影 响，文献［7］提出了基于 KL( Kullback--Leibler) 距离加 权和局部邻域信息的 CV 模型，引入 KL 距离替代目标 与背景区域能量函数的权值，并计算曲线上各点的局 部邻域能量作为模型的内部能量，该模型对噪声点的 抑制效果较好，但分割速度较慢． 自适应地调整曲线 内外能量函数的权值在一定程度上能够加快曲线的演 化速度，文献［8］提出基于图像熵的 CV 模型分割算 法，该算法通过计算曲线内外灰度熵替代目标与背景 区域能量函数的权值，提高了算法的分割速度，但灰度 变化差异过大易造成演化曲线的局部最优，进而导致 分割结果的不准确，为此文献［9］提出一种基于熵约 束的主动轮廓模型，以相对熵的形式构建目标与背景 区域灰度强度的测量误差，该模型为曲线演化提供了 全局指导，能够较好地避免局部最优，在灰度变化较大 的图像区域也能够较精确地进行分割，且曲线演化速 度也得到了相应的提高，但该模型对图像边缘的分割 效果较差． 为改善这一现象，文献［10］通过添加边缘 能量信息，有效克服了区域内部灰度不均的影响，提高 了模型对图像边缘信息的刻画能力; 同时增加距离规 范项以避免水平集演化过程中的重新初始化问题． 该 模型对初始轮廓不敏感，曲线的演化速度得到了较大 程度的提高，但该模型中计算拟合中心采用像素灰度 值的算术平均，忽略了区域中每个像素点与拟合中心 的相关性，容易造成误分割． 为增强区域内像素点与拟合中心的相关性，提高 拟合中心的准确性，以便更加精确地进行金相图像分 割，本文提出一种利用倒数坎贝拉距离和指数熵改进 CV 模型的金相图像分割方法． 首先初始化水平集函 数，对曲线内外两部分分别计算其倒数坎贝拉距离，并 将该距离的大小作为拟合中心的权重系数，有效抑制 了噪声点对区域拟合中心准确性的影响; 引入指数熵 自适应调节曲线内外能量权重，减少固定能量权重对 曲线演化的影响; 同时加入距离规范项以避免水平集 函数的重新初始化，加速该模型的收敛． 将本文模型 与传统 CV 模型［5］、测地线活动轮廓模型［11］、距离规范 项水平集模型［12］、偏置场修正水平集模型［13--14］相比， 本文方法分割出的金相图像更加精确，分割效率较高 且模型收敛性较好． 1 CV 模型原理 Mumford--Shah 模型［15］是寻找一个可以将图像分 割成为不相重叠区域的最优轮廓 C，其能量泛函如下: FM ( u( x，y) ，C) = λ ∫Ω ［u( x，y) － I( x，y) ］2 dxdy + β ∫Ω/C | Δ u( x，y) | 2 dxdy + ν | C| ． ( 1) 式中，| C | 为轮廓 C 的长度，λ、β、ν 为调节系数，I( x， y) 、u( x，y) 分别为定义在 Ω 上的原始图像与分割后图 像像素点的灰度， Δ u( x，y) 为分割后图像的梯度表达 式，第二项可以保证 u( x，y) 尽可能的光滑，为分片光 滑函数，Ω/C 可以保证该项在边缘取较大的值． 最小 化式( 1) 可得到原图像 I 的最优轮廓，图像 u 由轮廓 C 分割而成，且其连通区域内是平滑的． 实际情况下，因 初始轮廓的不确定性以及能量泛函的非凸性，使得最 小化该能量泛函极其困难． Chan 和 Vese 在简化 Mumford--Shah 模型的基础上 提出了 CV 模型． CV 模型假设图像为分片常值函数， 以最小化区域内像素点灰度差异来分割图像． 在图像 空间 Ω 中，CV 模型的能量泛函［16--17］为: F( c1，c2，C) = μ·L( C) + v·A( C) + λ1 ∫Ωo ( I( x，y) － c1 ) 2 dxdy + λ2 ∫Ωb ( I( x，y) － c2 ) 2 dxdy． ( 2) 式中，μ、v 为光滑项权重系数，L( C) 表示演化曲线的长 度; A( C) 表示演化曲线包含区域的面积; λ1、λ2 分别 表示演化曲线内外区域能量参数; Ωo 和 Ωb 分别表示 曲线内部与外部的图像区域; c1 和 c2 分别表示曲线内 部与外部区域的灰度均值，也可称为拟合中心． 当且 · 7681 ·

·1868· 工程科学学报，第39卷，第12期 仅当演化曲线运动至目标边缘时，该能量泛函取最小 设置固定的迭代次数，通过迭代法不断更新水平集函 值，于是图像分割问题转化为能量泛函求最小值的问题 数中，更新完成后，提取更新后水平集函数的零水平 在这里，引入水平集函数中表示上述能量泛函， 集，可得到最终的闭合活动轮廓，即为分割后的图像 能量泛函的最小化转化为水平集演化方程的求 解8-四.水平集演化方程的解可以看作是高一维空间 2模型基本原理 中零水平集的演化.通常情况下选取符号距离函数 2.1区域拟合中心的改进 (signed distance function,SDF)中(x,y)作为水平集 上述传统CV模型拟合中心C1c分别为曲线内 函数： 部与曲线外部图像区域灰度均值，该计算方式默认每 r +d, (x,y）∈2： 个像素点相对于拟合中心的影响是相同的，并没有充 b(x,y)=0, (x,y）∈C: (3) 分考虑区域中每个像素点与拟合中心的相关性.这样 -d, (x,y）∈2 必然会导致最终分割结果的不准确，特别是当像素点 式中，d为高维空间点到水平集的距离，将式(3)代入 位于边界上，其灰度值与拟合中心大小基本相等，可能 式(2)得 会导致分割失效.为减少这类相关性对图像分割效果 的影响.本文引入自适应权值k,(x,y)、k2(x,y)描述 F(cc:C)=)IVoldd+()ddy+ 区域内每个像素点与拟合中心的相关性，有效抑制噪 ax,）-c]Ho)ddy+ 声点对区域拟合中心准确性的影响。在此，选用倒数 坎贝拉距离计算k(x,y）、k2(x,y): x,）-c]20-Ho]dd. (4) 11(x,y)I +lcl [k (x,y)= II(x,y)-cI 式中，H(中)表示理想阶跃函数，H(中)表示Dirac函 (9) 数，可利用式(5)、(6)进行数值运算. k2(x,y）= I(x,y)I+lc2l II(x,y)-c2l H)-+品mm(会)小 (5) 当区域像素点灰度值I(x,y)与拟合中心c,相近 时，1I(x,y)-c1I的值越小，则k(x,y)的值越大，代表 (6) 该像素值与拟合中心的相关性较强：反之，若区域像素 值I(x,y）与拟合中心c,较远时，1I(x,y）-c,I的值越 式中，e为常数.固定水平集函数中，分别求F(c,c2, C)关于c1和c2的偏微分方程，令其偏微分方程为0， 大，则k(x,y)的值越小，代表该像素点与拟合中心的 相关性较弱.分子1I(x,y)1+Ic,I的数值大小随拟合 可得： 中心的变化而变化，与分子为固定数值的分式相比，式 I(x,y)H(Φ)dxdy (9)更能精确地描述每个像素点与拟合中心的相关 C1= 性：另外，噪声点往往与拟合中心的灰度值相差较大， H()dxdy (7) 给予较小的权重，有效地抑制了噪声点对区域拟合中 [I(x,y)(1-H(Φ))ddy 心准确性的影响.由于像素灰度值与拟合中心相等会 C2 造成k（x,y)、k2(x,y)分母为零，算式无意义，故在其 (dsdy 分母处添加常数a,本文a取10-，则k1(x,y）3(x, 把泛函求极值的问题转化为变分问题，根据变分 y)的计算公式为： 法的基本引理，将一维变分问题拓展到二维变分，可得 II(x,y)I+lcI Tk(x,y）=7 其Ee方程站但是由于变分法推导出来 I(x,y）-G1+al' (10) 11(x,y)1+Ic21 的偏微分方程求解方式多种多样，通常情况下，先把 k,(x,）=7x,y)-6+a Euler-Lagrange方程改写为梯度下降方程，继而进行求 归一化自适应权值，若曲线内外像素点总数分别为m、 解.所谓梯度下降法即为引入时间变量t(t≥0)，把求 n,则像素点I(x,y)归一化后的自适应权值d,(x,y)、 得的上山e一gage方程的饲题转化为求兰-器稳定 d2(x,y)可表示为： at k(x,y） d1(x,y)=- 解的问题，继而可得偏微分方程： ∑片(xy） 曾=Hro{(路)-- (11) h2(x,y） d2(x,y）=- A(x,)-c]2+20(x,)-6]2} (8) ∑(x,y)

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 仅当演化曲线运动至目标边缘时，该能量泛函取最小 值，于是图像分割问题转化为能量泛函求最小值的问题． 在这里，引入水平集函数  表示上述能量泛函， 能量 泛 函 的 最 小 化 转 化 为 水 平 集 演 化 方 程 的 求 解［18--22］． 水平集演化方程的解可以看作是高一维空间 中零水平集的演化． 通常情况下选取符号距离函数 ( signed distance function，SDF) ( x，y) 作 为 水 平 集 函数: ( x，y) = + d， ( x，y) ∈Ωo ; 0， ( x，y) ∈C; － d， ( x，y) ∈Ωb { ． ( 3) 式中，d 为高维空间点到水平集的距离，将式( 3) 代入 式( 2) 得 F( c1，c2，C) = μ ∫Ω H'( ) | Δ | dxdy + v ∫Ω H( ) dxdy + λ1 ∫Ωo ［I( x，y) － c1 ］2 H( ) dxdy + λ2 ∫Ωb ［I( x，y) － c2 ］2 ［1 － H( ) ］dxdy． ( 4) 式中，H( ) 表示理想阶跃函数，H' ( ) 表示 Dirac 函 数，可利用式( 5) 、( 6) 进行数值运算． H( ) = [ 1 2 1 + 2 π ( arctan  ) ] ε ， ( 5) H'( ) = 1 π · ε ε2 + 2 ． ( 6) 式中，ε 为常数． 固定水平集函数 ，分别求 F( c1，c2， C) 关于 c1 和 c2 的偏微分方程，令其偏微分方程为 0， 可得: c1 = ∫Ωo I( x，y) H( ) dxdy ∫Ωo H( ) dxdy ， c2 = ∫Ωb I( x，y) ( 1 － H( ) ) dxdy ∫Ωb ( 1 － H( ) ) dxdy          ． ( 7) 把泛函求极值的问题转化为变分问题，根据变分 法的基本引理，将一维变分问题拓展到二维变分，可得 其 Euler--Lagrange 方程F  ． 但是由于变分法推导出来 的偏微分方程求解方式多种多样，通常情况下，先把 Euler--Lagrange 方程改写为梯度下降方程，继而进行求 解． 所谓梯度下降法即为引入时间变量 t( t≥0) ，把求 得的 Euler--Lagrange 方程的问题转化为求 t = F 稳定 解的问题，继而可得偏微分方程:  t = H'( ) { μ ( div Δ  | Δ  ) | － v － λ1 ［I( x，y) － c1］2 + λ2 ［I( x，y) － c2］ }2 ． ( 8) 设置固定的迭代次数，通过迭代法不断更新水平集函 数 ，更新完成后，提取更新后水平集函数的零水平 集，可得到最终的闭合活动轮廓，即为分割后的图像． 2 模型基本原理 2. 1 区域拟合中心的改进 上述传统 CV 模型拟合中心 c1、c2 分别为曲线内 部与曲线外部图像区域灰度均值，该计算方式默认每 个像素点相对于拟合中心的影响是相同的，并没有充 分考虑区域中每个像素点与拟合中心的相关性． 这样 必然会导致最终分割结果的不准确，特别是当像素点 位于边界上，其灰度值与拟合中心大小基本相等，可能 会导致分割失效． 为减少这类相关性对图像分割效果 的影响． 本文引入自适应权值 k1 ( x，y) 、k2 ( x，y) 描述 区域内每个像素点与拟合中心的相关性，有效抑制噪 声点对区域拟合中心准确性的影响． 在此，选用倒数 坎贝拉距离计算 k1 ( x，y) 、k2 ( x，y) : k1 ( x，y) = | I( x，y) | + |c1 | | I( x，y) － c1 | ， k2 ( x，y) = | I( x，y) | + |c2 | | I( x，y) － c2 | { ． ( 9) 当区域像素点灰度值 I( x，y) 与拟合中心 c1 相近 时，| I( x，y) － c1 | 的值越小，则 k1 ( x，y) 的值越大，代表 该像素值与拟合中心的相关性较强; 反之，若区域像素 值 I( x，y) 与拟合中心 c1 较远时，| I( x，y) － c1 | 的值越 大，则 k1 ( x，y) 的值越小，代表该像素点与拟合中心的 相关性较弱． 分子 | I( x，y) | + | c1 | 的数值大小随拟合 中心的变化而变化，与分子为固定数值的分式相比，式 ( 9) 更能精确地描述每个像素点与拟合中心的相关 性; 另外，噪声点往往与拟合中心的灰度值相差较大， 给予较小的权重，有效地抑制了噪声点对区域拟合中 心准确性的影响． 由于像素灰度值与拟合中心相等会 造成 k1 ( x，y) 、k2 ( x，y) 分母为零，算式无意义，故在其 分母处添加常数 a，本文 a 取10 － 1，则 k1 ( x，y) 、k2 ( x， y) 的计算公式为: k1 ( x，y) = | I( x，y) | + |c1 | | I( x，y) － c1 + a | ， k2 ( x，y) = | I( x，y) | + |c2 | | I( x，y) － c2 + a | { ． ( 10) 归一化自适应权值，若曲线内外像素点总数分别为 m、 n，则像素点 I( x，y) 归一化后的自适应权值 d1 ( x，y) 、 d2 ( x，y) 可表示为: d1 ( x，y) = k1 ( x，y) ∑ m i = 1 ki 1 ( x，y) ， d2 ( x，y) = k2 ( x，y) ∑ n i = 1 ki 2 ( x，y)        ． ( 11) · 8681 ·

倪康等：基于改进CV模型的金相图像分割 ·1869· 式中，小 ,(x,y）表示曲线内外所有像 F(E,E2,6,62,C)= 素点自适应权值的总和，最后，通过倒数坎贝拉距离加 (I6ldxdy+()dady+ 权得到的拟合中心计算公式为： E()H()ddy+ d(x,y）I(x,y)H(Φ)drdy 6k6x,）-8]0-Hw]dd,(16) H(Φ)dxdy 根据变分原理和梯度下降法，增加时间变量1(1≥0)， (12) nd,(x,y）1(x,》d-H(]ddy 最小化改进后的能量泛函，可得其偏微分方程： δ2= ]dxdy 曾=Hro[(路)-- 改进后的能量泛函表达式为： E0(x,)-6]2+E20(x,）-6,]2].(17) F(8,,82,C)=uH()Ildxdy+ 2.3带距离规范项的CV模型 水平集在演化过程中会变得不规则而影响水平集 dxdy+)dxdy+ 演化过程，为改善这一问题，通常情况下引入重新初始 化的方法，即通过具有一定周期的演化，将不规则的演 (x,）-a]0-H(]dd. (13) 化方程重新塑造为符号距离函数.但水平集的重新初 引入时间变量(t≥0)，把求得的Euler--Lagrange方程 始化有可能使得零水平集偏离正确位置，且增加了水 的问题转化为求曾。一那急定解的问慝，鞋而可得偏 平集的演化时间，本文引入距离规范项以避免水平集 的重新初始化. 微分方程： 添加距离规范项的能量函数可表示为： =Hro)[dr()--AU-8+ F(E,E2,6,82,C)=F(E1,E2,8,d2,C)+yR(). at (18) 20(x,y）-6,]2] (14) 式中，y为常数，R,()=(b)d为距离规范项， 2.2区域能量系数的改进 引入具有两个极小值点的势函数图p():D,+)→ 传统CV模型中，演化曲线内外区域的能量系数 R,式中，R为实数集 入入2均设定为固定的数值，而曲线在演化过程中，曲 线内外区域能量是不断变化的，固定的能量系数不仅 20-cs2m)],s<1: p(s)= (19) 对曲线演化速度有影响，对最终的图像分割效果也有 -(s-1)2, s≥1. 不同程度的影响。另外，当演化曲线处于目标区域内 部时，曲线外部能量较大，应增大外部能量系数入2，以 显然，该函数在s=0和s=1时取极小值.定义d,(s) 加快曲线演化的速度：反之，当演化曲线处于背景区域 4e(s ,可以验证： 时，曲线内部能量较大，应增大内部能量系数入，亦可 加快曲线演化的速度 1d(s)1<1,se(0,+∞)， (20) 本文利用指数熵自适应调节曲线内外区域的能量 limd,(s)=limd (s)=1. (21) 系数，其计算公式如下： 则有Iyd。(1V中1)I≤y,因此，可以验证使用该势函数 宫hen 时扩散率的有界性a,其中，根据Euler-一Lagrange方 (15) 程，距离规范项的距离约束效果可通过下式体现： 式中，P:为区域内像素灰度值为i的像素点所出现的 (22) 概率，n为区域内像素灰度的最大值.分别用E,、E2替 (R)=ydiv ( 代能量泛函中的能量系数入，~入2·E,为演化曲线内部 根据势函数的性质可得到其前向一后向扩散在如 区域的指数熵，E,为演化曲线外部区域的指数熵。 下3种情形下的性质： 指数熵与对数信息熵所携带图像信息量的能力基 (1)当1V中1>1时，扩散率yd,(1Φ1)为正值，式 本相同，但指数熵改善了对数信息熵3-无定义值和 (22)是正向扩散，1中减小： 零值的问题，在一定程度上克服了对数信息熵的不足， (2)当(1/2)<IΦl<1时，扩散率yd(1Φl)为 也可以缩减计算时间. 负值，式(22)是负向扩散，1TΦ增加： 改进后的能量泛函可表示为： (3)当1Φl<(12)时，扩散率yd,(1b1)为正

倪 康等: 基于改进 CV 模型的金相图像分割 式中，∑ m i = 1 ki 1 ( x，y) 、∑ n i = 1 ki 2 ( x，y) 表示曲线内外所有像 素点自适应权值的总和，最后，通过倒数坎贝拉距离加 权得到的拟合中心计算公式为: δ1 = ∫Ωo d1 ( x，y) I( x，y) H( ) dxdy ∫Ωo H( ) dxdy ， δ2 = ∫Ωb d2 ( x，y) I( x，y) ［1 － H( ) ］dxdy ∫Ωb ［1 － H( ) ］dxdy          ． ( 12) 改进后的能量泛函表达式为: F( δ1，δ2，C) = μ ∫Ω H'( ) | Δ | dxdy + v ∫Ω H( ) dxdy + λ1 ∫Ωo ［I( x，y) － δ1］2 H( ) dxdy + λ2 ∫Ωb ［I( x，y) － δ2］2 ［1 － H( ) ］dxdy． ( 13) 引入时间变量 t( t≥0) ，把求得的 Euler--Lagrange 方程 的问题转化为求 t = － F 稳定解的问题，继而可得偏 微分方程:  t = H'(  [ ) μ ( div Δ  | Δ  ) | － v － λ1 ［I( x，y) － δ1］2 + λ2 ［I( x，y) － δ2］ ] 2 ． ( 14) 2. 2 区域能量系数的改进 传统 CV 模型中，演化曲线内外区域的能量系数 λ1、λ2 均设定为固定的数值，而曲线在演化过程中，曲 线内外区域能量是不断变化的，固定的能量系数不仅 对曲线演化速度有影响，对最终的图像分割效果也有 不同程度的影响． 另外，当演化曲线处于目标区域内 部时，曲线外部能量较大，应增大外部能量系数 λ2，以 加快曲线演化的速度; 反之，当演化曲线处于背景区域 时，曲线内部能量较大，应增大内部能量系数 λ1，亦可 加快曲线演化的速度． 本文利用指数熵自适应调节曲线内外区域的能量 系数，其计算公式如下: E = ∑ n i = 0 pie( 1 － pi ) ． ( 15) 式中，pi 为区域内像素灰度值为 i 的像素点所出现的 概率，n 为区域内像素灰度的最大值． 分别用 E1、E2 替 代能量泛函中的能量系数 λ1、λ2 ． E1 为演化曲线内部 区域的指数熵，E2 为演化曲线外部区域的指数熵． 指数熵与对数信息熵所携带图像信息量的能力基 本相同，但指数熵改善了对数信息熵［23--26］无定义值和 零值的问题，在一定程度上克服了对数信息熵的不足， 也可以缩减计算时间． 改进后的能量泛函可表示为: F( E1，E2，δ1，δ2，C) = μ ∫Ω H'( ) | Δ | dxdy + v ∫Ω H( ) dxdy + E1 ∫Ωo ［I( x，y) － δ1］2 H( ) dxdy + E2 ∫Ωb ［I( x，y) － δ2］2 ［1 － H( ) ］dxdy． ( 16) 根据变分原理和梯度下降法，增加时间变量 t( t≥0) ， 最小化改进后的能量泛函，可得其偏微分方程:  t = H'(  [ ) μ ( div Δ  | Δ  ) | － v － E1 ［I( x，y) － δ1］2 + E2 ［I( x，y) － δ2］ ] 2 ． ( 17) 2. 3 带距离规范项的 CV 模型 水平集在演化过程中会变得不规则而影响水平集 演化过程，为改善这一问题，通常情况下引入重新初始 化的方法，即通过具有一定周期的演化，将不规则的演 化方程重新塑造为符号距离函数． 但水平集的重新初 始化有可能使得零水平集偏离正确位置，且增加了水 平集的演化时间，本文引入距离规范项以避免水平集 的重新初始化． 添加距离规范项的能量函数可表示为: Fr ( E1，E2，δ1，δ2，C) = F( E1，E2，δ1，δ2，C) + γＲp ( ) ． ( 18) 式中，γ 为常数，Ｒp ( ) = ∫Ω p( Δ ) dx 为距离规范项， 引入具有两个极小值点的势函数［8］ p( s) : ［0，+ ∞ ) → Ｒ，式中，Ｒ 为实数集． p( s) = 1 ( 2π) 2 ［1 － cos ( 2πs) ］， s ＜ 1; 1 2 ( s － 1) { 2 ， s≥1． ( 19) 显然，该函数在 s = 0 和 s = 1 时取极小值． 定义 dp ( s) p'( s) s ，可以验证: | dp ( s) | ＜ 1，s∈( 0，+ ∞ ) ， ( 20) lim s→0 dp ( s) = lims→∞ dp ( s) = 1． ( 21) 则有| γdp ( | Δ | ) | ≤γ，因此，可以验证使用该势函数 时扩散率的有界性［12］，其中，根据 Euler--Lagrange 方 程，距离规范项的距离约束效果可通过下式体现: ( Ｒp ) t = γdiv［dp ( | Δ | ) Δ ］． ( 22) 根据势函数的性质可得到其前向--后向扩散在如 下 3 种情形下的性质: ( 1) 当| Δ | ＞ 1 时，扩散率 γdp ( | Δ | ) 为正值，式 ( 22) 是正向扩散，| Δ | 减小; ( 2) 当( 1 /2) ＜ | Δ | ＜ 1 时，扩散率 γdp ( | Δ | ) 为 负值，式( 22) 是负向扩散，| Δ | 增加; ( 3) 当| Δ | ＜ ( 1 /2) 时，扩散率 γdp ( | Δ  | ) 为正 · 9681 ·

·1870· 工程科学学报，第39卷，第12期 值，式(22)是正向扩散，17b1进一步降至0. 利用大量金相图像进行实验，并与传统CV模型、测地 扩散率有界性的差异及17中1<(1/2)时扩散行为 线活动轮廓模型、距离规范项水平集模型以及偏置场 的不同会影响到势函数前向一后向扩散的性质.根据 修正水平集模型的分割结果进行比较.实验环境是 上述理论可以看出，距离规范项可以根据前向一后向 CPU Intel Core i5-4210U,主频2.70GHz,内存4GB,仿 扩散自动调节水平集函数，以避免水平集的初始化所 真软件Matlab R2012a,操作系统为Windows8.现将3 造成的零水平集的偏移.因此，改进后的能量泛函可 幅金相图像的实验结果进行展示，这3幅金相图像的 表示为： 尺寸分别为：220像素×180像素，180像素×180像 F(EE8c)= 素，200像素×200像素.传统CV模型、带距离规范项 的CV模型、偏置场修正水平集模型各参数设置如下： eos2rIV中(x)]dxH(1-I7中(x)I)+ λ1=入2=100，u=0.2×255×255,v=0,△t=0.2,8= 3b0o()1-2a1o()1-]+ 1,迭代次数均为200次.采用本文所提方法与其余4 种方法进行金相图像分割，分割结果如图1~3所示. E.()]()dedy+ddy+ 为了更加精确的将各个分割结果与专家手工分割 E,x,）-.]20-H]dd .(23) 结果进行客观定量比较，本文采用DSC(dice similarity coefficient)进行定量分析，其定义如下所示： 引入时间变量t(t≥0)，把求得的Euler-Lagrange 2A(SnS） 方程的问题转化为求驰：一正稳定解的问题，继而可 at DSC(5.S)=A(S)+A(5) (25) 得偏微分方程： 式中，S。、S分别代表算法的分割结果与专家手工分 尝-Hrw{[206小 割结果，A()为相应的分割结果中金相晶粒的面积 从上式可以看出，DSC的值越接近于1，算法的分割效 H(1-1Vb(x)I)+ 果越好.表1给出了5种分割方法的DSC值 doa-a8]aur6a1-D}- 表15种分割方法的DSC值 Table 1 DSC values of five segmentation methods -E,(x,y)-,]2+E,(x）-8,]2} 金相传统CV 测地线活动距离规范项偏置场修正本文 图像模型 轮廓模型水平集模型水平集模型模型 (24) 0.833 0.772 0.8290.8800.921 3实验结果与分析 2 0.815 0.769 0.794 0.8720.901 为验证本文所提模型对金相图像分割的有效性 0.780 0.773 0.788 0.8370.893 图1金相图像1及其5种方法的分割结果.(a)金相图像1：(b)传统CV模型：()测地线活动轮廓模型：(d)距离规范项水平集模型： ()偏置场修正水平集模型：()本文模型 Fig.1 Metallographic image I and its segmentation results by five methods:(a)metallographic image 1:(b)CV model;(c)geodesic active con- tours model:(d)distance-regularized level set evolution model:(e)bias field correction level set model:(f)proposed model

工程科学学报，第 39 卷，第 12 期 值，式( 22) 是正向扩散，| Δ | 进一步降至 0． 扩散率有界性的差异及| Δ | ＜ ( 1 /2) 时扩散行为 的不同会影响到势函数前向--后向扩散的性质． 根据 上述理论可以看出，距离规范项可以根据前向--后向 扩散自动调节水平集函数，以避免水平集的初始化所 造成的零水平集的偏移． 因此，改进后的能量泛函可 表示为: Fr ( E1，E2，δ1，δ2，C) = γ [ 1 ( 2π) 2 ∫Ω ［1 － cos 2π| Δ ( x) |］dxH( 1 － | Δ ( x) | ) + 1 2 ∫Ω ［| Δ ( x) | － 1］2 dxH( | Δ ( x) | － 1) ］+ E1 ∫Ωo ［I( x，y) － δ1］2 H( ) dxdy + v ∫Ω H( ) dxdy + E2 ∫Ωb ［I( x，y) － δ2］2 ［1 － H( ) ］dxdy． ( 23) 引入时间变量 t( t≥0) ，把求得的 Euler--Lagrange 方程的问题转化为求 t = － F 稳定解的问题，继而可 得偏微分方程: 图 1 金相图像 1 及其 5 种方法的分割结果． ( a) 金相图像 1; ( b) 传统 CV 模型; ( c) 测地线活动轮廓模型; ( d) 距离规范项水平集模型; ( e) 偏置场修正水平集模型; ( f) 本文模型 Fig． 1 Metallographic image 1 and its segmentation results by five methods: ( a) metallographic image 1; ( b) CV model; ( c) geodesic active con￾tours model; ( d) distance-regularized level set evolution model; ( e) bias field correction level set model; ( f) proposed model  t = H'( ) { γ { [ div sin( 2π| Δ ( x) | ) 2π| Δ ( x) | Δ ( x ] ) · H( 1 － | Δ ( x) | ) + [ div Δ ( x) － Δ ( x) | Δ ( x) ] | H( | Δ ( x) | － 1) } － v － E1 ［I( x，y) － δ1］2 + E2 ［I( x，y) － δ2］ }2 ． ( 24) 3 实验结果与分析 为验证本文所提模型对金相图像分割的有效性， 利用大量金相图像进行实验，并与传统 CV 模型、测地 线活动轮廓模型、距离规范项水平集模型以及偏置场 修正水平集模型的分割结果进行比较． 实验环境是 CPU Intel Core i5--4210U，主频 2. 70 GHz，内存 4 GB，仿 真软件 Matlab Ｒ2012a，操作系统为 Windows 8． 现将 3 幅金相图像的实验结果进行展示，这 3 幅金相图像的 尺寸分别为: 220 像素 × 180 像素，180 像素 × 180 像 素，200 像素 × 200 像素． 传统 CV 模型、带距离规范项 的 CV 模型、偏置场修正水平集模型各参数设置如下: λ1 = λ2 = 100，μ = 0. 2 × 255 × 255，v = 0，Δt = 0. 2，ε = 1，迭代次数均为 200 次． 采用本文所提方法与其余 4 种方法进行金相图像分割，分割结果如图 1 ～ 3 所示． 为了更加精确的将各个分割结果与专家手工分割 结果进行客观定量比较，本文采用 DSC ( dice similarity coefficient) 进行定量分析，其定义如下所示: DSC( SS，SＲ ) = 2A'( SS∩SＲ ) A'( SS ) + A'( SＲ ) ． ( 25) 式中，SS、SＲ 分别代表算法的分割结果与专家手工分 割结果，A'( ) 为相应的分割结果中金相晶粒的面积． 从上式可以看出，DSC 的值越接近于 1，算法的分割效 果越好． 表 1 给出了 5 种分割方法的 DSC 值． 表 1 5 种分割方法的 DSC 值 Table 1 DSC values of five segmentation methods 金相 图像 传统 CV 模型 测地线活动 轮廓模型 距离规范项 水平集模型 偏置场修正 水平集模型 本文 模型 1 0. 833 0. 772 0. 829 0. 880 0. 921 2 0. 815 0. 769 0. 794 0. 872 0. 901 3 0. 780 0. 773 0. 788 0. 837 0. 893 · 0781 ·